江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案

武进区2 0 1 4 届 第 一 学 期 期 中 考 试

高三理科数学试题
相应的位置上)
1. 已知集合 A ? x x 2 ? 4 , B ? ?0,1,2? ,则 A ? B ? 2.若点 (a,9) 在函数 y ? 3x 的图像上,则 tan

2013.11

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡

?

?





a? 的值为 6





3.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 4 ,则 S5 的值为





4.已知向量 a ? (1,3) , b ? (?2,1) , c ? (3, 2) .若向量 c 与向量 ka ? b 共线, 则实数 k ? ▲ .

x ? ? 5、将函数 f ( x) ? 2 cos( ? ) 的图象向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函 3 6 4
数 g (x) 的图象,则 g (x) 的解析式为 ▲ .

6.已知 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 1 , A ? 30? ,则 AC ? 7.若实数 x 、 y 满足 x2 ? y2 ? 2 ? x ? y ? ,则 x ? y 的最大值是









8 . 已 知 a, b 是 非 零 向 量 且 满 足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b , 则 a 与 b 的 夹 角 是 ▲ .

9. 定义在 R 上的函数 f ( x) ,其导函数 f ' ? x ? 满足 f ' ? x ? ? 1 ,且 f ? 2? ? 3 ,则关于 x 的 不等式 f ? x ? ? x ? 1的解集为 ▲ .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 10.若关于 x , y 的不等式组 ? x ? 1 ? 0, ( a 为常数)所表示的平面区域的面积等 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?

于 3, 则 a 的值为 ▲ .

11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 1 ,当 x ?? ?2,0? 时,

f ? x ? ? log2 ? ?x ? 3? ,则 f ? 2013? =





12. 已知正项等比数列 ?an ? 满足: a6 ? a5 ? 2a4 , 若存在两项 am , n 使得 am an ? 2a1 , a 则

1 4 ? 的最小值为 m n





13.在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, A? 2,0? , B ? 0,1? ,则点集

?P OP ? ?OA ? ?OB, ? ? ? ? 1, ?, ? ? R? 所 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 是
??? ? ??? ? ??? ?
▲ .

?ab, ab ? 0 ? 14.任给实数 a , b 定义 a ? b ? ? a ,设函数 f ? x ? ? ln x ? x ,若 ?an ? 是公比 ? b , ab ? 0 ?
大 于 0 的 等 比 数 列 , 且 a4 ? 1 , ▲ .

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ??? f ? a6 ? ? 2a1 , 则 a1 ?

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤)
15. (本题满分 14 分) 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ?

? 该图象与 y 轴 ) 的部分图象如下图所示, 2

交于点 F (0, 2) ,与 x 轴交于点 B, C , M 为最高点,且 ?MBC 的面积为 ? . ⑴ 求函数 f ( x) 的解析式; ⑵ 若 f (? ? ) ?

? 4

? 2 5 ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 5 2

y

M

F B

O

C

x

16. (本题满分 14 分) 已知 A、B 分别在射线 CM 、CN(不含端点 C ) 上运动,?MCN ? 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . ⑴ 若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; ⑵ 若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值.

2 ? , ?ABC 在 3

M A

N

B

C

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? 4 ( a ? R ). ⑴ 若函数 y ? f (x) 的图象在点 P 1, f ?1? 处的切线的倾斜角为

?

?

? ,求 f ( x) 在 4

??1,1? 上的最小值;
⑵ 若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 16 分) 某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为 x 万元时,销售量 P 2 万件满足 P ? 3 ? (其中 0 ? x ? a , a 为正常数). 现假定生产量与销售量相等, x ?1 已知生产该产品 P 万件还需投入成本 ?10 ? 2P ? 万元(不含促销费用) ,产品的销售 价格定为 ? 4 ?

? ?

20 ? ? 万元/万件. P?

⑴ 将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; ⑵ 促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

19. (本题满分 16 分) 各项均为正数的等比数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2 a4 ? 16 ,单调增数列 ?bn ? 的前 n 项 和为 Sn , b1 ? 2 ,且 6Sn ? bn 2 ? 3bn ? 2 n ? N * . ⑴ 求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; ⑵ 令 cn ?

?

?

⑶ 证明 ?an ? 中任意三项不可能构成等差数列.

bn ? n ? N * ? ,求使得 cn ? 1的所有 n 的值,并说明理由; an

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 3e ? a ( e ? 2.71828 …是自然对数的底数)的最小值为 3 .
x

⑴ 求实数 a 的值; ⑵ 已知 b ? R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 ln f ? x ? ? ln3 ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b2 ; ⑶ 已知 m ? Z 且 m ? 1 .若存在实数 t ?[ ?1, ??) ,使得对任意的 x ? [1,m ],都有

f ( x ? t) ? 3ex,试求 m 的最大值.

2014 届 第 一 学 期 期 中 考 试
2013.11

高三理科数学试题答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1、 ?0,1? 6、1 或 2 11、 2、 3 7、4 12、 3、20 8、 4、 ?1 5、 g ( x) ? 2 cos( 10、 5

? 3

x ? ? ) ?1 3 4

9、 ? ??,2?

9 2 13、4 14、 e 4 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分. )
15. (本题满分 14 分)解: (1)∵ S ?MBC ? ∴周期 T ? 2? ?

1 2

??

1 ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2

?

, ? ? 1 .……………………………………3 分

由 f (0) ? 2sin ? ? ∵0 ?? ?

2 ,得 sin ? ?

2 , 2

? ? ,∴ ? ? ,……………………………………6 分 2 4
? ) .……………………………………7 分 4

∴ f ( x) ? 2sin( x ?

(2)由 f (? ? ) ? 2sin ? ? 分

? 4

2 5 5 ,得 sin ? ? ,……………………………………9 5 5

∵ ? ? (0, ) ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ?
2

? 2

2 5 ,.……………………………………10 分 5

∴ cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? …………………………12 分

3 4 ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , … 5 5
M A

? ? ? cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin ∴ 4 4 4 3 2 4 2 2 .………14 分 ? ? ? ? ?? 5 2 5 2 10 16. (本题满分 14 分)解: (1)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,

θ N B C

? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 .……………………………………2 分

又 ? ?MCN ? 分

2 1 a 2 ? b2 ? c2 1 ? , cos C ? ? , ? ? ? ,………………4 3 2 2ab 2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
2 2
2

1 ?? , 2

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .……………………………6 分 又? c ? 4 ,? c ? 7 . (2)在 ?ABC 中, ………………………………………7 分

AC BC AB ? ? , sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB

?

AC ? sin ?

BC 3 ? ? 2, ?? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?
……………………………………9

?? ? AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . ?3 ?


?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ,………11 分 ?2 ? 2 3? ? ? ?
又 ? ?? ? 0, 分

? ?

? ? 2? ?? ? ,? 3 ? ? ? 3 ? 3 , 3?
?
2
即? ?

…………………………………12

?当 ? ?


?
3

?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . ……………………14 6
2

17.(本小题满分 14 分)解: (1) f ?( x) ? ?3x ? 2ax. 根据题意, f ?(1) ? tan

…………………………. ……………1 分

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. …………………3 分 4
3 2 2

此时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3x ? 4 x . 令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3

x
f ? ? x?
f ? x?

?1

(?1, 0)


0

(0,1)
+ ↗

1
1

?7
?1

0
?4

?3

…………………………………………………………………………………………. 6 分 ∴当 x?? ?1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0? ? ?4 . ………………………7 分 (2)? f ?( x) ? ?3x( x ?

2a ). 3

①若 a ≤ 0,当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0. …………………………………………..10 分
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3 2a 2a ) 从而 f (x) 在(0, 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. 3 3

?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 3 4a 3 )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

4a 3 ? 4 ? 0, 即a 3 ? 27.? a ? 3. …………….............................. 13 分 根据题意, 27
综上, a 的取值范围是 (3, ??) .……………………………………14 分 18. (本题满分 16 分)解: (1)由题意知,该产品售价为 2 ? ( 分

10 ? 2 P ) 万元,……………2 P

10 ? 2 P y ? 2?( ) ? P ? 10 ? 2 P ? x ,……………………………………4 分 P 4 y ? 16 ? ( ? x) , 0 ? x ? a )……………………………………6 分 代入化简得 ( x ?1 4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 (2) y ? 17 ? ( x ?1 x ?1 4 ? x ? 1,即x ? 1 时,上式取等号. …………………………………9 分 当且仅当 x ?1 当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;…………………………………11


当 a ? 1 时, y ?
'

? ? x ? 1? ? ? x ? 3?

? x ? 1?

2

? 0 ,故 y ? 17 ? (

4 ? x ? 1) 在 ? 0, a ? 上单调递增, x ?1

所 以 在 x=a 时 , 函 数 有 最 大 值 . 促 销 费 用 投 入 a 万 元 时 , 厂 家 的 利 润 最 大 .……………………15 分 综上述,当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时,促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大 . ……………………………………16 分 19. (本题满分 16 分)解: (1)∵ a2 a4 = a12q4 ? q4 ? 16 , q 2 =4, ∵ n ? 0 ,∴ q=2, ∴ n ? 2 n?1 ……………………………………2 分 a a ∴3= a4 =8. b ∵ Sn ? bn 2 ? 3bn +2 ① 6

当 n≥2 时, 6Sn?1 ? bn?12 ? 3bn?1 +2 ②
2 ① 得 6bn ? bn 2 ? bn?1 ? 3bn ? 3bn?1 即 (bn ? bn?1 )(bn ? bn?1 ) ? 3(bn ? bn?1 ) -②

?b1 ? 2 ,单调增数列 ?bn ? ,?bn ? 0 ,
∴ n ? bn?1 =3,∴ bn } 是公差为 3 的等差数列.…………………………4 分 b { 由 b1 ? 2 得, bn ? b1 ? ? n ?1? d ? 3n ?1. …………………………6 分 (2)∵ n ? 3n ? 1 ,∴ n ? b c

bn 3n ? 1 = n ?1 , 2 an

∴ 1 =2>1, c 2 = c

5 11 7 >1, c3 =2>1, c4 ? >1, c5 ? <1,…………………………8 分 2 8 8

下面证明当 n≥5 时, cn ? 1. 事实上,当 n≥5 时, cn ?1 ? cn ?

3n ? 2 3n ? 1 4 ? 3n ? n ?1 = n <0 2n 2 2

c 即 cn?1 ? cn ,∵ 5 ?

7 <1 ∴ n≥5 时, Cn ? 1 ,…………………………10 分 当 8

故满足条件 cn ? 1的所有 n 的值为 1,2,3,4.…………………………11 分 (3)假设 {an } 中存在三项 p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使 ap, aq, ar 构成等差数列, ∴ 2aq=ap+ar,即 2 ?2q 1=2p 1+2r 1.∴2q p+1=1+2r p.…………………………13 分 因左边为偶数,右边为奇数,矛盾. ∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列.…………………………16 分 20 . ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 解 :( 1 ) 因 为 x ? R , 所 以 x ? 0 , 故










f ( x) ? 3e ? a ? 3e0 ? a ? 3 ? a ,
x

因为函数 f ( x ) 的最小值为 3 ,所以 a ? 0 . ………………3 分 (2)由(1)得, f ( x) ? 3e .
x

当 x ? 0 时, ln f ( x) ? ln(3e ) ? ln 3 ? ln e ? ln 3 ? x ? ? x ? ln 3 ,……… 5 分
x x






2



ln f ( x) ? ln 3 ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b2









?x ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b ,即 x 2 ? 2bx ? 3b2 ? 0 ,
得 ( x ? 3b)( x ? b) ? 0 ,

……………… 7 分

所以,当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? ?3b ;当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? b .……… 9 分 (3)∵当 t ?[?1, ??) 且 x ? [1, m] 时, x ? t ? 0 , ∴ f ( x ? t ) ? 3ex ? ex?t ? ex ? t ? 1 ? ln x ? x . ∴原命题等价转化为:存在实数 t ?[?1, ??) , 使得不等式 t ? 1 ? ln x ? x 对任意

x ? [1, m] 恒成立.
'

…………… 11 分

令 h( x) ? 1 ? ln x ? x( x ? 0) .∵ h ( x) ?

1 ? 1 ? 0 ,∴函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数. x
…………… 13 分

又∵ x ? [1, m] ,∴ h( x) min ? h(m) ? 1 ? ln m ? m .

∴要使得对 x ? [1, m] , t 值恒存在,只须 1 ? ln m ? m ? ?1 .………… 14 分 ∵

1 3 1 h(3) ? ln 3 ? 2 ? ln( ? ) ? ln ? ?1 e e e



1 4 1 h(4) ? ln 4 ? 3 ? ln( ? 2 ) ? ln ? ?1 e e e
且函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数, ∴满足条件的最大整数 m 的值为 3.…… 16 分


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