2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修4

1.4.3 正切函数的性质与图象 正切函数的性质 [提出问题] 问题 1:正切函数 y=tan x 的定义域是什么? 提示:???x???x≠kπ +π2 ,k∈Z?? ? . 问题 2:诱导公式 tan(π +x)=tan x 说明了正切函数的什么性质?tan(kπ +x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样? 提示:周期性.tan(kπ +x)=tan x(k∈Z). 问题 3:诱导公式 tan(-x)=-tan x 说明了正切函数的什么性质? 提示:奇偶性. 问题 4:从正切线上观察,正切函数值是有界的吗? 提示:不是,正切函数没有最大值和最小值. 问题 5:从正切线上观察,正切函数值在???0,π2 ???上是增大的吗? 提示:是的. [导入新知] 正切函数的性质 函数 y=tan x 定义域 值域 周期 奇偶性 ???x???x≠kπ +π2 ,k∈Z?? ? R T=π 奇函数 单调性 在每个开区间???kπ -π2 ,kπ +π2 ???(k∈Z)上都是增函数 [化解疑难] 细解正切函数的性质 (1)正切函数 y=tan x 的定义域是 xx∈R 且 x≠π2 +kπ ,k∈Z,值域是全体实数. (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π .一般地,函数 y=Atan(ω x+φ )+B(A>0,ω >0) 的最小正周期是 T=πω .若不知 ω 正负,则该函数的最小正周期为 T=|πω |. -1- (3)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为 开区间,不能写成闭区间. 正切函数的图象 [提出问题] 问题 1:你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗? 提示:过单位圆与 x 正半轴的交点 A,作垂直于 x 轴的直线,交角的终边或其反向延长线 于点 T,则有向线段 AT 即为该角的正切线. 问题 2:仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能根据正切线作出正切曲线吗? 提示:能. [导入新知] 正切函数的图象 (1)正切函数的图象: (2)正切函数的图象叫做正切曲线. (3)正切函数的图象特征: 正切曲线是由被相互平行的直线 x=π2 +kπ ,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的. [化解疑难] 正切函数是奇函数,图象关于原点对称,与 x 轴有无数个交点,因此有无穷多个对称中心, 对称中心坐标是???kπ2 ,0???,k∈Z,正切函数的图象无对称轴. 正切函数的定义域、值域问题 [例 1] 求下列函数的定义域和值域: (1)y=tan???x+π4 ???;(2)y= 3-tan x. [解] (1)由 x+π4 ≠kπ +π2 (k∈Z)得, x≠kπ +π4 ,k∈Z, 所以函数 y=tan???x+π4 ???的定义域为 xx≠kπ +π4 ,k∈Z,其值域为(-∞,+∞). -2- (2)由 3-tan x≥0 得,tan x≤ 3. 结合 y=tan x 的图象可知,在???-π2 ,π2 ???上, 满足 tan x≤ 3的角 x 应满足-π2 <x≤π3 , 所以函数 y= 3-tan x的定义域为 ???x???kπ -π2 <x≤kπ +π3 ,k∈Z?? ? [类题通法] ,其值域为[0,+∞). 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函 数 y=tan x 有意义,即 x≠π2 +kπ ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图 象求解.解形如 tan x>a 的不等式的步骤: [活学活用] 求函数 y=1+t1an x的定义域. 答案:???x???x≠kπ -π4 且x≠kπ +π2 ,k∈Z?? ? 正切函数的单调性及应用 [例 2] (1)求函数 y=tan???12x-π4 ???的单调区间; (2)比较 tan???-134π ???与 tan???-125π ???的大小. [解] (1)由 kπ -π2 <12x-π4 <kπ +π2 (k∈Z)得, 2kπ -π2 <x<2kπ +32π ,k∈Z, 所以函数 y=tan???12x-π4 ???的单调递增区间是???2kπ -π2 ,2kπ +3π2 ???(k∈Z). -3- (2)由于 tan???-134π ???=tan???-4π +3π4 ???=tan34π =-tanπ4 ,tan-125π =-tan2π +2π5 =-tan25π , 又因为 0<π4 <25π <π2 , 而 y=tan x 在???0,π2 ???上单调递增, 所以 tanπ4 <tan2π5 ,-tanπ4 >-tan25π , 即 tan???-134π ???>tan???-125π ???. [类题通法] 1.求函数 y=Atan(ω x+φ )(A,ω ,φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω >0,由于 y=tan x 在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思 想,令 kπ -π2 <ω x+φ <kπ +π2 ,求得 x 的范围即可. (2)若 ω <0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ω x+φ )转化为 y=Atan[-(-ω x-φ )]= -Atan(-ω x-φ ),即把 x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的范围即 可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. [活学活用] 1.比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小. 答案:tan 2<tan 3<tan 1 2.求函数 y=3tan???π4 -2x???的单调区间. 答案:单调递减区间为???-π8 +kπ2 ,38π +k2π ???(k∈Z) 与正

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