2013高考数列放缩法技巧全总结

2013 高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜

能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数

列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩

?n
例 1.(1)求

2 的值;

k ?1 4k 2 ? 1

? (2)求证: n 1 ? 5 . k ?1 k 2 3

解析:(1)因为

2 4n2 ?1

?

(2n

2 ? 1)( 2n

? 1)

?

1 2n ?1

?

? 1 ,所以 n 2

2n ?1

k ?1 4k 2 ? 1

?1?

1 2n ?1

?

2n 2n ?1

? (2)因为 1
n2

?

1 n2 ? 1

?

4n

4
2

?

1

?

2?? ?

1 2n ?

1

?

1 ? ,所以 n 1

? 2n ?1?

k2
k ?1

? 1 ? 2?? 1 ? 1 ? ? ? ?3 5

1? 2n ?1

1 ?? ? 1 ? 2n ?1?

2 3

?

5 3

4

奇巧积累:(1)

1 n2

?

4 4n2

?

4 ?
4n2 ? 1

2?? 1 ? ? 2n ? 1

1 ?? 2n ? 1?

(2) 1 ?

2

?1?1

C

C 1
n ?1

2 n

(n ? 1)n(n ?1)

n(n ?1) n(n ? 1)

(3) Tr ?1

?

Cnr

?

1 nr

? n! ? 1 r!(n ? r)! nr

?

1? 1 ? r! r(r ?1)

1 ? 1 (r ? 2) r ?1 r

(4) (1 ? 1 )n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 5

n

2?1 3? 2

n(n ?1) 2

(5) 1 ? 1 ? 1 2n (2n ? 1) 2n ? 1 2n

(6) 1 ? n ? 2 ? n n?2

(7) 2( n ? 1 ? n) ? 1 ? 2( n ? n ?1) n

(8)

?? ?

2 2n ?

1

?

1 2n ?

3

?? ?

?

1 2n

?

1

?

1

(2n ? 1) ? 2n?1 (2n ? 3) ? 2n

(9)

1

? ?? 1 ? 1 ?? 1 ,

1

? 1 ?? 1 ? 1 ??

k(n ?1? k) ? n ?1? k k ? n ?1 n(n ?1? k) k ?1? n n ?1? k ?

(10) n ? 1 ? 1 (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(11)
1? n

2( 2n ?1 ?

2n ?1) ?

22

?

2n ?1 ? 2n ?1

2 n?1 ?
2

n?1 2

(11)

2n ?

2n

?

2n

2n ?1 ?

? 1 ? 1 (n ? 2)

(2n ?1)2 (2n ?1)(2n ?1) (2n ?1)(2n ? 2) (2n ?1)(2n?1 ?1) 2n?1 ?1 2n ?1

(12)

1 ?
n3

1 ?
n ? n2

1 n(n ?1)(n ? 1)

?

?? ??

1? n(n ?1)

1 n(n

?

1)

?? ??

?

1 n ?1 ?

n ?1

? ?? 1 ? 1 ?? ? n ? 1 ? n ?1 ? 1 ? 1

? n ?1 n ?1?

2n

n ?1 n ?1

(13) 2n?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ? 2n ?

1

2n ?

3 2n ?1 3

(14)

k ?2

? 1? 1

k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

(15)

1 ? n ? n ?1(n ? 2)

n(n ? 1)

(15)

i2 ?1 ? j2 ?1 ?

i2 ? j2

?

i? j

?1

i? j

(i ? j)( i2 ? 1 ? j2 ? 1) i2 ? 1 ? j2 ? 1

例 2.(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 ? 1 (n ? 2)

32 52

(2n ?1)2 6 2(2n ?1)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1

4 16 36

4n2 2 4n

(3)求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ? ? ? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ?1 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

(4) 求证: 2( n ?1 ?1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( 2n ?1 ?1)

23

n

? 解析:(1)因为 1 (2n ? 1)2

?

1 (2n ?1)(2n ? 1)

?

1 ?? 1 ? 2 ? 2n ?1

1 ??,所以
2n ?1?

n 1 ?1? 1 (1 ? 1 ) ?1? 1 (1 ? 1 )

i?1 (2i ? 1)2

2 3 2n ?1

2 3 2n ?1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 (1? 1 ? ?? 1 ) ? 1 (1?1? 1)

4 16 36

4n2 4 22

n2 4

n

(3)先运用分式放缩法证明出 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

1 ,再结合 1 ?

2n ?1

n?2

进行裂项,最后就可以得到答案
n?2? n

(4)首先 1 ? 2( n ?1 ? n) ?

2

,所以容易经过裂项得到

n

n?1? n

2( n ? 1 ?1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1

23

n

再证

而由均值不等式知道这是显然成立的,所以

1 ? 2( 2n ?1 ? 2n ?1) ?

22

?

2

n

2n ?1 ? 2n ?1 n ? 1 ? n ? 1

2

2

1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( 2n ? 1 ?1)

23

n



3.求证: 6n (n ? 1)(2n ? 1)

? 1?

1 4

?

1 9

?? ?

1 n2

?

5 3

解析:一方面:因为 1
n2

?

1 n2 ?

1

?

4? 4n2 ?1

2?? 1 ? ? 2n ?1

1 ?? ,所以
2n ?1?

4

?n 1
k2
k ?1

? 1 ? 2?? 1 ? 1 ? ? ? ?3 5

1? 2n ?1

1 ?? 2n ?1?

? 1?

2 3

?

5 3

另一方面:1 ?

1?1 49

???

1 n2

?1?

1 ? 1 ??? 2?3 3?4

1 n(n ? 1)

?1?

1? n ?1

n n ?1

当n

?

3时,

n n ?1

?

6n (n ? 1)(2n ? 1)

,当 n

? 1时, 6n (n ? 1)(2n ? 1)

?1?

1 4

?

1 9

???

1 n2

,

当 n ? 2时,

6n

? 1? 1 ? 1 ??? 1 ,所以综上有

(n ?1)(2n ?1) 4 9

n2

6n (n ? 1)(2n ? 1)

? 1?

1 4

?

1 9

?? ?

1 n2

?

5 3

例 4.(2008 年全国一卷 ) 设函数 f (x) ? x ? x ln x . 数列 ?an? 满足 0 ? a1 ? 1 . an?1 ? f (an ) . 设 b ? (a1,1) ,整数 k ≥ a1 ? b . 证
a1 ln b 明: ak?1 ? b .

解析:由数学归纳法可以证明?an? 是递增数列,故存在正整数 m ? k ,使 am ? b ,则

ak?1 ? ak ? b ,否则若 am ? b(m ? k) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1知

? ? am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , ak ?1 ? ak ? ak ln ak ? a1 ? k am ln am ,因为 k am ln am ? k(a1 ln b) ,

m ?1

m ?1

于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1) ? b 例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1.
解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx

? nm?1 ? nm?1 ? (n ? 1)m?1 ? (n ? 1)m?1 ? (n ? 2)m?1 ? ? ? 1m?1 ? 0 ? n [k m?1 ? (k ? 1)m?1] 所以要证 k ?1

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

n

n

n

? ? ? [k m?1 ? (k ? 1)m?1] ? (m ? 1) k m ? (n ? 1)m?1 ? 1 ? (n ? 1)m?1 ? nm?1 ? nm?1 ? (n ? 1)m?1 ? ? ? 2m?1 ?1m?1 ? [(k ? 1)m?1 ? k m?1]

k ?1

k ?1

k ?1

? ? ? 要证

n

n

[k m?1 ? (k ? 1)m?1] ? (m ? 1) k m ?

n [(k ? 1)m?1 ? k m?1] ,即等价于

k ?1

k ?1

k ?1

k m?1 ? (k ? 1)m?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m?1 ? k m ,即等价于1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 )m?1,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 )m?1

k

k

k

k

而正是成立的,所以原命题成立.



6.已知 an

?

4n

? 2n

, Tn

?

a1

?

2n a2 ? ? ? an

,求证: T1

? T2

? T3

? ? ? Tn

?

3. 2

解析: Tn

?

41

? 42

? 43

???

4n

? (21

?

22

???

2n )

?

4(1 ? 4n ) 1? 4

?

2(1 ? 2n ) 1? 2

?

4 (4n 3

?1) ?

2(1 ?

2n )

所以

2n

2n

2n

3? 2n

3

2n

Tn

?

4 (4n

? 1) ? 2(1 ? 2n )

?

4n ?1

? 4 ? 2 ? 2n?1

?

4 n ?1

?

2 ? 2n?1

?

4n?1 ? 3 ? 2n?1 ? 2

?

? 2 2 ? (2n )2 ? 3? 2n

?1

3

33

33

?

3 2

?

(2

?

2n

2n ? 1)(2n

? 1)

?

3 ?? 2?

1 2n ? 1

?

1?

2n ?1

? ? 1?

从而 T1

? T2

? T3

? ? ? Tn

?

3 ??1 ? 2?

1 3

?

1 3

?

1 7

???

1 ?
2n ?1

2n

1
?1

?

1

?? ?

?

3 2



7.已知

x1

?

1,

xn

?

?n(n ? 2k ??n ?1(n ?

? 1, k 2k , k

? Z) ? Z)

,求证:

1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( n ? 1 ?1)(n ? N*)

4 x2 ? x3 4 x4 ? x5

4 x2n x2n?1

证明:

1?

1

? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,因为

4 x2n x2n?1 4 (2n ?1)(2n ? 1) 4 4n2 ?1 4 4n2

2? n 2 n

2 n ? n ? n ?1 ,所以 1 ? 2 ?

2 ? 2( n ?1 ? n)

4 x2n x2n?1 2 n

n ? n?1

所以 1 ? 1 ? ?? 1 ? 2( n ?1 ?1)(n ? N*)

4 x2 ? x3 4 x4 ? x5

4 x2n x2n?1

故只

二、函数放缩

例 8.求证: ln 2 2

?

ln 3 ? 3

ln 4 4

???

ln 3n 3n

? 3n

? 5n ? 6 (n ? N *) . 6

解析:先构造函数有 ln x ?

x ?1?

ln x x

? 1? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?

x

234

ln 3n 3n

? 3n

?1?(1 ? 1 ??? 23

1) 3n

因为 1 ? 1 ? ? ? 1

23

3n

?

?? ?

1 2

?

1 3

?? ?

?

?? ?

1 4

?

1 5

?

1 6

?

1 7

?

1 8

?

1 9

?? ?

?

?

?

?? ?

1 2n

? 1 ??? 1

2n ?1

3n

?? ?

?

5 6

? ?? 3 ?6

?

3 ?? ? ?? 9 9 ? ?18

?

9 ?? 27 ?

?

?

?

????

3n?1 2 ? 3n?1

?

3n?1 3n

????

?

5n 6

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n ? 3n ?1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6

234

3n

6

6

例 9.求证:(1)?

?

2,

ln 2? 2?

?

ln 3? 3?

?

?

?

ln n? n?

? 2n2 ? n ?1 (n ? 2) 2(n ? 1)

解析:构造函数

f

(x)

?

ln x x

,得到

ln n? n?

ln n2 ,再进行裂项 ln n2

? n2

n2

?1? 1 n2

? 1 ? 1 ,求和后可以得到答案 n(n ? 1)

函数构造形式: ln x ? x ?1, ln n? ? n? ?1(? ? 2)

例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ?1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1

23

n ?1

2

n

解析:提示: ln(n ?1) ? ln n ?1 ? n ??? 2 ? ln n ?1 ? ln n ? ? ? ln 2

n n ?1 1

n

n ?1

函数构造形式: ln x ? x,ln x ? 1? 1
x

当然本题的证明还可以运用积分放缩

y

如图,取函数 f (x) ? 1 , x

? ? 首先: S ABCF

?

n1 n?i x

,从而, 1 ? i n

?

n1 n?i x

?

ln

x |nn?i ? ln

n ? ln(n ? i)

E

D

F

C

取 i ? 1有, 1 ? ln n ? ln(n ?1) ,
n

A

B

O

n-i n

x

所以有

1 2

?

ln

2,

1 3

?

ln

3

?

ln

2

,…,

1 n

?

ln

n

?

ln(n

?1)

,

1 n ?1

?

ln(n

? 1)

?

ln

n ,相加后可以得到:

1 ? 1 ??? 1 ? ln(n ?1)

23

n ?1

? ? 另一方面 S ABDE

?

n n?i

1 x

,从而有

1 n?i

?i

?

n n?i

1 x

?

ln

x

|nn?i ?

ln

n

? ln(n

? i)

取 i ? 1有, 1 ? ln n ? ln(n ?1) ,
n ?1

所以有 ln(n ?1) ? 1? 1 ??? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ?? 1 ? ln(n ?1) ? 1? 1 ? ?? 1

2

n

23

n ?1

2

n



11.求证: (1?

1 )(1?

1 ) ??? (1 ?

1)

?


e (1?

1 )(1 ?

1

) ??? (1?

1 )?

.
e

2! 3!

n!

9 81

32n

解析:构造函数后即可证明

例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ???[1 ? n(n ? 1)] ? e2n?3

解析:
ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

3

,叠加之后就可以得到答案

n(n ? 1) ? 1

函数构造形式:
ln(x ?1) ? 2 ?

3

(x ? 0) ? 1? ln(1? x) ?

3

(加强命题)
(x ? 0)

x ?1

x

x ?1

例 13.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ?? ln n ? n(n ?1) (n ? N*,n ? 1)

345

n?1 4

解析:构造函数 f (x) ? ln(x ?1) ? (x ?1) ?1(x ? 1) ,求导,可以得到:

f '(x) ? 1 ?1 ? 2 ? x ,令 f '(x) ? 0 有1 ? x ? 2 ,令 f '(x) ? 0 有 x ? 2 ,
x ?1 x ?1
所以 f (x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ?1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ?1 有, ln n2 ? n2 ?1

所以

ln n n ?1

?

n ?1,所以
2

ln 2 3

?

ln 3 4

?

ln 4 5

???

ln n n ?1

?

n(n ?1) 4

(n

?

N*,n

?

1)

例 14.

已知
a1

? 1, an?1

?

(1?

1 n2 ?

n )an

?

1 2n

. 证明 an

?

e2

.

解析:

1

1

1 1,

a n ?1

? (1? n(n ?1))an

? 2n

? (1? n(n ?1) ? 2n )an

然后两边取自然对数,可以得到
ln

a n ?1

?

ln(1 ?

1 n(n ?1)

?

1 2n

)

? ln

an

然后运用 ln(1? x) ? x 和裂项可以得到答案)

放缩思路: an?1

? (1?

1? n2 ? n

1 2n

)an

?

ln an?1

? ln(1?

1 n2 ? n

?

1 2n

)

?

ln

a

n

?

?

ln

an

?

1 n2 ?

n

?

1 2n

。于是
ln an?1

? ln

an

?

1 n2 ? n

?

1 2n



? ? n?1
i ?1

n?1
(ln ai?1 ? ln ai ) ?
i ?1

(1 i2 ?i

?

1 2i

)

?

ln

an

? ln a1

?

1

?

1

?

1?

( 1 )n?1 2

n 1? 1

?2?1 ? n

1 2n

? 2.

2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e2 .

注:题目所给条件 ln(1? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论

2n ? n(n ?1)(n ? 2) 来放缩:

a n ?1

?

(1 ?

1 n(n ?1))an

?

1 n(n ?1)

?

a n ?1

?1?

(1 ?

1 n(n ?1))(an

?1) ?

ln( a n ?1

? 1)

?

ln(an

? 1)

?

ln(1 ?

1) n(n ?1)

?

1 n(n ?1)

.

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .

n ?1

n ?1

? ? ? [ ln(ai?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ?

i?2

i?2

1 i(i ? 1)

?

ln(an

? 1)

?

ln(a2

? 1)

?1?

1 n


?1

例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f (x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f '(x) ? f (x) 在 x ? 0 上恒成立.

(I)求证:函数
g(x) ?

上是增函数;
f (x) 在(0,??)

x

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时,证明 : f (x1) ? f (x2 ) ? f (x1 ? x2 ) ; (III)已知不等式 ln(1? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立,

求证:

1 22

ln

22

?

1 32

ln 32

?

1 42

ln

42

???

(n

1 ? 1)2

ln(n

? 1)2

?

2(n

n ? 1)(n

?

2)

(n ? N * ).

解析:(I)
g'(x) ?

f '(x)x ? x2

f

(x)

?

,所以函数

0

g(x)

?

f (x) 在(0,??) 上是增函数 x

(II)因为
g(x) ?

f (x) 在(0,??) 上是增函数,所以

x

f (x1 ) x1

?

f (x1 ? x2 ) ? x1 ? x2

f (x1 ) ?

x1 x1 ? x2

?

f (x1 ? x2 )

f (x2 ) ? x2

f (x1 ? x2 ) ? x1 ? x2

f (x2 ) ?

x2 x1 ? x2

?

f (x1 ? x2 )

两式相加后可以得到 f (x1) ? f (x2 ) ? f (x1 ? x2 )

(3)

f (x1 ) ? x1

f (x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? x1 ? x2 ? ? ? xn

f (x1 ) ?

x1 x1 ? x2 ? ? ? xn

? f (x1 ? x2 ? ? ? xn )

f (x2 ) ? x2

f (x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? x1 ? x2 ? ? ? xn

f (x2 ) ?

x2 x1 ? x2 ? ? ? xn

?

f (x1 ? x2 ? ? ? xn ) ……

f (xn ) xn

?

f (x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? x1 ? x2 ? ? ? xn

f (xn ) ?

xn x1 ? x2 ? ? ? xn

?

f (x1 ? x2

??? xn )

相加后可以得到:

f (x1 ) ? f (x2 ) ? ? ? f (xn ) ? f (x1 ? x2 ? ? ? xn )

所 以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? (x1 ? x2 ? ? ? xn ) l nx(1 ? x2 ? ? ? xn )

?

????

1 22

ln

22

?

1 32

ln

32

?

1 42

ln

42

???

(n

1 ? 1)2

ln(n

? 1) 2

????

?



xn

?

1 (1 ? n)2

,有

????

1 22

?

1 32

?

1 42

???

1 (n ?1)2

????

?

ln

????

1 22

?

1 32

???

1 (n ?1)2

????

?

????

1 22

?

1 32

???

1 (n ?1)2

????

?

ln????

1 2?1

?

1 3? 2

???

(n

1 ? 1)n

????

? ?? ? 1 ???? 1 ? 1 ?? ? ?

n

? n ? 1?? 2 n ? 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2)

所以 1 ln 22 ? 1 ln 32 ? 1 ln 42 ? ? ? 1 ln(n ? 1)2 ?

n

(n ? N * ).

22

32

42

(n ? 1)2

2(n ? 1)(n ? 2)

(方法二) ln(n ?1)2
(n ?1)2

?

ln(n ?1)2 (n ?1)(n ? 2)

?

ln 4 (n ?1)(n ? 2)

? ln 4?? 1 ? ? n?1

1 ?? n?2?

所以

1 22

ln

22

?

1 32

ln 32

?

1 42

ln

42

?? ?

1 (n ?1)2

ln(n

? 1)2

?

ln

4?? 1 ?2

?

n

1 ?

?? 2?

?

n ln 4 2(n ? 2)

又 ln 4

?1?

1 ,所以
n ?1

1 22

ln 22

?

1 32

ln 32

?

1 42

ln 42

???

1 (n ? 1)2

ln(n ? 1)2

?

n 2(n ? 1)(n ? 2)

(n ? N * ).

例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f (x) ? xln x.若 a ? 0,b ? 0,证明 : f (a) ? (a ? b)ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g(x) ? f (x) ? f (k ? x), (k ? 0)

? f (x) ? x ln x,

? g(x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x),

?0 ? x ? k.

? g?(x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ?1 ? ln x , k?x

令g?(x) ? 0,则有 x ? 1 ? 2x ? k ? 0 ? k ? x ? k.

k?x

k?x

2

∴函数

)上单调递增,在 k 上单调递减.

g(x)在[ k , k 2

(0, ] 2



g(x)

的最小值为

g(k ) ,即总有 2

g(x)

?

g(

k ). 2

而 g( k ) ? f ( k ) ? f (k ? k ) ? k ln k ? k(ln k ? ln 2) ? f (k) ? k ln 2,

2

2

2

2

? g(x) ? f (k) ? k ln 2, 即 f (x) ? f (k ? x) ? f (k) ? k ln 2. 令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b. ? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.

? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

三、分式放缩

姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)

a a?m

a a?m

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.

例 19. 姐妹不等式: (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 2n ?1 和

35

2n ?1

(1? 1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 1 也可以表示成为

246

2n 2n ?1

2? 4?6?? 2n ? 1?3?5??? (2n ?1)

2n


?1

1?

3 2

? ?

5 ??? (2n ? 4 ? 6 ??? 2n

1)

?

1 2n ?1

解析:

利用假分数的一个性质

b

?

b

?

m

(b

?

a

?

0, m

?

可得
0)

a a?m

2 1

?

4 3

?

6? 2n 5 2n ?1

?

3 2

?

5 4

?

7? 2n ?1 6 2n

?

1? 2

3 ? 5? 2n ?1 ? (2n ?1) 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6? 2n )2 ? 2n ?1即 (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 2n ?1.

1 3 5 2n ?1

35

2n ?1

例 20.证明: (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 3 3n ?1.

47

3n ? 2

解析: 运用两次次分式放缩:

2 ? 5 ? 8 ??? 3n ?1 ? 3 . 6 ? 9 ???? 3n 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ?1

(加 1)

2 ? 5 ? 8 ??? 3n ? 1 ? 4 . 7 ? 10 ??? ? 3n ? 1 (加 2)

1 4 7 3n ? 2 3 6 9

3n

相乘,可以得到:

?? 2

?

5

?

8

???

3n

?1 ?2 ?

?

4.7

? 10

??? ? 3n

?1

?

1

?

4

?

7

???

3n

?

2

? (3n

? 1)

? 1 4 7 3n ? 2 ? 2 5 8

3n ? 1 2 5 8 3n ? 1

所以有 (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 3 3n ?1.

47

3n ? 2

四、分类放缩

例 21.求证:1? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n

23

2n ?1 2

解析: 1? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1? 1 ? (1 ? 1) ? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ? ? ?

23

2n ?1

2 4 4 23 23 23 23

( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 ? n ? (1? 1 ) ? n

2n 2n

2n 2n 2

2n 2

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列?An?与曲线 y ? 2x ( x ≥0)上的点

列 ?Bn ?满足 OAn

?

OBn

? 1 ,直线 An Bn 在 x 轴上的截距为 an .点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N ? .
n

(1)证明 a n > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008.

b1 b2

bn?1 bn

? ? 解析:(1)

依题设有:

An

? ??

0,

1 n

? ??

,

Bn

bn ,

2bn

, ?bn

? 0? ,由 OBn

? 1 得: n

x a bn2

?

2bn

?

1 n2

,? bn

?

1 n2

?1

?1,

n

?

N

*

,又直线

An

Bn



轴上的截距为 满足
n

?

an

?

0?

? ??

2bn

?

1 n

? ??

?

? ??

0

?

1 n

? ??

?

bn

? 0?

an

?

1?

bn n

2bn

2n2bn

?1?

n2bn2

?

0, bn

?

2

?

1 n2bn

? ? ?an

? bn 1? n 2bn

bn 1? n 2bn ?
1? 2n2bn

?1? n2bn n

2 bn

? bn ? 2 ?

2bn ? 4 ?an ?

1 ?1?1? n2

2? 2 1 ?1 n2

显然,对于 1 ?

1

?

,有
0

an

?

an?1

?

4, n ?

N*

n n?1

(2)证明:设
cn

?1?

bn?1 bn

,n?

N*

,则

cn ?

1 n2

?1 ?
1 n2

1
?n ?1?2
?1 ?1

?1

?

n2

? ???

1 n2

?

?n

1
? 1?2

? ???

1 n2

?1

?1

1 n2

?1

?

?n

1
? 1?2

?1

?

2n ?1
?n ?1?2

1 n2

?1 ?1

2

1 n2

?1

?

2n ?1
?n ?1?2

? ?
?
? ??

1 2

?

2

?

1
1 n2

?1

? ? ? ??

?

2n ?1
2?n ?1?2

?2n

? 1? ? n

?

2?

?

2?n

?1?2

?

n

?

0,?cn

?

n

1 ?

2

,n?

N*

? ? 设 Sn ? c1 ? c2 ? ? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1 k ? N* 时,

Sn

?

1 3

?

1 4

?

? 1 ?1 2k ?1 2k

?

? ??

1 3

?

1 4

? ??

?

? ??

1 22 ?

1

?

?

1 23

? ??

?

? ??

1 2k?1 ?1

?

?

2?

1 22

?

22

?

1 23

?

?

2k

?1

?

1 2k

?

k ?1 。 2

所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:

????1

?

b2 b1

????

?

????1

?

b3 b2

????

?

?

?

????1

?

bn?1 bn

????

?

Sn

? Sn0

?

4017 ?1 ? 2008 2

故有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008成立。

b1 b2

bn?1 bn

?

1 2k

? ??

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f (x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f (x) 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].

n 若数列{bn } 满足 bn

?

f (n) n3

(n

?

N

*)

,记数列{bn

}

的前

n

项和为

Tn

,问是否存在正常数

A,使得对于任意正整数

都有Tn ? A ?并

证明你的结论。

解析:首先求出

f (x) ?

x2

? 2x ,∵ bn

?

f (n) n3

?

n2 ? 2n n3

?

1 n

∴ Tn

?

b1

? b2

? b3

??? bn

?1?

1 2

?

1 3

???

1 n

,∵ 1 3

?

1 4

?

2?

1 4

?

1 2

,

1 5

?

1 6

?

1 7

?

1 8

?

4?

1 8

?

1 2

,…

1 2k?1 ?1

?

1 2k?1 ?

2

???

1 2k

?

2k

?1

?

1 2k

?

1 2

,故当

n

?

2k

时,

Tn

?

k 2

? 1,

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数,

则当

n

?

22m?2

时,必有 Tn

?

2m ? 2 2

?1 ?

m

?

A.

故不存在常数 A 使Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立.



24.(2008

年中学教学参考)设不等式组

?x

? ?

y

? ?

0, 0,

表示的平面区域为 Dn ,设 Dn 内整数坐标点的个数为 an .设

?? y ? ?nx ? 3n

Sn

?

1 an?1

?

1 an?2

???

1 a2n

,

当 n ? 2时,求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 .

a1 a2 a3

a2n

36

解析:容易得到 an

? 3n ,所以,要证 1
a1

?1 a2

?1 a3

??? 1 a2n

?

7n ? 11 只要证 S2n
36

?1?

1 2

?

1 ??? 3

1 2n

?

7n ? 11 ,因为 12

S2n

?

1

?

1 2

?

(1 3

?

1) 4

?

(1 5

?

1 6

?

1 7

?

1) 8

??

?

1 ( 2n?1 ? 1

?

1 2n?1 ?

2

?

??

1 2n

?1?

1 2

? T21

?

T 2

2

?

?

?

T 2

n

?1

?

3 2

? 7 (n ?1) 12

?

7n ?11,所以原命题得证. 12

五、迭代放缩

例 25.

已知 xn?1

?

xn xn

?4 ?1

, x1

? 1,求证:当 n

?

2

时,

n
?

|

i ?1

xi

? 2|?

2

? 21?n

解析:通过迭代的方法得到

xn

?

2

?

1 2 n ?1

,然后相加就可以得到结论

例 26.


Sn

?

sin1! 21

?

sin 2! 22

?

?

?

sin n! 2n

,求证:对任意的正整数

k,若

k≥n

恒有:|Sn+k-Sn|<n1

解析:

|

Sn?k

?

Sn

|?|

sin(n ?1)!

2 n ?1

?

sin(n ? 2n?2

2)!

?

?

?

sin(n ? 2n?k

k)

|

?|

sin(n ?1)!

2 n?1

|

?|

sin(n ? 2n?2

2)!

|

???

|

sin(n ? k) 2n?k

|?

1 2 n ?1

?

1 2n?2

???

1 2n?k

? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 ? (1? 1 ) ? 1

2n 2 22

2k 2n

2k 2n

又 2n

?

(1 ? 1)n

?

C

0 n

?

C

1 n

?

?

?

C

n n

?

n

六、借助数列递推关系

所以
| Sn?k

? Sn

|?

1 2n

?

1 n

例 27.求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ? ? ? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ? 2 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

解析:


an

? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) 则
2 ? 4 ? 6 ??? 2n

an ?1

?

2n 2(n

?1 ? 1)

an

?

2(n

? 1)an?1

?

2nan

?

an ,从而

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到

a1 ? a2 ? ? ? an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ?

1 ?1 ? (2n ? 2) ? 2n ? 3

1 ?1 2n ? 2

所以

1 2

?

1?3 2?4

?

1?3?5 2?4?6

???

1? 3? 5 ??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

2n ? 2 ?1

例 28. 求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ? ?? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ?1 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

解析:

设 an

? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) 则 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

an ?1

?

2n 2(n

?1 ? 1)

an

?

[2(n

? 1)

? 1]an?1

?

(2n

? 1)an

?

an?1 ,从而

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到

a1 ? a2 ? ? ? an ? (2n ? 1)an?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ?

1 ?3? 2n ?1 2

2n ?1 ?1

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( n ?1 ?1)

a1 a2

an

解析:

an?2 ? an?1

? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?

1 an?1

? an?2

? an

所以就有 1
a1

1 ?
a2

??? 1 an

?

1 a1

? an?1 ? an

? a2

? a1

?2

an?1an ? a2 ? 2

n ?1?2

七、分类讨论

例 30.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n,n ? 1. 证明:对任意的整数

m ? 4 ,有 1 ? 1 ?? ? 1 ? 7

a4 a5

am 8

? ? 解析:容易得到 an

?

2 3

2n?2

? (?1)n?1

.,

由于通项中含有 (?1) n ,很难直接放缩,考虑分项讨论:

当 n ? 3 且 n 为奇数时 1 1 3 1

1

3

2n?2 ? 2n?1

? ?(

?

)? ?

an an?1 2 2n?2 ? 1 2n?1 ?1 2 22n?3 ? 2n?1 ? 2n?2 ?1

3 2n?2 ? 2n?1 3 1 1 (减项放缩),于是

??

? ?( ? )

2

2 2n?3

2 2n?2 2n?1

①当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ?? ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )

a4 a5

am a4 a5 a6

am?1 am

?

1 2

?

31 (
2 23

?

1 24

?? ?

1 2m?2

)

?

1 2

?

3 2

?1 4

? (1?

1 2m?4

)

?

1 2

?

3 8

?

7. 8

m ? 4 m ②当



为奇数时 1
a4

?1 a5

??? 1 am

?

1 a4

?1 a5

??? 1 am

?

1 a m ?1

(添项放缩)由①知

1 a4

?1 a5

??? 1 am

?1 am?1

?

7 . 由①②得证。
8

八、线性规划型放缩

例 31.

设函数

f (x) ?

2x ?1 .若对一切 x? R, ?3 ? af (x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。
x2 ? 2

解析:由
(

f

(x) ?

1 )( 2

f

(1) ?1)

?

?(x ? 2)2 (x ?1)2 2(x2 ? 2)2


(

f

(x) ?

1 )( 2

f

(1) ?1)

?

0



? 1 ? f (x )? 1 2

由此再由 f (x) 的单调性可以知道 f (x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为1 2

因此对一切

x

?

R



?3

?

af

(

x)

?

b

?

3

的充要条件是,

???3 ?

?

?

1 2

a

?

b

?

3

???3 ? a ? b ? 3

即 a , b 满足约束条件 ?a ? b ? ?3 ,

??a ? b ? 3

? ??

1

a

?

b

?

?3

?2

? ???

1 2

a

?

b

?

3

由线性规划得, a ?b 的最大值为 5.

九、均值不等式放缩

例 32.设 Sn ?

1? 2 ?

2?3 ???

n(n

?1).

求证

n(n ? 1) 2

?

Sn

?

(n

? 1)2 2

.

解析: 此数列的通项为 ak ? k(k ?1),k ? 1,2,?,n.

?k ?

k(k

? 1)

?

k

?k 2

?1

?

k

?

1 2

,n ??k
k ?1

?

Sn

?

n
? (k
k ?1

?


1) 2



n(n ?1) 2

?

Sn

?

n(n ?1) 2

?

n 2

?

(n

? 1)2 2

.

注 : ① 应 注 意 把 握 放 缩 的 “ 度 ” : 上 述 不 等 式 右 边 放 缩 用 的 是 均 值 不 等 式 ab ? a ? b , 若 放 成 2

? S n

?

n
(k ?1) ?
k ?1

(n ?1)(n ? 3) 2

?

(n ?1) 2 2

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里

k(k ?1) ? k ?1 则 得

n 1 ???

1

?n

a1 ?an

?

a1

??? an n

?

a1

an

a12 ? ? ? an2 n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。



33.已知函数

f

(x)

?

1?

1 a ? 2bx

,若

f (1) ?

4 ,且
5

f

(x) 在[0,1]上的最小值为

1 2

,求证:

f

(1) ?

f

(2) ? ??

f (n)

?

n?

1 2 n ?1

?

1. 2

解析: f (x) ? 4 x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 (x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? 1 )

1? 4x

1? 4x

2? 2x

2?2

? (1?

1 2? 22

) ? ?? (1?

1 2? 2n

)

?

n

?

1 (1? 4

1 2

???

1 2n?1 )

?

n?

1 2 n?1

?

1. 2

例 34.已知 a, b 为正数,且 1 ? 1 ? 1,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b)n ? a n ? bn ? 22n ? 2n?1. ab

解析: 由 1 ? 1 ? 1得 ab ? a ? b ,又 (a ? b)(1 ? 1) ? 2 ? a ? b ? 4 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而

ab

ab

ba

(a ? b)n

?

C

0 n

a

n

?

C

1 n

a

n?1b

?

?

?

C

r n

a

n?r

b

r

?

?

?

C

n n

b

n





f (n)

?

(a ? b) n

?an

? b n ,则

f

(n)

=

C

1 n

a

n?1b

?

?

?

C

r n

a n?r b r

?

?

?

C

n n

?1

ab

n?1

,因为

C

i n

?

C n?i n

,倒序相加得

2

f

(n) = Cn1 (a n?1b ?

ab

n?1

)

?

?

?

C

r n

(a

n?

r

b

r

?

a

r

b

n?r

)

?

?

?

C

n?1 n

(ab

n?1

?

a n?1b) ,

n
而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a b n?r r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a nbn ? 2 ? 4 2 ? 2n?1 ,

则2f

(n)

=

(C

1 n

?

?

?

C

r n

?

?

?

C

n?1 n

)(

a

r

b

n?r

?

an?rbr )

?

(2n

? 2)(a r b n?r

? an?rbr )

? (2n

? 2) ?

2n?1 ,所以

f (n)

? (2n

? 2) ?

2n ,即对

每一个 n ? N ? , (a ? b)n ? a n ? bn ? 22n ? 2n?1.

n?1
例 35.求证 Cn1 ? Cn2 ? Cn3 ? ?? Cnn ? n ? 2 2 (n ? 1, n ? N)

n?1

解析:

不等式左

C

1 n

?

C

2 n

?

C

3 n

???

C

n n

? 2n ?1 ? 1? 2 ? 22 ? ?? 2n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2

2



原结论成立.

n
例 36.已知 f (x) ? e x ? e?x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (n) ? (en?1 ? 1) 2

解析: f

(x1 ) ?

f

(x2 )

?

(e x1

?

1 e x1

) ? (e x2

? 1 ) ? e x1?x2 e x2

e x1 ?
e x2

e x2 ?
e x1

1 ?
e x1 ? e x2

? e x1? x2

?1

n
经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (n) ? (en?1 ? 1) 2

例 37.已知 f (x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ?1)n
x

解析: (k ? 1 )(2n ?1? k ? 1 ) ? k(2n ?1? k) ? k ? 2n ?1? k ?

1

? 2(2n ?1? k) ? 2

k

2n ?1? k

2n ?1? k

k

k(2n ?1? k)

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k(1 ? k) ? 2n ? (k ?1)(2n ? k) ? 0 ? k(2n ?1 ? k) ? 2n

所以 (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ? 1 ) ? 2n ? 2

k

2n ? 1 ? k

从而[ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ?1)n .



38.若

k

?

7 ,求证:

Sn

?

1 n

?

1 n ?1

?

n

1 ?

2

???

1 nk ?1

?

3 2

.

解析: 2Sn

?

(1 n

?

1) nk ?1

?

(1 n ?1

?

1) nk ? 2

?

( n

1 ?

2

?

1) nk ? 3

???

(1 nk ?1

?

1) n

因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ? 2 ,所以 (x ? y)( 1 ? 1 ) ? 4 ,所以 1 ? 1 ? 4 ,当且仅当 x ? y 时取到等号.

x y xy

xy

x y x?y

所以

2Sn

?

n

?

4 nk

?1

?

n

4 ?1? nk

?

2

?

n

?

2

4 ? nk

?

3

???

n

?

4 nk

?1

?

4n(k ?1) n ? nk ?1

所以
Sn

?

2(k 1? k

?1) ?1

?

2(k ?1) k ?1

?

2?

4 k ?1

?

3 2

所以
Sn

?

1? n

1 ? 1 ??? n?1 n? 2

1? nk ?1

3 2

n

例 39.已知 f (x) ? a(x ? x1)( x ? x2 ) ,求证: f (0) ? f (1) ? a2 .
16

解析:

f

(0) ?

f

(1)

?

a2[x1(1 ?

x1)][ x2 (1?

x2 )]

?

a2 16

.

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时,

求证: [f ’(x)]n-2n-1·f ’(xn)≥2n(2n-2).

解析: 由已知得 f ?(x) ? 2x ? 2 (x ? 0) , x

(1)当 n=1 时,左式= (2x ? 2) ? (2x ? 2) ? 0 右式=0.∴不等式成立.

x

x

(2) n ? 2 , 左式=[ f ?(x)]n ? 2n?1 ? f ?(xn ) ? (2x ? 2)n ? 2n?1 ? (2xn ? 2 )

x

xn

?

2n (Cn1 x n?2

?

C

2 n

x

n?4

? ? ? Cnn?2

1 x n?4

? Cnn?1

1 ).
x n?2

令 S ? Cn1xn?2 ? Cn2 xn?4 ? 由倒序相加法得:

?

C n?2 n

1 xn?4

?

C n?1 n

1 xn?2

2S

? Cn1 (x n?2

?

x

1
n?2

)

?

Cn2

(

x

n?4

?

x

1
n?4

)

?

?

?

Cnn?1

(

x

1
n?2

? xn?2 )

?

2(C

1 n

?

C

2 n

?

?

?

C

n?1 n

)

?

2(2 n

?

2) ,

所以 S ? (2n ? 2).

所以[ f ?(x)]n ? 2n?1 ? f ?(xn ) ? 2n (2n ? 2)成立.综上,当 k 是奇数, n ? N? 时,命题成立

例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f (x) ? a x ? x(a ? 1)

(1)求函数 f (x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;

(2)令

S (n)

?

C

1 n

f

'

(1)

?

C

2 n

f

'

(2)

?

??

C

n n

?1

f

' (n

?1) 求证:

S (n)

?

(2n

?

2) ?

f

'(n)

2

(1)由 f

' (x)

?

ax

ln

a

? 1,

f

' (x)

?

0,即:a x

ln

a

? 1,? a x

?

1 ln a

, 又a

? 1? x

?

? log a

ln

a

同理:f ' (x) ? 0,有x ? ? log a ln a,

所以f ' (x)在(??,? log a ln a)上递减,在(? log a ln a,??)上递增;

所以f (x)min

?

1 ? ln ln a f (? log a ln a) ? ln a

若f

( x) m in

?

0,即1 ? ln ln ln a

a

?

0, 则 ln

ln

a

?

?1,? ln

a

?

1 e

1
? a的取值范围是1 ? a ? e e

(2)S

(n)

?

C

1 n

(a

ln

a

?

1)

?

C n2

(a

2

ln

a

?

1)

?

?

?

C n?1 n

(a

n?1

ln

a

?

1)

?

(C

1 n

a

?

Cn2 a 2

???

Cnn?1a n?1 ) ln

a

?

(C

1 n

?

C

2 n

???

Cnn?1 )

?

1 2

[C

1 n

(a

?

a n?1 )

?

C

2 n

(a

2

?

an?2 ) ? ? ?

Cnn?1 (a n?1

?

a)]ln

a

? (2n

?

2)

n
? a 2 (2n ? 2) ln a ? (2n ? 2)

?

(2n

?

2)(a

n 2

ln

a

? 1)

?

(2n

?

2)

f

' (n),

2

所以不等式成立。

★例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 f ? x? ? 1 ? 1 ? ax , x??0, ? ??.对任意正数 a ,证明:1? f ? x? ? 2. 1? x 1? a ax ? 8

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由

,

f (x) ? 1 ? 1 ? 1

1? x 1? a 1? 8 ax

若令

b ? 8 ,则 ax

abx ? 8 ① ,而

f ?x? ?

1? 1? x

1? 1? a

1②
1? b

(一)、先证 f ? x? ?1;因为 1 ? 1 , 1 ? 1 , 1 ? 1 ,
1? x 1? x 1? a 1? a 1?b 1?b

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 44 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 .

所以 f ? x? ?

1? 1? x

1? 1? a

1 1? b

?1 1? x

?1 1? a

?1 1? b

?

3?

2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1? x)(1? a)(1? b)

? 9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? 1? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? 1 .

(1? x)(1? a)(1? b)

(1? x)(1? a)(1? b)

(二)、再证 f ?x? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2

(ⅰ)、当 a ? b ? 7,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5,因为 1 ? 1,
1? b

1

?

1

?

2

?

,此时
1

f

?

x?

?

1

?

1

?

1

? 2.

1? x 1? a 1?5

1? x 1? a 1?b

(ⅱ)、当 a ? b ? 7③,由①得

,
x?

8



1

?

ab ,

ab 1? x ab ? 8

因为

1 1? b

?1 ? b 1? b

?

4

b2 ( 1?

b2

)

?[ 1

?

b 2] 所以
2 (?1b )

1 ?1? b ④ 1? b 2(1? b)

同理得 1 ? 1? a ⑤ ,于是
1? a 2(1? a)

f

?x?

?

2

?

1 2

?a ??? 1? a

?

b 1? b

?

2

ab ? ⑥ ab ? 8 ???

今证明 a ? b ? 2 ab ⑦, 因为 a ? b ? 2

ab



1? a 1? b ab ? 8

1? a 1? b (1? a)(1? b)

只要证

a b ? a b ,即 ab ? 8 ? (1? a)(1? b) ,也即 a ? b ? 7,据③,此为显然.

( 1? a ) ( 1? b ) a b? 8

因此⑦得证.故由⑥得 f (x) ? 2 .

综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1? f ?x? ? 2.

例 43.求证:1 ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 2

n?1 n? 2

3n ?1

解析:一方面: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ?? ? 1 ? 2 ? 1

n?1 n? 2

3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

(法二)

n

1 ?1

?

n

1 ?

2

?

??

1 3n ?

1

?

1 2

?

??????

n

1 ?

1

?

1 3n ?

?? 1?

?

?? ?

n

1 ?

2

?

1 3n

?? ?

?

?

?

?? ?

1 3n ?1

?

n

1 ?

1??????

?

1 2

?

????

(3n

4n ? 2 ? 1)(n ?

1)

?

4n ? 2 3n(n ? 2)

???

(n

4n ? 2 ? 1)(3n ?

1)

????

?

?2n

?

1? ?

????

(2n

?

1 1)2

? n2

?

1 (2n ? 1)2 ? (n ?1)2

???

1 (2n ? 1)2

? ? n2 ???

?

(2n ? 1)2 (2n ? 1)2

?1

另一方面: 1 ? 1 ? ?? 1 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2

n?1 n? 2

3n ?1 n ?1 n ?1

十、二项放缩

2n

?

(1 ? 1)n

?

C

0 n

?

C

1 n

???

C

n n

,

2

n

?

C

0 n

?

C

1 n

?

n

?1,

2n

?

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

?

n2

?n 2

?

2

2n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44.

已知 a1

? 1, an?1

?

(1?

1 n2 ?

n )an

?

1 2n

. 证明 an

?

e2

解析:

a n ?1

?

(1 ?

1 n(n ?1))an

?

1 n(n ?1)

?

a n ?1

?1?

(1 ?

1 n(n ?1))(an

? 1)

?

? ? 1

1

ln( a n ?1

?1) ?

ln(an

? 1)

?

ln(1 ?

n(n

) ?1)

?

n(n

?1)

.

n ?1

n ?1

? [ ln(ai?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ?

i?2

i?2

1 i(i ? 1)

?

ln(an

? 1)

?

ln(a2

? 1)

?1?

1 n


?1

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .

例 45.设
an

? (1? 1)n ,求证:数列{an }单调递增且 an
n

?

4.

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 bn?1 ? a n?1 ? (n ? 1)bn (b ? a) (证略)

整理上式得 a n?1 ? bn[(n ? 1)a ? nb]. ( ? )

? 以 a ?1?

1

,b ? 1? 1 代入(

)式得 (1 ? 1 )n?1 ? (1 ? 1 )n .

n ?1

n

n ?1

n

即{an } 单调递增。

? 以 a ? 1,b ? 1?

1

代入(

2n

)式得1 ? (1 ? 1 )n ? 1 ? (1 ? 1 )2n ? 4.

2n 2

2n

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1? 1)n ? 4 ,又因为数列 {an } 单调递增,所以对一切正整数 n 有 n
(1 ? 1 )n ? 4 。 n

注:①上述不等式可加强为 2 ? (1? 1)n ? 3. 简证如下: n

利用二项展开式进行部分放缩: an

?

(1 ?

1)n n

? 1 ? Cn1

?

1 n

? Cn2

?

1 n2

? ? ? Cnn

1 nn

.

只取前两项有

an

?1?

C

1 n

?

1 n

?

2. 对通项作如下放缩:

Cnk

1 nk

?

1 ? n ? n ?1??n ? k ?1 ?

k! n n

n

1 k!

?

1?

1 2?2

?

1. 2 k ?1

故有 an

?1?1?

1 2

?

1 22

?? ?

1 2 n?1

?

2?

1 1 ? (1/ 2)n?1 ?
2 1?1/ 2

? 3.

②上述数列{an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:

已知 i, m, n 是正整数,且1? i ? m ? n. (1)证明 ni Ami ? mi Ani ;(2)证明 (1? m)n ? (1? n)m. (01 年全国卷理科第 20 题)

简析

对第(2)问:用1/ n 代替 n 得数列 {bn}: bn

1

1

? (1? n) n 是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列 {(1? n) n } 递减,

且1? i

?

m

?

n,



(1 ?

m)

1 m

?

(1

?

n)

1 n

,



(1

?

m)

n

?

(1 ? n)m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概

率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。

例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21?n.

解析:

因为

a+b=1,a>0,b>0,可认为

a,

1 2

,

b

成等差数列,设

a

?

1 2

?

d,

b

?

1 2

?

d



从而
an

?bn

?

?? 1

? d ??n

? ?? 1

? d ??n

?

21?n

?2 ? ?2 ?

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2)n ?

8

.

3 (n ? 1)(n ? 2)

解析:

观察

(

2 3

)

n

的结构,注意到

(

3 2

)

n

? (1 ? 1)n ,展开得
2

(1 ?

1)n 2

? 1 ? Cn1

?

1 2

? Cn2

?

1 22

? Cn3

?

1 23

???1?

n 2

?

n(n ?1) 8

?

(n ?1)(n ? 2) ? 6 8



即 (1? 1)n ? (n ?1)(n ? 2) ,得证.

2

8

例 48.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ? 1 ) ? ln 2 .

n

2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f (x), x ? N*, y ? N* ,满足:

①对任意 a,b ? N*, a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ; ②对任意 n?N* 都有 f [ f (n)] ? 3n .

(I)试证明: f (x) 为 N* 上的单调增函数;

(II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:. n ≤ 1 ? 1 ?
4n ? 2 a1 a2

? 1 ?1 an 4

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a),所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 ,
也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,不妨设 a ? b ,所以,可以得到 f (a) ? f (b) ,也就是说 f (x) 为 N* 上的单调增函数.

(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!

首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1,a ? f (1) ,则可以得到 ( f (x) ?1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N *,所以可以得到 f (1) ? 2 ①

接下来要运用迭代的思想:
因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ② f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27)] ? 81

在此比较有技巧的方法就是: 81? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55 ③

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.

所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55? 9 ? 2 ? 66

(3)在解决 {an } 的通项公式时也会遇到困难. f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所 以 数 列 an ? f (3n ), n ? N* 的 方 程 为 an ? 2 ? 3n , 从 而

1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) ,

a1 a2

an 4 3n

一方面

1 4

(1 ?

1 3n )

?

1 4

,另一方面 3n

?

(1 ?

2)n

?

Cn0

? 20

? Cn1

? 21

?

2n

?1

所以

1 4

(1 ?

1 3n

)

?

1 4

(1 ?

1) 2n ?1

?

1 4

?

2n 2n ?1

?

n 4n ?

2

,所以,综上有

n ≤1 ? 1 ? ? 1 ?1.

4n ? 2 a1 a2

an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件:

① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ; ② 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ?1, 则有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f (x2 ) ? 3.
(Ⅰ)求 f?0?的值;

(Ⅱ)求证:f?x?≤4;

(Ⅲ)当 1 1

时,试证明:

x

?( 3n

,

3n?1

](n

? 1,

2,3,?

? ?)

f

(x) ? 3x ? 3.

解析: (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 0 ,

由①对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x? ? 3 , ∴ f (0) ? 3
又由②得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; ∴ f (0) ? 3.

(Ⅱ)解:任取 x1, x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 ,

则 f (x2 ) ? f [x1 ? (x2 ? x1)] ? f (x1) ? f (x2 ? x1) ? 3, 因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f (x2 ? x1) ? 3 ,即 f (x2 ? x1) ? 3 ? 0, ∴ f (x1) ? f (x2 ) .
∴当 x ?[0,1]时, f (x) ? f (1) ? 4 .

(Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明:

f

(

1 3n?1

)

?

1 3n?1

? 3(n? N*)

(1) 当 n=1 时, f ( 1 ) ? f (1) ? 4 ?1? 3 ? 1 ? 3 ,不等式成立;

30

30

(2)

假设当 n=k 时, 1 1
f (3k?1 ) ? 3k?1 ? 3(k ? N*)



f

(

1 3k ?1

)

?

1 f [3k

?

(

1 3k

?

1 3k

)] ?

1 f (3k

)?

1 f (3k

?

1 3k

)?3

?

f

1 ( 3k

)?

f

1 ( 3k

)?

f

1 ( 3k

)?6


3f

(

1

)

?

f

(

1

)?6?

1

? 9.

3k

3k ?1

3k ?1

即当 n=k+1 时,不等式成立

由(1)、(2)可知,不等式 f ( 1 ) ? 1 ? 3 对一切正整数都成立. 3n?1 3n?1

于是,当

x

?

(

1 3n

,

1 3n?1

](n

? 1, 2, 3, ? ? ?)

时, 3x ? 3 ? 3?

1 3n

?3?

1 3n?1

?3?

f

(

1 3n?1

)



而 x ?[0,1], f ? x? 单调递增



f

1 (3n ) ?

f

1 (3n?1 )

所以,

f

(x)

?

f

1 (3n?1 )

? 3x ? 3.

例 50. 已知: a1 ? a2 ? ? an ? 1, ai ? 0 (i ? 1,2?n)

求证: a12 ? a22 ?
a1 ? a2 a2 ? a3

?

a2 n?1

?

an2

?1

an?1 ? an an ? a1 2

解析:构造对偶式:令 A ? a12 ? a22 ? ? ? an2?1 ? an2

a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1

B ? a22 ? a32 ? ? ? an2 ? a12

a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1

则 A ? B ? a12 ? a22 ? a22 ? a32 ? ? ? an2?1 ? an2 ? an2 ? a12

a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1

= (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

? 又

ai2

?

a

2 j

ai ? a j

?

1 2

(ai

? aj)

( i, j ? 1,2?n)

? A ? 1 ( A ? B) ? 1 ( a12 ? a22 ) ? a22 ? a32 ? ? ? an2?1 ? an2 ? an2 ? a12

2

2 a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1

?

1 4

?(a1

?

a2

)

?

(a2

?

a3 )

???

(an?1

?

an

)

?

(an

?

a1 )?

?

1 2

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小

保号性是指,定义在 ?a, b? 上的可积函数

f

?x?

?

?

??

0

,则

b
?a

f

? x? dx

?

???0

.

例 51.求证:? e ? e? .

? 解析:

? e ? e?

? ln? ?

?

ln e e

,∵

ln ? ?

?

ln e e

?

?ln x ?? ?? x ??e

?

? ?
e

d

? ??

ln x x

? ??

?

? e

1

? ln x2

x

dx



x

??e,?

?

时,

1

? ln x2

x

?

0



?
?e

1? ln x2

x

dx

?

0



∴ ln? ? ln e ,? e ? e? .
?e 利用定积分估计和式的上下界

定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.

? ? 例 52. 求证:1? 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 n ?1 ?1 ,?n ?1,n? N ? .

23

n

解析: 考虑函数 f ? x? ? 1 在区间?i,i ?1? ?i ?1, 2,3, , n? 上的定积分. x

? 如图,显然 1 ? 1 ?1 ? i?1 1 dx -①

ii

ix

? ? ? ? i 对 求和, n 1 ? n

i?1 1 dx ?

n?1 1 dx

ii

i ?1

i ?1

x

1x

? ? ? ??2 x ??1n?1 ? 2 n ?1 ?1 .

例 53. 已知 n ? N, n ? 4 .求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 7 .

n?1 n? 2 n?3

2n 10

? 解析:考虑函数

f

?x?

?

1 1?

x

在区间

? ??

i

?1 n

,

i n

? ??

i ?1, 2,3,

, n? 上的定积分.

? ∵

1 n?i

?

1 n

?

1

1 ?

i

?

i
n i?1
n

1 1?

x

dx

-②

n

?? ? ? ? ? ∴ n 1

?n 1 1

i ?1

n?i

?

i ?1

? n 1?

i

n
?
i?1

i n

1

i?1 n

1

?

x

dx

?

1 0

1

1 ?

x

dx

?

??ln

1? x

??10

? ln 2 ? 7 .
10

n

例 54. (2003 年全国高考江苏卷)设 a ? 0,如图,已知直线 l : y ? ax及曲线 C :y ? x 2 ,C 上的点 Q1 的横坐标为 a1( 0 ? a1 ? a ).

从 C 上的点 Qn ?n ?1? 作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn?1 ,再从点 Pn?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn?1 . Qn ?n ?1,2, ,n? 的横 坐标构成数列 ?an ? .

? ? (Ⅰ)试求 an?1 与 an 的关系,并求 an 的通项公式;

(Ⅱ)当 a

? 1, a1

?

1 2

时,证明 n
? (ak
k ?1

? ak ?1 )ak ?2

?

1 32



(Ⅲ)当

a

? 1 时,证明

n
? (ak
k ?1

?

ak ?1 )ak ?2

?

1 3

.

解析: an

?

a( a1 )2n?1 a

(过程略).

证明(II):由

a

?

1



an?1

?

an2

,∵

a1

?

1 2

,∴

a2

?

1 4

,

a3

?

1 16

.

∵当

k

? 1 时,

ak ?2

?

a3

?

1 16





n
? (ak
k ?1

? ak?1)ak?2

?

1 16

n
? (ak
k ?1

? ak?1)

?

1 16

(a1

? an?1)

?

1 32

.

证明(Ⅲ):由 a ?1知 ak?1 ? ak2 . ∴ (ak ? ak?1)ak?2 ? (ak ? ak?1)ak2?1 恰表示阴影部分面积,

? 显然 ④ (ak ? ak?1)ak2?1 ?

ak x2dx
ak ?1

∴ . n

n

n

? ? ? ? (ak ? ak?1)ak?2 ? (ak ? ak?1)ak2?1 ?

? k ?1

k ?1

k ?1

ak x2dx ?
ak ?1

a1 0

x2dx

?

1 3

a13

?

1 3

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:

? ? ? ① 1 ?? i?1 1 dx ? 2 i ?1 ? i ; i ix

②1 n?i

??

i
n i?1
n

1

1 ?

x

dx

?

ln

???1 ?

i n

? ??

?

ln

???1

?

i

?1 n

? ??



? ③ sin?i ? sin?i?1 ? 1? sin2 ?i?1

sin?i sin?i?1

1 1?

x2

dx

? ?i

??i?1 ;

? ? ? ④ . (ak ? ak?1)ak2?1 ?

ak x2dx ? 1

ak ?1

3

ak3

?

a3 k ?1

十二、部分放缩(尾式放缩)

例 55.求证:

1 3?1

?

3?

1 2

?1

???

3?

1 2 n ?1

?1

?

4 7

解析:

1? 3?1

1 ??? 3? 2 ?1

1 3 ? 2n?1

?1

?

1 4

?

1 7

???

1 3 ? 2n?1

?1

?

11 28

?

1 3? 22

???

1 3 ? 2n?1

1 ? 11 ? 1 ? 4 ? 47 ? 48 ? 4
28 3 1? 1 84 84 7 2

例 56.

设 an

?

1

?

1 2a

?

1 3a

??? 1 na

, a ? 2. 求证: an

? 2.

解析:

an

?1?

1 2a

?

1 3a

???

1 na

?1? 1 22

?1 32

??? 1 . n2

又 k 2 ? k ? k ? k(k ?1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ?1,进行部分放缩),? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,
k 2 k(k ?1) k ?1 k

于是 an

?1?

1 22

?

1 32

???

1 n2

? 1? (1? 1) ? (1 ? 1) ? ?? ( 1 ?

2 23

n ?1

1) n

?

2?

1 n

?

2.



57. 设





?an ?





an?1

?

a

2 n

?

nan

? 1?n ?

N?

?





a1 ? 3

时证



对所有

n ? 1,

有 (i)an ? n ? 2 ;

(ii) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1

1 ? a1 1 ? a2

1? an 2

解析: (i) 用数学归纳法:当 n ?1时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ?1时

ak?1 ? ak (ak ? k) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。

(ii) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得

ak ?1

? 1 ? 2(ak

? 1) ?

ak

? 1 ? ? ? 2k?1 (a1

? 1) ? 2k ?1

? 4 ? 2k ?1

?

1? ak ?1

1 2 k ?1

.

n
?
i ?1

? 1

n
?

1? ai i?1

1

?

1

?

1

?

(

1 2

)

n

?

1.

2i?1 4 1? 1

2

2

注:上述证明 (i) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii) 就直接

使用了部分放缩的结论 ak?1 ? 2ak ? 1 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证:| sin x |?| x | (x ? R) . 解析:(i)当 x ? 0 时,| sin x |?| x |
(ii)当 0 ? x ? ? 时,构造单位圆,如图所示: 2
因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 sin x ? x ?| sin x |?| x |

y P
A

O

TB

x

当 x ? ? 时| sin x |?| x | 2
所以当 x ? 0时 sin x ? x 有| sin x |?| x | (iii)当 x ? 0时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有| sin x |?| x | (x ? R)

十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 f (x) ? A ,只要证明 f (x) ? A ? B(B ? 0) ,其中 B 通过 寻找分析,归纳完成.
? 例 59.求证:对一切 n(n ? N*),都有 n 1 ? 3 . k ?1 k k

解析: 1 ? kk

1 ?
k3

1 ?
k(k 2 ?1)

1 (k ?1)k(k

? 1)

?

?? ??

1? (k ?1)k

k

1 (k

?

1)

?? ??

?

1 k ?1?

k ?1

?

?? ??

1? (k ?1)k

k

1 (k

?

1)

?? ??

?

1 k ?1?

? 1 ?? k ?1 k ?

1? k ?1

1 ?? ? k ?1?

k ?1? 2

k ?1

? 1 ?? 1 ? 1 ?? ? 2k ? 1 ? 1 k ? k ?1 k ?1? 2 k ?1 k ?1

? 从而 n 1 ? 1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1? 2 ? 1 ? 1 ? 3

k ?1 k k

132 435

k ?1 k ?1

2 k k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:

1? 1 ? k k k k ?1

k?

1 k?

k

?1

?

?? ??

1? k(k ?1)

1 k2

?? ??

?

1

? 1?

k ? k ?1 k

k ? k ?1 ? ??

1

?

1 ? 1 ?? k ?1 k ?

? 2 ? ?? 1 ? 1 ?? ? k ?1 k ?

所以

n
?

1

n
? 1? ?

1

? 1? 2(1? 1 ) ? 3 .

k ?1 k k

k?2 k k

k

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其

基本原理为: 欲证明 A ? f (x) ? B ,只要证明: A ? C ? f (x) ? B ? C(C ? 0, A ? B).



60.已知数列{an} 满足: a1

?

1, an?1

?

an

?

1 an

,求证:

2n ?1 ? an ?

3n ? 2(n ? 2).

解析:

an2

?

??? an?1 ?

?

1 an?1

???2 ?

?

ak

2 ?1

?

2 ,从而 an2

?

a2 n?1

?

2 ,所以有

an 2

? (an2

?

a2 n?1

)

?

(an?12

? an?22 ) ??? (a22

? a12 ) ? a12

? 2(n ?1) ?1? 2n ?1,所以 an

?

2n ?1

又 an2

?

??? an?1 ?

?

1 an?1

??? 2 ?

?

a

k

2 ?1

? 3 ,所以 an2

?

a2 n?1

? 3,所以有

an 2

?

(an 2

?

a2 n?1

)

?

(an?12

? an?22 ) ??? (a22

? a12 ) ? a12

? 3(n ?1) ?1 ? 3n ? 2 所以 an

?

3n ? 2

所以综上有 2n ?1 ? an ? 3n ? 2(n ? 2).

引申:已知数列 {an } 满足:

a1

?

1, an?1

?

an

?

1 an

,求证:

?n 1 ?
a k ?1 k

.
2n ?1

解析:由上可知 an ?

2n ?1 ,又 2n ?1 ?

2n ?1 ? 2n ? 3 ,所以 1 ?

1

?

2

? 2n ?1 ? 2n ? 3

2

an 2n ?1 2n ?1 ? 2n ? 3

? 从而 n 1 ? 1? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ??? 2n ?1 ? 2n ? 3 ? 2n ?1(n ? 2)
a k ?1 k

? 又当 n ?1时, 1 ? 1,所以综上有 n 1 ? 2n ?1 .

a1

a k ?1 k

同题引申:

(2008

年浙江高考试题)已知数列?an ?, an

?

0 , a1

?

0

,

a2 n?1

? an?1

?1 ?

an2 (n ? N ? ) .

记 Sn

?

a1

? a2

? ? ? an ,Tn

?1 1 ? a1

?

1

???

1

.求证:当 n ? N ? 时.

(1 ? a1 )(1 ? a2 )

(1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an )

(1) an ? an?1;

(2) Sn ? n ? 2 ;

★(3)Tn ? 3 .

解析:(1)

a2 n?1

? an2

?1? an?1

,猜想

an

? 1 ,下面用数学归纳法证明:

(i)当 n ?1时, a1 ? 1,结论成立;

(ii)假设当 n ? k(k

?1) 时, ak

? 1 ,则 n ? k

?1(k

?

1)

时,

ak

2 ?1

? ak?1

? 1? ak 2

从而

a2 k ?1

?

ak ?1

?

2

?

an?1

? 1,所以

0

?

ak ?1

?1

所以综上有 0

?

an

? 1,故

a2 n?1

? an2

?

0 ? an?1

?

an

(2) 因 为

a2 n?1

? an2

?1? an?1



a22 ? a12

? 1 ? a2

,

a32 ? a22 ?1? a3

,…,

a2 n?1

? an2

?1? an?1

,相加后

可以得到

:

a2 n?1

? a12

?

n

? (a2

?

a3

???

an?1 )

?

Sn?1

?

n

?

a2 n?1

,所以

Sn ? n ?1? an2 ? n ? 2 ,所以 Sn ? n ? 2

(3)因为

a2 n?1

? an?1

?1? an2

? 2an ,从而 an?1

?1?

2an an?1

,有 1 1 ? an?1

?

an?1 2an

,所以有

1 (1? a3 )?(1? an )(1? an?1)

?

an?1 2an

? an ? a3 2an?1 2a2

?

an?1 2n?1 a2

,从而

1 (1? a1)(1? a2 )(1? a3 )?(1? an )(1? an?1)

?

an?1 2n?1 a2

?1 1? a2

?

an?1 2 n?1

,所以

1 (1? a1)(1? a2 )(1? a3 )?(1? an )

?

an 2n21 a2

?1 1? a2

?

an 2n?2

,所以

Tn

?1? 1 1? a2

?

a3 2

?

a4 22

?? ?

an 2n?2

?1? 1 1? a2

?1? 2

1 22

???

1 2n?2

?

2 ?1?1? 3 5 ?1

所以综上有Tn ? 3 .



61.(2008

年陕西省高考试题)已知数列{an}的首项 a1

?

3 5

, an?1

?

3an , n ?1,2, 2an ?1



(1)证明:对任意的 x

?

0 , an

≥1 1? x

?

1 (1? x)2

?2 ?? 3n

?

x

? ??

, n ?1,2,

;

(2)证明: a1 ? a2 ?

?

an

?

n2 n ?1

.

解析:(1)依题,容易得到 an

?

3n 2 ? 3n

?

1

?

2 3n

,要证

x

?

0

,

an



1 1?

x

?

1 (1? x)2

?2 ?? 3n

?

x

? ??

,

n

?

1,2,

,

即证1

?

2 3n

?1 1? x

?1 (1? x)2

?2

? ?

3n

? x ?1?1?? ? 2 ? 1? x

?2 3n (1?

x)2

?

1 (1? x)2

即证 2 1? x

?

2 ? 3n 3n (1? x)2

?

2 3n

?1?

0 ,设 t

?1 1? x

所以即证明

?

(t

)

?

?

2

? 3n 3n

?t2

?

2t

?

2 3n

?1 ? 0(0 ? t

? 1)

从而?(1) ? 0 ,即 ? 2 ? 3n ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ,这是显然成立的.

3n

3n

所以综上有对任意的

x

?

0 , an

≥1 1? x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3n

?

x

? ??

,

n

? 1,2,

(法二)

1 1? x

?

1 (1? x)2

?2 ?? 3n

?

x

? ??

?

1 1? x

?

1 (1? x)2

?2 ?? 3n

?

1

?1?

x

? ??

? ?

1 1?

x

?

1 (1? x)2

?1

? ?

an

?

(1?

? x)?
?

?

2 1?

x

?

an

1 (1 ?

x)2

, ?

?

1 an

?1 ?? 1 ?

x

?

an

2
? ? ?

?

an



an

原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有

a1 ? a2 ?

?

an

≥1 1? x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3

?

x

? ??

?

1 1?

x

?

1 (1? x)2

? ??

2 32

?

x

? ??

?

?1 1?

x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3n

?

x

? ??

?

n 1?

x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3

?

2 32

?

?

2 3n

?

nx

? ??



?取

x

?

1 n

? ??

2 3

?

2 32

?

?

2 3n

? ??

?

2 3

???1 ?

1 3n

? ??

n

???1 ?

1 3

? ??

?

1 n

???1 ?

1 3n


? ??


a1 ? a2 ?



?

an



1?

1 n

n ???1?

1 3n

? ??

?

n

n2 ?1?

1 3n

? n2 n ?1

? 原不等式成立.

十四、经典题目方法探究

探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f (x) ? ln(1? x) ? x .若 f (x) 在区间[0,n](n ? N*) 上的最小值为 bn ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn .求

证: a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ??? a2n?1 ?

a2 a2 ? a4

a2 ? a4 ? a6 ??? a2n

2an ? 1 ?1.

证明:首先:可以得到 an

?

nn

.先证明 1? 3? 5??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

1 2n ?1

(方法一)

?1? 3? 5??? (2n ?1) ?2 ?? 2? 4? 6??? 2n ??

?

1?3 ? 22

3?5 42

???

(2n

?1)(2n (2n)2

? 1)

?

1 2n ?1

?

1 2n ?1

所以 1? 3? 5??? (2n ?1) ? 1

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

2n ?1

(方法二)因为 1 ? 1?1 ? 2 , 3 ? 3 ?1 ? 4 ,?, 2n ?1 ? 2n ?1?1 ? 2n ,相乘得:

2 2?1 3 4 4?1 5

2n 2n ?1 2n ?1

?1? 3? 5 ??? (2n ?1) ?2 ?? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n ??

?

1 2n ?1

,从而 1? 3? 5??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

1. 2n ?1

(方法三)设 A= 1? 3? 5??? (2n ?1) ,B= 2 ? 4 ? 6 ??? 2n ,因为 A<B,所以 A2<AB,

2? 4? 6??? 2n

3 ? 5 ? 7 ??? (2n ? 1)

所以 ?1? 3? 5 ??? (2n ?1) ?2 ?? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n ??

?

1 2n ?1

,从而 1? 3? 5??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

1. 2n ?1

下面介绍几种方法证明 a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ??? a2n?1 ?

a2 a2 ? a4

a2 ? a4 ? a6 ??? a2n

2an ? 1 ?1

(方法一)因为 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以有

2

2n ? 1

? 1 ? 1? 3 ? ? ? 1? 3 ? 5 ??? (2n ?1) ? n 2k ?1 ? 2n ?1 ?1

2 2?4

2 ? 4 ? 6 ??? 2n k ?1

(方法二) n ? 2 ?

n?

2 n?2?

,因为 n

1? n?2

2 n?2?

,所以
n

1? n?2

n?2?

n

令 n ? 2n ? 1,可以得到

1

,所以有
? 2n ? 1 ? 2n ? 1

2n ? 1

? 1 ? 1? 3 ? ? ? 1? 3 ? 5 ??? (2n ?1) ? n 2k ?1 ? 2n ?1 ?1

2 2?4

2 ? 4 ? 6 ??? 2n k ?1

(方法三)设

1? 3? 5 ??? (2n ?1)

2n ? 1

an ? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n , an?1 ? 2n ? 2 an

所以

2(n ? 1)an?1 ? an?1 ? (2n ? 1)an ? an?1

,从而

an?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ?1)an ? (2n ?1)an?1

a1

?

a2

?

a3

???

an

?

(2n

? 1)an

? (2n

?1)an?1

? (2n ?1)an?1

? (2n

? 3)an?2

??? 5a2

? 3a1

?

(2n

? 1)an

?

3 2



an ?

1 ,所以 2n ? 1

a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ?

2n ?1 ? 3 ? 2

2n ?1 ?1

(方法四)运用数学归纳法证明:

n
?

1

? 2n ?1 ?1

k?1 2k ? 1

(i)当 n ?1时,左边= 1 ,右边=

3

3 ?1?

2? 3 ?1

显然不等式成立;
1 3 ?1 2

(ii)假设

n

?

k(k

?

1)

时,

k
?

1

? 2k ? 1 ?1,则 n ? k ?1时,

i?1 2i ? 1

1 ? 1 ???

1

?

1

? 2k ?1 ?1?

1

,所以要证明

k ?1
?

1

? 2k ? 3 ?1 ,只要

35

2k ?1 2k ? 3

2k ? 3

i?1 2i ? 1

证明
2k ?1 ?

1? 2k ? 3

2k ? 3 ?

1? 2k ? 3

2k ? 3 ? 2k ?1 ?

1 2k ? 3 ?
2

,这是成立的.
2k ?1

这就是说当 n ? k ?1时,不等式也成立,所以,综上有

a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ??? a2n?1 ?

a2 a2 ? a4

a2 ? a4 ? a6 ??? a2n

2an ? 1 ?1

a 探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 f (x) ? sin x .如果对任何 x≥0 ,都有 f (x) ≤ ax ,求 的取值范围. 2 ? cos x

解析:因为

f

(x)

?

sin x 2 ? cos

x

,所以

f

' ( x)

?

cosx(2 ? cosx) ? (cosx ? 2)2

sin 2

x

?

1 ? 2cosx (cosx ? 2)2

设 g(x) ? f (x) ? ax ,则

1 ? 2 cos x

cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2

2

3

, g(0) ? 0

g'(x) ? f '(x) ? a ?

?a?

?a?

?

?a

(cos x ? 2)2

(cos x ? 2)2

cos x ? 2 (cos x ? 2)2

因为 |

c os x

|? 1 ,所以

2 cos x

?

2

?

(cos

3 x?

2)2

?

???? 1,

1? 3 ??

(i)当 1 时,
a?

g'(x) ? 0恒成立,即 g(x) ? g(0) ? 0,所以当 a ? 1 时,

f (x) ≤ ax 恒成立.

3

3

(ii)当 a ? 0 时, f (? ) ? 1 ? 0 ? a ? (? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意.

22

2

(iii)当 0 ? a ? 1 时,令 h(x) ? sin x ? 3ax ,则 h?(x) ? cos x ? 3a 故当 x??0,arccos3a? 时, h?(x) ? 0 .
3

因此 h(x) 在?0,arccos3a? 上单调增加.故当 x ? (0,arccos 3a) 时, h(x) ? h(0) ? 0 ,

即 sin x ? 3ax .于是,当 x ?(0,arccos3a) 时, f (x) ? sin x ? sin x ? ax
2 ? cos x 3

所以综上有

a

的取值范围是

?1 ?? 3

,??

?? ?

变式:若 0 ? xi ? arccos 3a ,其中 i ?1,2,3,?, n

且0

?

a

?

1, 3

x1

?

x2

?

x3

???

xn

?

arccos 3a

,求证:

tan x1 ? tan x2 ? tan x3 ? ? ? tan xn ? 3a arccos3a .

2

2

2

22

证明:容易得到 tan xi ? sin xi ? sin xi 2 cos xi ?1 2

由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi

就可以知道 tan x1 ? tan x2 ? tan x3 ? ? ? tan xn ? 3a arccos3a

2

2

2

22

★同型衍变:(2006 年全国一卷)已知函数 f (x) ? 1? x e?ax .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取值范围. 1? x

解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?(x) ? ax2 ? 2 ? a e?ax . (1? x)2

(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求.

(ⅱ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (- a ? 2 , a ? 2 )为减函数, 故在区间(0,

a

a

1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求. (ⅲ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈(0, 1) 恒有

a?2 )
a

内任取一点,

比如取 x0

?1 2

a ? 2 , 就有 x0∈(0,
a

f (x) ? 1? x e?ax ≥ 1 ? x ? 1, 这时 a 满足要求.

1? x

1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.


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