2016高中数学精讲优练课型第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教版必修4_图文

1.6

三角函数模型的简单应用

【知识提炼】

三角函数的应用
(1)根据实际问题的图象求出函数解析式.

周期现象 的一种数学模型,因此 (2)三角函数作为描述现实世界中_________
可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 散点图 ,通过观察散点图进行_________ 函数拟合 (3)利用搜集的数据,作出_______ 而得到函数模型.最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

【即时小测】 1.思考下列问题 (1)能用三角函数模型解决的实际问题中通常具有什么现象? 提示:具有周期现象,如钟摆、潮汐等. (2)从实际问题中抽象建立起的函数模型,其自变量的取值范围有什 么特点? 提示:自变量的取值范围通常受到实际情境的影响 .

2.做简谐运动的物体,其位移随时间的变化规律为y=2sin(50πt+
? )cm,则它的周期为________s. 6 【解析】T= 2? =0.04. 50 ?

答案:0.04

3.如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要________s往复一 次.

【解析】由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8s往复 一次. 答案:0.8

4.某人的血压满足函数式f(t)=24sin160πt+110,其中f(t)为血压,
t为时间(单位:分钟),则此人每分钟心跳的次数为_______.

【解析】因为 T ? 2? ? 1 ,所以 f ? 1 ? 80.
160? 80 T

答案:80

5.如图,是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵 轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是__________.

? 【解析】设y=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|< ),则A=2, 2 5? T= 2 ? =2×(0.5-0.1)=0.8,所以 ? ? , 2 ? 5? 所以y=2sin( t+φ), 2 5? ? 因为2=2sin( ×0.1+φ),所以sin( +φ)=1, 2 4 5? ? ? 所以φ= .所以 y ? 2sin( t ? ). 2 4 4 5? ? 答案: y ? 2sin( t ? )(t ? 0) 2 4

【知识探究】 知识点 三角函数模型的简单应用

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:三角函数应用题有几种模式? 问题2:解三角函数模型应用问题的步骤是什么?

【总结提升】
1.三角函数应用题的三种模式

(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角
函数的性质,解决一些实际问题.

(2)给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数模型,再解决
其他问题.

(3)整理一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合
函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数模型,进一步用函数模

型来解决问题.

2.三角函数模型应用的步骤

(1)建模问题步骤:审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点
的三角函数值→解决实际问题.

(2)建立数学模型的关键,先根据题意设出代表函数,再利用数据求
出待定系数,然后写出具体的三角函数式.

3.三角函数模型应用注意点 (1)一般地,所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况,因此应特 别注意自变量的取值范围. (2)应用数学知识解决实际问题时,应注意从背景中提取基本的数学 关系,并利用相关知识来理解.

【题型探究】 类型一 三角函数图象与解析式的对应问题

【典例】1.(2015·青岛高一检测 ) 函数 y=f(x)=4cosx-e|x|(e 为自然 对数的底数)的图象可能是( )

2.已知函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y=loga(x+b)的

图象可能是(

)

【解题探究】1.典例1中的函数有什么明显的性质? 提示:函数定义域是R,且是偶函数. 2.典例2中a>1还是0<a<1?b的取值范围是什么? 提示:由周期大于2π知0<a<1,由x=0,y=b知b∈(0,1).

【解析】1.选A.因为f(-x)=4cos(-x)-e|-x|=4cosx-e|x|=f(x), 所以函数y=4cosx-e|x|为偶函数,图象关于y轴对称,排除B,D, 又因为f(0)=4cos0-e|0|=4-1=3,所以只有A适合. 2.选C.由图象知,此函数的周期T= 当x=0时y=b,由图象知0<b<1. 又因为y=logax的图象向左平移b个单位得y=loga(x+b)的图象,所以 选C.
2? >2π,又a>0所以0<a<1. a

【方法技巧】解决函数图象与解析式对应问题的策略 (1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶 性、周期性、对称性、单调性、值域,此外零点也可以作为判断的依 据. (2)利用图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,实质就是确定其中 的参数A,ω,φ.其中A由最值确定;ω由周期确定,而周期由特殊 点求得;φ由点在图象上求得,确定φ时,注意它的不唯一性,一般 要求|φ|中最小的φ.

【变式训练】函数f(x)=x+ cos x 的图象为(
x

)

【解析】选A.函数f(x)=x+ cos x 的定义域为{x∈R|x≠0},排除D.
x cos(? x) cos x f (? x) ? ? x ? ? ?(x ? ) ? ?f (x), ?x x

故f(x)是奇函数,排除B.

因为 f ( ? ) ? ? ?
3 3

cos

? 3 ? ? ? 3 ? 0,故排除C. ? 3 2? 3

类型二

三角函数在物理学中的应用

【典例】1.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球

摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是
s=3cos(
g ? t ? ),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时, l 3

线长l等于_________.

2.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用
? E ? 220 3sin(100?t ? ) 来表示,求: 6

(1)开始时电压.

(2)电压值重复出现一次的时间间隔.
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.

【解题探究】1.典例1中,周期如何计算出来的? 提示:周期 T ? 2? .
g l

2.典例2中,第(1)(2)(3)问分别转化为什么函数问题?
提示:(1)t=0时的函数值;(2)求函数的周期;(3)解三角函数方程

问题.

【解析】1. T ?

g g 2? . 所以 =2π.所以l= 2 . ?1 l 4? g l

答案: g 2
4?

2.(1)当t=0时,E=110

3 (V),

即开始时的电压为110 3 V. (2)T= 2 ?
100 ?

=0.02(s),即时间间隔为0.02 s.
6 2 300

(3)电压的最大值为220 3 V,当100πt+ ? ? ? ,即t= 1 s时第一 次取得最大值.

【方法技巧】处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的

特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,

因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.

【变式训练】已知如图表示电流强度I与时间t的关系 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)的图象. (1)试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式. (2)为了使I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)中t在任意一段
1 秒的时间 100

内电流强度I能同时取得最大值A与最小值-A,那么正整数ω的最小值 是多少?

【解析】(1)由图知,A ? 300.T ? 1 ? (? 1 ) ? 1 , 所以 ? ? 2? ? 100?.
60 300 50 T 1 因为( ? ,0)是该函数图象的第一个点(五点作图法), 300 ? ? ? 1 ? , 所以 ? ? ? ,所以 ? ? 300 3 ? 300 所以I=300sin(100πt+ ? )(t≥0). 3 1 (2)问题等价于T≤ ,即 2? ? 1 , 100 ? 100

所以ω≥200π,所以最小的正整数ω为629.

【补偿训练】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(cm)

和时间t(s)的关系式为s=6sin(2πt+ ? ).
6

(1)作出它的图象.

(2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米?
(3)单摆摆到最右边时,离开平衡位置多少厘米?

(4)单摆来回摆动一次需多长时间?

【解析】(1)列表如下:

描点作图:

(2)t=0时,s=3cm,此时离开平衡位置3厘米.

(3)离开平衡位置6厘米.
(4)因为T= 2? =1,
2?

所以来回摆动一次所需的时间为1秒.

类型三

三角函数在实际生活中的应用

【典例】(2015·宜昌高一检测)在某个以旅游业为主的地区,每年各

个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化,现假设该地区
每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数:f(n)=

100[Acos(ωn+2)+k]来刻画.
其中:正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=1时表示1月份;A
? +2)≈-1. 3

和k是正整数,ω>0,cos( 4 ? +2)≈1,cos(
3

统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:

①每年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同; ②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约 400人; ③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增到 8月份达到最多. (1)试根据已知信息,确定一个符合条件的f(n)的表达式. (2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时,该地区 也进入了一年中的旅游“旺季”,那么,一年中的哪几个月是该地区 的旅游“旺季”?请说明理由.

【解题探究】本例中参数A,ω,k的计算顺序是什么? 第(2)问可转化为什么数学模型? 提示:先求A,ω,再求k.第(2)问解不等式f(n)>400.

【解析】(1)根据三条规律,可知该函数为周期函数,且周期为 (82)×2=12,
2? ? 由此可得, T? ? 12 ? ? ? , ? 6

由规律②可知,f(n)max=f(8)=100A+100k,f(n)min=f(2)=-100A+ 100k, f(8)-f(2)=200A=400?A=2,
? ×2+2)+100k=100,所以k=3, 6 ? 综上可得,f(n)=200cos( n+2)+300,符合条件. 6

又当n=2时f(2)=200·cos(

(2)由条件200cos( ? n+2)+300>400, 可得cos( ? n+2)> 1
6 3 6 6 2

? ?2kπ- ? < n+2<2kπ+ ? ,k∈Z? 6(2kπ- ? -2)<n< 6(2kπ+ ? 3 ? -2)(k∈Z)?12k-2- 12 <n<12k+2- 12 ,k∈Z, 3 ? ? 3 ?

因为n∈[1,12],n∈N*,所以当k=1时,6.18<n<10.18. 故n=7,8,9,10,即一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游 “旺季”.

【延伸探究】本例中若sin 2≈0.9,其他条件不变,试估算9月份旅

游服务人数.
【解析】f(9)=200 cos( 9 ? +2)+300
6

=200 cos( 3? +2)+300
2

=200 sin 2+300

=200×0.9+300=480(人),
因此9月份的旅游人数估计为480人.

【方法技巧】解三角函数应用问题的基本步骤

【变式训练】如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要12分 钟,其中心O距离地面40.5米,半径为40米.如果你从最低处登上摩天 轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮, 摩天轮开始转动的时刻开始计时,请解答下列问题:

(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数解析式.
(2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间?

【解析】(1)可以用余弦函数来表示该函数的解析式,由已知可设
y=40.5-40cosωt,t≥0,由周期为12分钟可知当t=6时摩天轮第1次

到达最高点,即此函数第1次取得最大值,
所以6ω=π,即ω=
? .所以y=40.5-40cos ? t(t≥0). 6 6

(2)设转第1圈时,第t0分钟时距地面60.5米,
1 由60.5=40.5-40cos ? t0,得cos ? t0=- , 6 6 2

所以

? ? t0= 2 ? 或 t0= 4 ? ,解得t0=4或t0=8, 6 6 3 3

所以t=8(分钟)时,第2次距地面60.5米,故第4次距离地面60.5米时, 用了12+8=20(分钟).

【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,试计算在每圈的转动过程,你距离地面 高度不低于(40.5+20 2 )米的时间有多少? 【解析】设转第1圈时,第t1分钟距离地面(40.5+20 2 )米,由
? 2 =40.5-40cos t1, 6 得cos ? t1= ? 2 , 6 2 ? 15 5? 所以 ? t1= 3? 或 t1= ,解得t1= 9 或t1= , 6 2 4 4 2 6

40.5+20

所以每圈转动过程中,距离地面不低于(40.5+20 2 )米的时间为
15 9 ? =3(分钟). 2 2

2.(改变问法)如图,若在摩天轮左侧有一摩天大楼,中心O到此大楼 距离为100.5米. 其他条件不变,试求你离大楼的距离y(米)与时间t分钟的函数关系.

【解析】设y=100.5-40sinωt(t≥0) 由周期为12分钟可知当t=3时第一次到达离大楼最近处,即此时函数 第1次取得最小值, 所以3ω=
? ? ? ,ω= ,所以y=100.5-40sin t(t≥0). 2 6 6

拓展类型

根据数据拟合函数

【备选典例】1.如表所示是芝加哥1951年到1981年的月平均气温(华 氏) 月份 1 2 3 4 5 6

平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12

平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7

以月份减1为x,平均气温为y,以下四个函数模型中哪一个最适合这
些数据( )
? B.y ? Acos x ? 46 6 ? D.y ? Asin x ? 26 6

? A.y ? Acos x 6 ? C.y ? ?Acos x ? 46 6

2.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中 0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象. (1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式. (2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1) 的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者 进行活动?

【解析】1.选C.最高气温73.0,最低气温21.4,故2A=73.0-

21.4=51.6,A=25.8.因为x=月份-1,所以x=1时,y=26.0分别代入A,
B,D均差距明显,代入C差距较小,所以选C.

2.(1)由表中数据可知,最小正周期T=12,
所以ω= ? ,
6

又t=0时y=1.5,
所以A+b=1.5;t=3时y=1.0得b=1.0,

所以振幅为 1 ,y= 1 cos ? t+1.
2 2 6

(2)y>1时,才对冲浪爱好者开放, 所以y= 1 cos ? t+1>1,cos ? t>0,
2 6 6

即2kπ-

? ? ? < t<2kπ+ (k∈Z), 2 6 2

得12k-3<t<12k+3(k∈Z),又0≤t≤24, 所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24, 所以在规定时间内只有6个小时可以进行活动,即9<t<15.

【方法技巧】数据拟合的通法 (1)处理的关键:数据拟合是一项重要的数据处理能力,解决该类问 题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化,而散点图在这里起了 关键作用. (2)一般方法:数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题.

规范解答

利用三角函数模型解实际问题

【典例】(12分)(2015·成都高一检测)某

大型企业一天中不同时刻的用电量y(单
位:万千瓦时)关于时间t(0≤t≤24,单

位:小时)的函数y=f(t)近似满足f(t)=
Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π),如图是该企业一天中在0点

至12点时间段用电量y与时间t的大致图象.

(1)根据图象,求A,ω,φ,B的值.

(2)若某日的供电量g(t)(万千瓦时)与时间t(小时)近似满足函数关
系式g(t)=-1.5t+20(0≤t≤12).当该日内供电量小于该企业的用电 量时,企业就必须停产,请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻 (精确度0.1).

参考数据:

【审题指导】(1)要求A,ω,φ,B的值,可依据最大值、最小值计

算A,B;依据周期及周期计算公式求ω;依据特殊点如点(0,2.5)解
三角方程求φ.

(2)先构建函数h(t)=f(t)-g(t),再借助表格中的数据用二分法求
h(t)的零点.

【规范解答】(1)由图知T=12,ω= ? ,……………………………1分
6

【题后悟道】 1.审清题意 读懂题目中的“文字”“图象”“符号”语言,理解所反映的实际问 题的背景,提炼出相应的数学问题 .如本例“企业停产”提炼出函数 h(t)=f(t)-g(t)=0,并用二分法求h(t)=0的近似根.

2.建立函数模型并恰当应用 整理数据,引入变量,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识及 其他相关知识建立关系式,并解答得到的三角函数模型,最后将所得 结论翻译成实际问题的答案,如本例依据题意,求出A,ω,φ,B的 值.


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