2019届高三数学二轮专题复习文档:考前冲刺四 溯源回扣三 三角函数与平面向量 Word版含解析

溯源回扣三 三角函数与平面向量
1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位 置无关,只由角 α 的终边位置决定. [回扣问题 1] 已知角 α 的终边经过点 P(3,-4),则 sin α+cos α 的值为________. 解析 由三角函数定义,sin α=-45,cos α=35, ∴sin α+cos α=-15. 答案 -15 2.求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要注意 ω,A 的符号.若 ω<0 时,应先利用 诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解;在书写单调区间时,不能弧度和角度 混用,需加 2kπ 时,不要忘掉 k∈Z,所求区间一般为闭区间. [回扣问题 2] 函数 y=sin???-2x+π3???的递减区间是________. 解析 y=-sin???2x-π3???,令 2kπ-π2≤2x-3π≤2kπ+π2,k∈Z,得 kπ-1π2≤x≤kπ +152π,k∈Z. 答案 ???kπ-1π2,kπ+152π???(k∈Z) 3.运用二次函数求三角函数最值,注意三角函数取值的限制. [回扣问题 3](2017·全国Ⅱ卷)函数 f(x)=sin2x+ 3cos x-34???x∈???0,2π??????的最大值是 ________.
解析 f(x)=-cos2x+ 3cos x+14=-???cos x- 23???2+1,由 x∈???0,2π???,知 0≤
cos x≤1, 当 cos x= 23,即 x=6π时,f(x)取到最大值 1. 答案 1 4.已知三角形两边及一边对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论, 可能有一解、两解或无解.在△ABC 中,A>B sin A>sin B. [回扣问题 4] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 B=π6,

c=2 3,b=2,则 C=________.

解析

由正弦定理得sinc

C=sinb

B,∴sin

C=csibn

B .

∵B=6π,c=2

2 3,b=2,∴sin C=

32×12= 23,

又 b<c,∴C=3π或23π.

答案π3或23π

5.在三角函数求值中,忽视隐含条件的制约导致增解.

[回扣问题 5] 已知 cos α=17,sin(α+β)=5143,0<α<π2,0<β<π2,则 cos β=________.

解析 ∵0<α<2π且 cos α=17<cos3π=12,

∴π3<α<π2,又 0<β<π2,∴3π<α+β<π,

又 sin(α+β)=5143< 23,∴23π<α+β<π.

∴cos(α+β)=- 1-sin2(α+β)=-1114,

sin α=

1-cos2α=4

7

3 .

∴cos β=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β) cos α+sin(α+β)sin α=12.

答案

1 2

6.活用平面向量运算的几何意义,灵活选择几何运算与坐标运算.

[回扣问题 6] (1)(2017·全国Ⅱ卷改编)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则 a·b

=________.

(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则A→E·B→D=________.

解析 (1)由|a+b|=|a-b|,知以 a,b 为邻边的平行四边形为

矩形,从而 a·b=0.

(2)如图,建立平面直角坐标系,则A→E=(1,2),B→D=(-2,2),

所以A→E·B→D=2.

答案 (1)0 (2)2 7.设两个非零向量 a,b,其夹角为 θ,当 θ 为锐角时,a·b>0,且 a,b 不同向; 故 a·b>0 是 θ 为锐角的必要不充分条件;当 θ 为钝角时,a·b<0,且 a,b 不反向, 故 a·b<0 是 θ 为钝角的必要不充分条件. [回扣问题 7] 已知向量 a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设 a 与 b 的夹角为 θ.若 θ 为锐角,则 λ 的取值范围是________________. 解析 因为 θ 为锐角, 所以 0<cos θ<1. 又因为 cos θ=|aa|·|bb| = 52·λ+λ21+1,

所以 0< 52·λ+λ21+1且 52·λ+λ21+1≠1,

?2λ+1>0, 所以?

解得???λ>-12,

?2λ+1≠ 5· λ2+1, ??λ≠2,

所以 λ 的取值范围是???λ???λ>-12

,且λ≠2??.
?

答案

???λ???λ>-12

,且λ≠2??
?

8.切忌混淆三角形“四心”,注意不同的向量表示形式.

[回扣问题 8] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|O→B-O→C|=|O→B+O→C-

2O→A|,则△ABC 的形状为_________________.

解析 ∵|O→B-O→C|=|O→B+O→C-2O→A|,

∴|C→B|=|A→B+A→C|,

即|A→B-A→C|=|A→B+A→C|.

故以 AB,AC 为邻边的平行四边形为矩形.

因此△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.

答案 直角三角形


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