2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.3.1抛物线的标准方程课件文_图文

第十章

圆锥曲线与方程

第 3讲

抛物线及其性质

考点一

抛物线的标准方程

撬点· 基础点 重难点

1 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的 距离相等 做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 2 抛物线的标准方程
2 y =2px(p>0) 顶点在坐标原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为:

的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫



2 顶点在坐标原点,焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为: y =-2px(p>0) ; 2 顶点在坐标原点,焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为: x =2py(p>0) ; 2 x 顶点在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为: =-2py(p>0)

注意点 定义的理解和方程中 p 的意义 (1)定义的实质可归纳为“一动三定”,一个动点,设为 M;一个定点 F,叫做抛物线的焦点;一条定 直线 l,叫做抛物线的准线;一个定值,即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离的比值等于 1. (2)p 的几何意义是焦点到准线的距离.

1.思维辨析 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )
?a ? (2)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是?4,0?,准线方程是 x=- ? ?

a ×) 4.( (3)抛物线就是一元二次函数的图象.( × )

2.经过点 P(16,-4)的抛物线的标准方程为( A.y2=x 或 x2=-64y D.y2=x B.y2=x 或 y2=-64x D.x2=-64y

)

1 解析 当抛物线的开口向右时,抛物线的方程为 y =2px(p>0),代入点 P(16,-4)得:p=2,∴y2=x;
2

当抛物线的开口向下时,抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),代入点 P(16,-4)得:p=32,∴x2=-64y;综 上所述,y2=x 或 x2=-64y.

3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( A.y2=-8x C.y2=-4x B.y2=8x D.y2=4x

)

p 解析 由准线方程 x=-2 得-2=-2,且抛物线的开口向右(或焦点在 x 轴的正半轴),所以 y2=2px =8x.

撬法· 命题法 解题法

[考法综述] 四种不同的抛物线的标准方程形式是考查重点,一种是求抛物线的方程,另一种是根 据抛物线的方程研究它的几何性质.与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题. 命题法 抛物线的定义及方程 典例
2

(1)点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的标准方程是( 1 1 2 B.x = y 或 x =- y 12 36
2

)

1 A.x = y 12 1 C.x =-36y
2

D.x2=12y 或 x2=-36y

2 (2)抛物线 y2=2x 上的两点 A、B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是________ .

1 [解析] (1)将 y=ax2 化为 x2= y, a 1 当 a>0 时,准线 y=- , 4a 1 1 1 由已知得 3+4a=6,所以a=12,所以 a=12.
? 1? 1 当 a<0 时,准线 y=-4a,由已知得?3+4a?=6, ? ?

1 1 所以 a=-36或 a=12(舍). 所以抛物线方程为 x2=12y 或 x2=-36y,故选 D.
?1 ? 1 1 ? ? (2)抛物线 y =2x 的焦点为 F 2,0 ,准线方程为 x=-2,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AF|+|BF|=x1+2 ? ?
2

1 +x2+2=5,解得 x1+x2=4,故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2.

【解题法】 抛物线方程的求法 (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定 p 的值,得到抛物线的标准方程. (2)待定系数法: 根据条件设出标准方程, 再确定参数 p 的值, 这里要注意抛物线标准方程有四种形式. 从 统一角度出发,焦点在 x 轴上,设为 y2=ax(a≠0),焦点在 y 轴上,设为 x2=by(b≠0).


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