最新最全导数解答题方法归纳总结

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导数解答题归纳总结

19.(2009 浙江文)(本题满分 15 分)已知函数 f (x) ? x3 ? (1? a)x2 ? a(a ? 2)x ? b (a,b ? R) . (I)若函数 f (x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f (x) 在区间 (?1,1) 上不.单.调.,求 a 的取值范围. 解析 (Ⅰ)由题意得 f ?(x) ? 3x2 ? 2(1 ? a)x ? a(a ? 2)



? ? ?

f

?(0)

f (0) ? b ? 0 ? ?a(a ? 2)

?

?3

,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有 f ?(?1) f ?(1) ? 0, 即:[3 ? 2(1? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1? a) ? a(a ? 2)] ? 0

整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ?1)2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1

20.(2009 北京文)(本小题共 14 分)
设函数 f (x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) .

(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a, b 的值;

(Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间与极值点.

解析 力.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能

(Ⅰ) f ' ? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (x)) 处与直线 y ? 8 相切,



?? ? ??

f f

' ?2? ? 0 ?2? ? 8

?

??3 ? ??8

?4?a? ? 0
? 6a ? b ? 8

?

?a ??b

? ?

4, 24.

? ? (Ⅱ)∵ f ' ? x? ? 3 x2 ? a ?a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f ' ? x? ? 0,函数 f (x) 在 ???, ??? 上单调递增,

此时函数 f (x) 没有极值点.

当 a ? 0 时,由 f ' ? x? ? 0 ? x ? ? a ,
? ? 当 x ? ??, ? a 时, f ' ? x? ? 0,函数 f (x) 单调递增, ? ? 当 x ? ? a, a 时, f ' ? x? ? 0 ,函数 f (x) 单调递减, ? ? 当 x ? a, ?? 时, f ' ? x? ? 0,函数 f (x) 单调递增,

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∴此时 x ? ? a 是 f (x) 的极大值点, x ? a 是 f (x) 的极小值点.
21.(2009 北京理)(本小题共 13 分)
设函数 f (x) ? xekx (k ? 0)

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(Ⅰ)求曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;

(Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间;

(Ⅲ)若函数 f (x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力.
(Ⅰ) f ' ? x? ? ?1? kx?ekx, f ' ?0? ?1, f ?0? ? 0 ,

曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x .

(Ⅱ)由 f ' ? x? ? ?1? kx?ekx ? 0 ,得 x ? ? 1 ?k ? 0? ,
k



k

?

0 ,则当

x

?

? ??

??,

?

1 k

? ??

时,

f

'

?x?

?

0 ,函数

f

? x? 单调递减,



x

?

? ??

?

1 k

,

??,

? ??

时,

f

'

?x?

?

0 ,函数

f

?

x? 单调递增,



k

?

0 ,则当

x

?

? ??

??,

?

1 k

? ??

时,

f

'

?x?

?

0 ,函数

f

? x? 单调递增,



x

?

? ??

?

1 k

,

??,

? ??

时,

f

'

?x?

?

0 ,函数

f

?

x? 单调递减,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 1 ? ?1, k
即 k ?1时,函数 f ? x? ??1,1? 内单调递增,

若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 1 ? 1, k
即 k ? ?1时,函数 f ? x? ??1,1? 内单调递增,

综上可知,函数 f ? x? ??1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是??1,0? ?0,1? .
22.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 1 ax3 ? bx2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3
(1)当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值?

(2)已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

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解: (1)由已知得 f '(x) ? ax2 ? 2bx ?1,令 f '(x) ? 0 ,得 ax2 ? 2bx ?1 ? 0 ,

f (x) 要取得极值,方程 ax2 ? 2bx ?1 ? 0 必须有解,

所以△ ? 4b2 ? 4a ? 0 ,即 b2 ? a , 此时方程 ax2 ? 2bx ?1 ? 0 的根为

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a

x1 ?

2a

?

a

, x2 ?

2a

?

,

a

所以 f '(x) ? a(x ? x1)(x ? x2 )

当 a ? 0 时,

x

(-∞,x1)

x1

f’(x)



0

f (x)

增函数

极大值

(x1,x2) -
减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) +
增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.

当 a ? 0时,
x f’(x) f (x)

(-∞,x2) -
减函数

x2 0 极小值

(x2,x1) +
增函数

x1 0 极大值

(x1,+∞) -
减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.

综上,当 a, b 满足 b2 ? a 时, f (x) 取得极值.

(2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '(x) ? ax2 ? 2bx ?1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

即 b ? ? ax ? 1 , x ? (0,1] 恒成立, 2 2x

所以

b

?

(?

ax 2

?

1 2x

)max

设 g(x)

?

? ax 2

?

1 , g '(x) 2x

?

?a 2

?

1 2x2

?

a(x2 ? 2x2

1) a

,

令 g '(x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ? 1 (舍去),

a

a

当 a ? 1 时, 0 ? 1 ? 1,当 x ? (0, 1 ) 时 g '(x) ? 0 , g(x) ? ? ax ? 1 单调增函数;

a

a

2 2x

当 x ? ( 1 ,1] 时 g '(x) ? 0 , g(x) ? ? ax ? 1 单调减函数,

a

2 2x

所以当 x ? 1 时, g(x) 取得最大,最大值为 g( 1 ) ? ? a .

a

a

所以 b ? ? a

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当 0 ? a ?1时, 1 ? 1 ,此时 g '(x) ? 0在区间 (0,1] 恒成立,所以 g(x) ? ? ax ? 1 在区间 (0,1] 上单调递增,当 x ?1

a

2 2x

时 g(x) 最大,最大值为 g(1) ? ? a ?1 ,所以 b ? ? a ?1

2

2

综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

当 0 ? a ?1时, b ? ? a ?1 2

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则

导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类

讨论的思想解答问题.
22.设函数 f (x) ? 1 x3 ? (1? a)x2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。

解析 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分析导函数, 从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析 (I) f ?(x) ? x2 ? 2(1 ? a)x ? 4a ? (x ? 2)( x ? 2a)

由 a ? 1知,当 x ? 2时, f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (??,2) 是增函数;

当 2 ? x ? 2a 时, f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (2,2a) 是减函数;

当 x ? 2a 时, f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (2a,??) 是增函数。

综上,当 a ? 1时, f (x) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。

(II)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x) 在 x ? 2a 或 x ? 0处取得最小值。

f (2a) ? 1 (2a)3 ? (1? a)(2a)2 ? 4a ? 2a ? 24a 3
? ? 4 a3 ? 4a 2 ? 24a 3
f (0) ? 24a

由假设知

?a ? 1

? ?

f

(2a)

?

0,

?? f (0) ? 0,

?a ? 1,



???? ?

4 3

a(a

?

3)(a

?

6)

?

0,

??24a ? 0.

故 a 的取值范围是(1,6)

23.( 2009 广 东 卷 理 )(本小题满分 14 分)

解得 1<a<6

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已知二次函数 y ? g(x) 的导函数的图像与直线 y ? 2x 平行,且 y ? g(x) 在 x ? ?1 处取得极小值 m ?1(m ? 0) .设

f (x) ? g(x) . x
(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值;

(2) k(k ? R) 如何取值时,函数 y ? f (x) ? kx 存在零点,并求出零点.

解析 (1)依题可设 g(x) ? a(x ? 1)2 ? m ?1 ( a ? 0 ),则 g'(x) ? 2a(x ?1) ? 2ax ? 2a ;

又 g?? x? 的图像与直线 y ? 2x 平行 ?2a ? 2

a ?1

? g(x) ? (x ?1)2 ? m ?1 ? x2 ? 2x ? m , f ? x? ? g ? x? ? x ? m ? 2 ,

x

x

? ? 设 P

xo, yo

,则 |

PQ

|2 ?

x02

? (y0

? 2)2

?

x02

? (x0

?

m )2 x0

? 2x02

?

m2 x02

? 2m ? 2

2m2 ? 2m ? 2

2 | m | ?2m

当且仅当 2x02

?

m2 x02

时, |

PQ |2

取得最小值,即 |

PQ | 取得最小值

2

当 m ? 0 时, (2 2 ? 2)m ? 2 解得 m ? 2 ?1

当 m ? 0 时, (?2 2 ? 2)m ? 2 解得 m ? ? 2 ?1

(2)由 y ? f ? x? ? kx ? ?1? k ? x ? m ? 2 ? 0 ( x ? 0 ),得 ?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 ?*?
x

当 k ?1时,方程 ?*? 有一解 x ? ? m ,函数 y ? f ? x? ? kx 有一零点 x ? ? m ;

2

2

当 k ?1时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m?1? k? ? 0 ,

若m ? 0,k ?1? 1 , m

函数 y ? f ? x? ? kx 有两个零点 x ? ? 2 ? 4 ? 4m(1? k) ,即
2(1? k)

1? x?

1 ? m(1 ? k) ;

k ?1

若m ? 0,k ?1? 1 , m

函数 y ? f ? x? ? kx 有两个零点 x ? ? 2 ?

4 ? 4m(1? k) ,即 x ? 1 ?

1 ? m(1 ? k)


2(1? k)

k ?1

当 k ?1时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m?1? k? ? 0 , k ? 1? 1 ,
m

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函数 y ? f ? x? ? kx 有一零点 x ? 1 ? ?m
k ?1

综上,当 k ?1时, 函数 y ? f ?x? ?kx 有一零点 x ? ? m ;
2

当 k ? 1? 1 ( m ? 0),或 k ? 1? 1 ( m ? 0 )时,

m

m

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函数 y ? f ? x? ? kx 有两个零点 x ? 1 ? 1 ? m(1 ? k) ;
k ?1

当 k ? 1? 1 时,函数 y ? f ? x? ? kx 有一零点 x ? 1 ? ?m .

m

k ?1

24.(2009 安徽卷理)(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? x ? 2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f (x) 的单调性. x

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

本小题满分 12 分。

解析

f

(x)

的定义域是(0,+ ?

),

f

?( x)

?1?

2 x2

?

a x

?

x2

? ax x2

?

2.

设 g(x) ? x2 ? ax ? 2 ,二次方程 g(x) ? 0 的判别式 ? ? a2 ? 8 .

当 ? ? a2 ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时,对一切 x ? 0 都有 f ?(x) ? 0 ,此时 f (x) 在 (0, ??) 上是增函数。

①当 ? ? a2 ? 8 ? 0,即 a ? 2 2 时,仅对 x ? 2 有 f ?(x) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有

f ?(x) ? 0 ,此时 f (x) 在 (0, ??) 上也是增函数。

① 当 ? ? a2 ? 8 ? 0,即 a ? 2 2 时,

方程 g(x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ? a ?

a2 2

?8

,

x2

?

a

?

a2 2

?8

,

0

?

x1

?

x2

.

x

(0, x1)

x1

(x1, x2 )

x2

(x 2 , ??)

f ?(x)

+

0

_

0

+

f (x) 单调递增

极大 单调递减

极小 单调递增

此时 f (x) 在 (0, a ?

a2 ? 8 ) 上单调递增, 在 ( a ?

a2 ?8 a ? ,

a2 ? 8 ) 是上单调递减, 在 ( a ?

a2 ? 8 , ??) 上单

2

2

2

2

调递增. 25.(2009 安徽卷文)(本小题满分 14 分)

已知函数 (Ⅰ)讨论

的单调性;

,a>0,

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(Ⅱ)设 a=3,求

在区间{1, }上值域。期中 e=2.71828…是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。第二问就根据第一问中所涉

及到的单调性来求函数 f (x) 在 ??1, e2 ?? 上的值域。
解析 (1)由于 f (x) ?1? 2 ? a x2 x
令 t ? 1 得y ? 2t2 ? at ?1(t ? 0) x

①当 ? ? a2 ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f (x) ? 0恒成立.

? f (x) 在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.

②当 ? ? a2 ? 8 ? 0,即 a ? 2 2 时

由 2t2 ? at ?1 ? 0 得 t ? a ? a2 ? 8 或 t ? a ? a2 ? 8

4

4

?0 ? x ? a ? a2 ?8 或 x ? 0或 x ? a ? a2 ?8

4

4

又由 2t2 ? at? ? 0 得 a ? a2 ? 8 ? t ? a ? a2 ? 8 ? a ? a2 ? 8 ? x ? a ? a2 ? 8

4

4

2

2

综上①当 0 ? a ? 2 2 时, f (x) 在 (??, 0)及(0, ??) 上都是增函数.

②当 a ? 2 2 时,

f (x) 在 ( a ?

a2 ?8 a ? ,

a2 ? 8 ) 上是减函数,

2

2

在 (??, 0)(0, a ? a2 ? 8 )及( a ? a2 ? 8 , ??) 上都是增函数.

2

2

(2)当 a ? 3时,由(1)知 f (x) 在?1, 2?上是减函数.

在 ??2, e2 ?? 上是增函数.



f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln2 ? 0

f

(e2

)

?

e2

?

2 e2

?5 ? 0

? 函数

f

(x)



??1, e2 ??

上的值域为 ???2 ? 3l

n

2, e2

?

2 e2

? 5???

26.(2009 江西卷文)(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? x3 ? 9 x2 ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?(x) ? m 恒成立,求 m 的最大值;

(2)若方程 f (x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

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解析 (1) f ' (x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3(x ?1)(x ? 2) ,

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因为 x ?(??, ??) , f ' (x) ? m , 即 3x2 ? 9x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,

所以 ? ? 81?12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ? 3 ,即 m 的最大值为 ? 3

4

4

(2) 因为 当 x ?1时, f ' (x) ? 0 ;当1? x ? 2 时, f ' (x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' (x) ? 0 ;

所以 当 x ?1时, f (x) 取极大值 f (1) ? 5 ? a ; 2
当 x ? 2 时, f (x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ;

故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f (x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 5 . 2
27.(2009 江西卷理)(本小题满分 12 分)

设函数 f (x) ? ex x

(1)求函数 f (x) 的单调区间;

(1)若 k ? 0 ,求不等式 f ' (x) ? k(1? x) f (x) ? 0 的解集.

解析

(1)

f '(x) ? ?

1 x2

ex

? 1 ex x

?

x? x2

1

ex

,



f

' (x) ? 0 ,得

x ?1.

因为 当 x ? 0 时, f ' (x) ? 0 ; 当 0 ? x ?1时, f ' (x) ? 0 ; 当 x ?1时, f ' (x) ? 0 ;

所以 f (x) 的单调增区间是:[1, ??) ; 单调减区间是: (??, 0),(0,1] .

(2)由

f

' (x) ? k(1 ?

x)

f

(x)

?

x ?1? kx x2

? kx2

ex

?

(x ?1)(?kx ?1) x2

ex

?

0,

得: (x ?1)(kx ?1) ? 0.
故:当 0 ? k ?1时, 解集是:{x 1 ? x ? 1} ; k
当 k ?1时,解集是: ? ; 当 k ?1时, 解集是:{x 1 ? x ? 1} .
k
28.(2009 天津卷文)(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? ? 1 x3 ? x2 ? (m2 ?1)x, (x ? R, )其中m ? 0 3
(Ⅰ)当 m ? 1时,曲线 y ? f (x)在点(1,f(1))处的切线斜率
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;
(Ⅲ)已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x2 。若对任意的

x ?[x1, x2 ] , f (x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。

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答案 (1)1(2) f (x) 在 (??,1? m) 和 (1? m,??) 内减函数,在 (1? m,1? m) 内增函数。函数 f (x) 在 x ? 1? m

处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 2 m3 ? m2 ? 1

3

3

函数 f (x) 在 x ? 1? m处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? 2 m3 ? m2 ? 1

3

3

解析 解析 当 m ? 1时,f (x) ? 1 x3 ? x2 , f / (x) ? x2 ? 2x,故f ' (1) ? 1 3

所以曲线 y ? f (x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 1.

(2)解析 f ' (x) ? ?x2 ? 2x ? m2 ?1,令 f ' (x) ? 0 ,得到 x ? 1? m, x ? 1? m

因为 m ? 0,所以1? m ? 1? m

当 x 变化时, f (x), f ' (x) 的变化情况如下表:

x

(??,1? m)

1? m

(1? m,1? m) 1? m

(1? m,??)

f ' (x)

+

0

-

0

+

f (x)

极小值

极大值

f (x) 在 (??,1? m) 和 (1? m,??) 内减函数,在 (1? m,1? m) 内增函数。

函数 f (x) 在 x ? 1? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 2 m3 ? m2 ? 1

3

3

函数 f (x) 在 x ? 1? m处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? 2 m3 ? m2 ? 1

3

3

(3)解析

由题设,

f

(x)

?

x(?

1 3

x2

?

x

?

m2

? 1)

?

?

1 3

x(x

?

x1 )(x

?

x2

)

所以方程 ? 1 x2 ? x ? m2 ?1 =0 3

由两 个相异的 实根 x1 , x2 , 故 x1 ? x2

? 3 ,且 ? ? 1 ? 4 (m2 ?1) ? 0 ,解得 3

m ? ? 1 (舍),m ? 1

2

2

因为 x1

?

x2 ,所以2x2

?

x1

?

x2

?

3, 故x2

?

3 2

?1



x1

?

1

?

x2 ,则f

(1)

?

?

1 3

(1 ?

x1)(1 ?

x2 )

?

0

,而

f

(x1 )

?

0 ,不合题意

若1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ?[x1, x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,



f

(x)

??

?

1 3

x(x

?

x1

)(x

?

x2

)

?

0



f (x1) ? 0 ,所以函数

f (x) 在 x ?[x1, x2 ] 的最小值为

0,于是对任意的

x ?[x1, x2 ] ,

f (x)

?

f (1) 恒成立的充要条件是

f (1)

?

m2

?1 3

? 0 ,解得 ?

3 ?m? 3

3 3

综上,m 的取值范围是 ( 1 , 3 ) 23
【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识,

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考查综合分析问题和解决问题的能力。

30.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) (注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)



R

上定义运算 ? :

p

?q

?

?

1 3

?

p

?

c??q

? b? ?

4bc

(b、c

为实常数)。记

f1

???

?

?2

? 2c



f2

???

?

?

? 2b,

?

? R .令

f

???

?

f1 ?? ? ?

f 2

???.

??? 如果函数 f ? ? ? 在 ? ? 1处有极什 ? 4 ,试确定 b、c 的值;
3

???? 求曲线 y ? f ?? ? 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点;

????? 记 g ? x? ? f ? ? x? | ??1 ? x ? 1? 的最大值为 M .若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试示 k 的最大值。
当 b ?1时,函数y ? f ?(x) 得对称轴 x=b 位于区间[?1,1]之外


此时 M ? max{g(?1), g(1), g(b)}

由 f ?(1) ? f ?(?1) ? 4b,有f ?(b) ? f ?(?1) ? (b m1)2 ? 0

①若 ?1 ? b ? 0,则f?(1)? f?(-1)? f?(b),?g(-1)? max{g(?1), g(b)}

于是 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b)} ? 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? 1 (b ?1)2

2

2

2

①若 0 ? b ?1,则 f?(=1)? f?(1)? f?(b),?g(1)? max{g(?1), g(b)}

于是

M ? max{ f ?(?1) , f ?(b)} ? 1 ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? 1 ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? 1 (b ?1)2 ? 1

2

2

2

2

综上,对任意的 b、c 都有 M ? 1 2

而当, b ? 0, c ? 1 时, g(x) ? ?x2 ? 1 在区间[?1,1]上的最大值 M ? 1

2

2

2

故 M ? K 对任意的 b,c 恒成立的 k 的最大值为 1 2
31.(2009 四川卷文)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ?10 。

(I)求函数 f (x) 的解析式;
(II)设函数 g(x) ? f (x) ? 1 mx ,若 g(x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g(x) 取得极值时对应的自变 3
量 x 的值. 解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①

又 f ?(x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5得8b ? c ? 7 ? 0 ……②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1.

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所以函数的解析式为 f (x) ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 …………………………………4 分

(II)因为 g(x) ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 ? 1 mx 3
令 g?(x) ? 3x2 ? 4x ?1? 1 m ? 0 3
当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3x2 ? 4x ?1? 1 m ? 0 有实数解, 3
由 ? ? 4(1? m) ? 0 ,得 m ? 1.

①当 m ? 1时, g?(x) ? 0 有实数 x ? 2 ,在 x ? 2 左右两侧均有 g?(x) ? 0 ,故函数 g(x) 无极值

3

3

②当 m ? 1时, g?(x) ? 0 有两个实数根

x1

?

1 3

(2

?

1?

m ),

x2

?

1 (2 ? 3

1? m), g?(x), g(x) 情况如下表:

x

(??, x1)

x1

(x1, x2 )

x2

g ?( x)

+

0

-

0

(x2 ? ?)
+


g(x)

极大值



极小值



所以在 m?(??,1) 时,函数 g(x) 有极值;

当 x ? 1 (2 ? 1? m) 时, g(x) 有极大值;当 x ? 1 (2 ? 1? m) 时, g(x) 有极小值;

3

3

…………………………………12 分

32.(2009 全国卷Ⅱ理)(本小题满分 12 分)

设函数 f ? x? ? x2 ? aIn?1? x? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x? 的单调性;

(II)证明:

f

? x2

?

?

1?

2In2 4

解: (I) f ?? x? ? 2x ?

a

2x2 ? 2x ? a

?

(x ? ?1)

1? x

1? x



g

(

x)

?

2x2

?

2x

?

a

,其对称轴为

x

?

?

1 2

。由题意知

x1、x2

是方程

g(

x)

?

0

的两个均大于

?1的不相等的实根,

其充要条件为

?? ? 4 ? 8a

? ?

g

(?1)

?

a

?0 ?0

,得

0

?

a

?

1 2

⑴当 x ? (?1, x1) 时, f ?? x? ? 0,? f (x) 在 (?1, x1) 内为增函数;

⑵当 x ? (x1, x2 ) 时, f ?? x? ? 0,? f (x) 在 (x1, x2 ) 内为减函数;

⑶当 x ? (x2, ? ?) 时, f ?? x? ? 0,? f (x) 在 (x2, ? ?) 内为增函数;

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(II)由(I)

g(0)

?

a

?

0,??

1 2

?

x2

?

0



a

?

?(2x22

+2x2

)

? f ? x2 ? ? x22 ? aln?1? x2 ? ? x22 ? (2x22+2x2)ln?1? x2 ?

设 h? x? ? x2 ? (2x2 ? 2x)ln ?1? x?(x ? ? 1) ,
2

则 h?? x? ? 2x ? 2(2x ?1)ln?1? x? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln?1? x?

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⑴当 x ?(? 1 , 0) 时, h?? x? ? 0,?h(x) 在[? 1 , 0) 单调递增;

2

2

⑵当 x ?(0, ??) 时, h?? x? ? 0 , h(x) 在 (0, ??) 单调递减。

?当x ?(? 1 , 0)时, h? x? ? h(? 1) ? 1? 2ln 2

2

2

4



f

? x2 ?

?

h(x2 )

?

1? 2In2 4



33.(2009 湖南卷文)(本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称.

(Ⅰ)求 b 的值;

(Ⅱ)若 f (x) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g(t) ,求 g(t) 的定义域和值域。

解: (Ⅰ) f ?(x) ? 3x2 ? 2bx ? c .因为函数 f ?(x) 的图象关于直线 x=2 对称, 所以 ? 2b ? 2 ,于是 b ? ?6.
6 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) ? x3 ? 6x2 ? cx , f ?(x) ? 3x2 ?12x ? c ? 3(x ? 2)2 ? c ?12 .

(ⅰ)当 c ? 12 时, f ?(x) ? 0 ,此时 f (x) 无极值。

(ii)当 c<12 时, f ?(x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在区间 (??, x1) 内为增函数; 当 x1 <x< x2 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在区间 (x1, x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在区间 (x2, ??) 内为增函数. 所以 f (x) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ?12 时,函数 f (x) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g(t) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t) ? 3t2 ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t2 ?12t .

于是 g(t) ? f (t) ? t3 ? 6t2 ? ct ? ?2t3 ? 6t2 , t ? (2,??).

当 t ? 2时, g?(t) ? ?6t2 ?12t ? 6t(2 ? t) ? 0, 所以函数 g(t)

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在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g(t) 的值域为 (??,8).
35.(2009 福建卷理)(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3
(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f (x) 的单调区间;

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(2)令 a ? ?1 ,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f (x1) ),N( x2 , f (x2 ) ),P( m, f (m) ),
x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f (x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题:
(I)若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结论; (II)若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给
出求解过程) 解法一: (Ⅰ)依题意,得 f '(x) ? x2 ? 2ax ? b

由 f '(?1) ? 1? 2a ? b ? 0得b ? 2a ?1. 从而 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? (2a ?1)x,故f '(x) ? (x ?1)(x ? 2a ?1).
3 令 f '(x) ? 0,得x ? ?1或x ? 1? 2a. ①当 a>1 时, 1? 2a ? ?1
当 x 变化时, f '(x) 与 f (x) 的变化情况如下表:

x

(??,1? 2a) (1? 2a, ?1)

(?1, ??)

f '(x)

+



+

f (x)

单调递增

单调递减

单调递增

由此得,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1? 2a, ?1) 。

②当 a ?1时,1? 2a ? ?1此时有 f '(x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '(x) ? 0 ,故函数 f (x) 的单调增区间为 R

③当 a ?1时,1? 2a ? ?1同理可得,函数 f (x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1? 2a)

综上:
当 a ?1时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1? 2a, ?1) ; 当 a ?1时,函数 f (x) 的单调增区间为 R; 当 a ?1时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1? 2a) .

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(Ⅱ)由 a

?

?1 得

f

(x)

?

1 3

x3

?

x2

? 3x



f

(x)

?

x2

?

2x

?3

?

0



x1

?

?1,

x2

?

3

由(1)得 f (x) 增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f (x) 在处 x1 ? ?1, x2 ? 3 取得极值,

故 M( ?1, 5 )N( 3, ?9 )。 3

观察 f (x) 的图象,有如下现象:

①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f (x) 在点 P 处切线的斜率 f (x) 之差 Kmp- f '(m) 的值由
正连续变为负。
②线段 MP 与曲线是否有异于 H,P 的公共点与 Kmp- f '(m) 的 m 正负有着密切的关联;

③Kmp- f '(m) =0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 Kmp- f '(m) 的 m 就是所求的 t 最小值,下面给出证明

并确定的 t 最小值.曲线 f (x) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率 f '(m) ? m2 ? 2m ? 3 ;

线段 MP 的斜率 Kmp ? m2 ? 4m ? 5 3
当 Kmp- f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2

直线 MP 的方程为 y ? ( m2 ? 4m ? 5 x ? m2 ? 4m)

3

3

令 g(x) ?

m2 f (x) ? (

? 4m ? 5 x ?

m2

? 4m)

3

3

当 m ? 2 时, g '(x) ? x2 ? 2x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 ,可判断 f (x) 函数在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, 2) 上

单调递减,又 g(?1) ? g(2) ? 0 ,所以 g(x) 在 (?1, 2) 上没有零点,即线段 MP 与曲线 f (x) 没有异于 M,P 的公共
点。
当 m??2,3? 时, g(0) ? ? m2 ? 4m ? 0 . g(2) ? ?(m ? 2)2 ? 0
3
所以存在 m??0, 2? 使得 g(? ) ? 0

即当 m??2,3?时, MP 与曲线 f (x) 有异于 M,P 的公共点

综上,t 的最小值为 2.
(2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 ?1,3?

解法二:

(1)同解法一.

(2)由 a

?

?1 得

f

(x)

?

?

1 3

x3

?

x2

? 3x ,令

f

'( x)

?

x2

?

2x

?3

?

0

,得

x1

?

?1,

x2

?

3

由 ( 1 ) 得 的 f (x) 单 调 增 区 间 为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 单 调 减 区 间 为 (?1,3) , 所 以 函 数 在 处 取 得 极 值 。 故

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M( ?1, 5 ).N( 3, ?9 ) 3

(Ⅰ) 直线 MP 的方程为 y ? m2 ? 4m ? 5 x ? m2 ? 4m .

3

3



? ?? y ?

?

m2

?

4m 3

?

5

x

?

m2

? 3

4m

? ??

y

?

1 3

x3

?

x2

?

3x

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得 x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4)x ? m2 ? 4m ? 0

线段 MP 与曲线 f (x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数

g(x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4)x ? m2 ? 4m在(-1,m)上有零点.

因为函数 g(x) 为三次函数,所以 g(x) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g(?1) ? g(m) ? 0 .因此, g(x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g(x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值点和一个极小值点 ,即

g '(x) ? 3x2 ? 6x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.

??=36 ? 1(2 m2 ? 4m ? 4)>0

等价于

??3(?1)2 ?

?

6

?

(m2

?

4m

?

4)

?

0

?3m2 ? 6m ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0

??m ? 1

??1 ? m ? 5 即 ??m ? 2或m ? ?1,解得2 ? m ? 5
??m ? 1

又因为 ?1? m ? 3,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 36.(2009 辽宁卷文)(本小题满分 12 分)

设 f (x) ? ex (ax2 ? x ?1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。

(2)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性;
(1)证明:当? ?[0, ? ]时,f( cos? ) ? f(sin? ) ? 2 2
解析 (Ⅰ) f '(x) ? ex (ax2 ? x ?1? 2ax ?1) .有条件知,

f '(1) ? 0 , 故 a ? 3 ? 2a ? 0 ?a ? ?1.

………2 分

于是

f ' (x )? ex ?(x2 ? x ? ?2 ?) ex x ?( x ?2 ) (. 1 )

故当 x ?(??, ?2) ? (1, ??) 时, f '(x) <0;

当 x ?(?2,1) 时, f '(x) >0.

从而 f (x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加.

………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) 在[0,1] 单调增加,故 f (x) 在[0,1] 的最大值为 f (1) ? e ,

最小值为 f (0) ? 1.

从而对任意 x1 , x2 ?[0,1] ,有 f (x1) ? f (x2) ? e ?1? 2 .

………10 分

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而当? ?[0, ? ] 时, cos?,sin? ? [0,1] . 2

从而

f (cos?) ? f (sin?) ? 2

37.(2009 辽宁卷理)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)= 1 x 2 -ax+(a-1) ln x , a ?1。 2
(1)讨论函数 f (x) 的单调性;

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情! ………12 分

(2)证明:若 a ? 5 ,则对任意

x 1 ,x 2

?

(0, ??) ,x1

?

x2

,有

f

(x1) ? x1 ?

f (x2 ) x2

?

?1。

解析 (1) f (x) 的定义域为 (0, ??) 。

f ' (x) ? x ? a ? a ?1 ? x2 ? ax ? a ?1 ? (x ?1)(x ?1? a) 2 分

x

x

x

(i)若 a ?1 ?1即 a ? 2 ,则

f ' (x) ? (x ?1)2 x

故 f (x) 在 (0, ??) 单调增加。

(ii)若 a ?1?1,而 a ?1,故1? a ? 2 ,则当 x ?(a ?1,1) 时, f ' (x) ? 0 ;

当 x ? (0, a ?1) 及 x ? (1, ??) 时, f ' (x) ? 0

故 f (x) 在 (a ?1,1) 单调减少,在 (0, a ?1), (1, ??) 单调增加。

(iii)若 a ?1 ?1,即 a ? 2 ,同理可得 f (x) 在 (1, a ?1) 单调减少,在 (0,1), (a ?1, ??) 单调增加.

(II)考虑函数 g(x) ? f (x) ? x

? 1 x2 ? ax ? (a ?1) ln x ? x 2

则 g?(x) ? x ? (a ?1) ? a ?1 ? 2 xga ?1 ? (a ?1) ? 1? ( a ?1 ?1)2

x

x

由 于 1<a<5, 故 g?(x) ? 0 , 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 x1 ? x2 ? 0 时 有 g(x1) ? g(x2 ) ? 0 , 即

f ( x1 )? f ( 2x )? 1x? 2x ? 0 , 故

f (x1) ? f (x2 ) ? ?1 x1 ? x2

,当

0 ? x1 ? x2







f ( 1 ?x ) ? 2f ( ?x ) 2 ? ?1f ·(·····x1··) ·12 分f ( x )

x1 ? x2

? x2

x1

38.(2009 宁夏海南卷理)(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? (x3 ? 3x2 ? ax ? b)e?x

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(1)如 a ? b ? ?3,求 f (x) 的单调区间;

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(1)若 f (x) 在 (??,?), (2, ? ) 单调增加,在 (?, 2), (? , ??) 单调减少,证明

? ?? <6.
(21)解析
(Ⅰ)当 a ? b ? ?3时, f (x) ? (x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e?x ,故
f '(x) ? ?(x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e?x ? (3x2 ? 6x ? 3)e?x

? ?e?x (x?3 ? 9x)

? ?x(x ? 3)(x ? 3)e?x 当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '(x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '(x) ? 0. 从而 f (x)在(??, ?3), (0,3)单调增加,在(? 3,0),(3,? ?)单调减少.

(Ⅱ) f '(x) ? ?(x3 ? 3x2 ? ax ? b)e?x ? (3x2 ? 6x ? a)e?x ? ?e?x[x3 ? (a ? 6)x ? b ? a]. 由条件得: f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0,故b ? 4 ? a, 从而

f '(x) ? ?e?x[x3 ? (a ? 6)x ? 4 ? 2a]. 因为 f '(?) ? f '(? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6)x ? 4 ? 2a ? (x ? 2)(x ?? )(x ? ? )

? (x ? 2)(x2 ? (? ? ? )x ? ?? ). 将右边展开,与左边比较系数得,? ? ? ? ?2,?? ? a ? 2. 故

? ?? ? (? ??)2 ? 4?? ? 12 ? 4a. 又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0.由此可得 a ? ?6.

于是 ? ?? ? 6.
39.(2009 陕西卷文)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0
??? 求 f (x) 的单调区间; ???? 若 f (x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ? f (x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围。

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解析 (1) f ' (x) ? 3x2 ? 3a ? 3(x2 ? a),

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当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' (x) ? 0,

当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 (??, ??)

当 a ? 0 时,由 f ' (x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? a ;

由 f ' (x) ? 0 解得 ? a ? x ? a ,

当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 (??, ? a ), ( a, ??) ; f (x) 的单调减区间为 (? a , a ) 。

(2)因为 f (x) 在 x ? ?1 处取得极大值,

所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,?a ? 1.

所以 f (x) ? x3 ? 3x ?1, f ' (x) ? 3x2 ? 3,

由 f ' (x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1。 由(1)中 f (x) 的单调性可知, f (x) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1,

在 x ?1处取得极小值 f (1) ? ?3 。

因为直线 y ? m与函数 y ? f (x) 的图象有三个不同的交点,又 f (?3) ? ?19 ? ?3 , f (3) ? 17 ? 1,

结合 f (x) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。
40.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ln(ax ?1) ? 1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x
??? 若 f (x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值;

???? 求 f (x) 的单调区间;

(Ⅲ)若 f (x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

解(Ⅰ) f '(x) ? a ? 2 ? ax2 ? a ? 2 , ax ?1 (1? x)2 (ax ?1)(1? x)2
∵ f (x) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a 12 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1.

(Ⅱ)

f

'( x)

?

ax2 ? a ? 2 (ax ?1)(1? x)2

,

∵ x ? 0, a ? 0, ∴ ax ?1? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '(x) ? 0, ∴ f (x) 的单调增区间为 (0, ??).

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②当 0 ? a ? 2 时,

由 f '(x) ? 0解得x ? 2 ? a ,由f '(x) ? 0解得x ? 2 ? a ,

a

a

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

∴ f (x)的单调减区间为(0,2-a ),单调增区间为( 2-a,? ?).

a

a

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f (x)的最小值为f (0) ? 1;

当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f (x) 在 x ? 2 ? a 处取得最小值 f ( 2 ? a ) ? f (0) ? 1,

a

a

综上可知,若 f (x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是[2, ??).
41.(2009 四川卷文)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ?10 。

(I)求函数 f (x) 的解析式;
(II)设函数 g(x) ? f (x) ? 1 mx ,若 g(x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g(x) 取得极值时对应的自变 3
量 x 的值. 解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①

又 f ?(x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5得8b ? c ? 7 ? 0 ……②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1.

所以函数的解析式为 f (x) ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 …………………………………4 分

(II)因为 g(x) ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 ? 1 mx 3
令 g?(x) ? 3x2 ? 4x ?1? 1 m ? 0 3
当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3x2 ? 4x ?1? 1 m ? 0 有实数解, 3
由 ? ? 4(1? m) ? 0 ,得 m ? 1.

①当 m ? 1时, g?(x) ? 0 有实数 x ? 2 ,在 x ? 2 左右两侧均有 g?(x) ? 0 ,故函数 g(x) 无极值

3

3

②当

m

?

1时,

g?(

x)

?

0

有两个实数根

x1

?

1 3

(2

?

1 1? m), x2 ? 3 (2 ?

1? m), g?(x), g(x) 情况如下表:

x

(??, x1)

x1

(x1, x2 )

x2

(x2 ? ?)

g ?( x)

+

0

-

0

+


g(x)

极大值



极小值



中小学 1 对 1 课外辅导专家

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

所以在 m?(??,1) 时,函数 g(x) 有极值;

当 x ? 1 (2 ? 1? m) 时, g(x) 有极大值;当 x ? 1 (2 ? 1? m) 时, g(x) 有极小值;

3

3

…………………………………12 分

42.(2009 湖北卷文)(本小题满分 14 分)

已知关于 x 的函数 f(x)= 1 x3 +bx2+cx+bc,其导函数为 f+(x).令 g(x)=∣f+(x) ∣, 3

记函数 g(x)在区间[-1、1]上的最大值为 M.

(Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值- 4 ,试确定 b、c 的值: 3
(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的 c,都有 M>2:

(Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理

论证的能力和份额类讨论的思想(满分 14 分)

(I)解析

f '(x) ? ?x2 ? 2bx ? c ,由 f (x) 在 x ?1处有极值 ? 4 3

? f '(1) ? ?1? 2b ? c ? 0

可得

? ? ??

f

(1)

?

?

1 3

?

b

?

c

?

bc

?

?

4 3

解得

?b ??c

? ?

1 ,
?1



?b ?? c

? ?

?1 3

若 b ? 1, c ? ?1,则 f '(x) ? ?x2 ? 2x ?1 ? ?(x ?1)2 ? 0 ,此时 f (x) 没有极值;

若 b ? ?1, c ? 3,则 f '(x) ? ?x2 ? 2x ? 3 ? ?(x ?1)(x ?1)

当 x 变化时, f (x) , f '(x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?3)

?3

(?3,1)

1

(1, ??)

f '(x)

?

0

+

0

?

f (x)

极小值 ?12

极大值 ? 4

3

?当 x ?1时, f (x) 有极大值 ? 4 ,故 b ? ?1, c ? 3即为所求。 3

(Ⅱ)证法 1: g(x) ?| f '(x) |?| ?(x ? b)2 ? b2 ? c |

当| b |? 1时,函数 y ? f '(x) 的对称轴 x ? b 位于区间[?1.1]之外。

? f '(x) 在[?1,1]上的最值在两端点处取得

故 M 应是 g(?1) 和 g(1) 中较大的一个

?2M ? g(1) ? g(?1) ?| ?1? 2b ? c | ? | ?1? 2b ? c |?| 4b |? 4, 即 M ? 2

中小学 1 对 1 课外辅导专家

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

证法 2(反证法):因为| b |? 1,所以函数 y ? f '(x) 的对称轴 x ? b 位于区间[?1,1] 之外,

? f '(x) 在[?1,1]上的最值在两端点处取得。

故 M 应是 g(?1) 和 g(1) 中较大的一个 假设 M ? 2 ,则 g(?1) ?| ?1? 2b ? c |? 2 g(1) ?| ?1? 2b ? c |? 2
将上述两式相加得:
4 ?| ?1? 2b ? c | ? | ?1? 2b ? c |? 4 | b |? 4 ,导致矛盾,?M ? 2

(Ⅲ)解法 1: g(x) ?| f '(x) |?| ?(x ? b)2 ? b2 ? c |

(1)当| b |? 1时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ;

(2)当| b |? 1 时,函数 y ? f '(x )的对称轴 x ? b 位于区间[?1,1]内,

此时 M ? max?g(?1), g(1), g(b)?

由 f '(1) ? f '(?1) ? 4b, 有 f '(b) ? f '(?1) ? b( 1)2 ? 0

①若 ?1 ? b ? 0,则 f '(1) ? f '(?1) ? f '(b), ?g(?1) ? max?g(1), g(b)? ,

于是 M ? max?| f '(1),| f '(b) |? ? 1 (| f '(1) | ? f '(b) |) ? 1 | f '(1) ? f '(b) |? 1 (b ?1)2 ? 1

2

2

2

2

②若 0 ? b ?1,则 f '(?1) ? f '(1) ? f '(b), ?g(1) ? max?g(?1), g(b)?

于是 M ? max?| f '(?1) |,| f '(b) |? ? 1 (| f '(?1) | ? | f '(b) |) ? 1 | f '(?1) ? f '(b) |? 1 (b ?1)2 ? 1

2

2

2

2

综上,对任意的 b 、 c 都有 M ? 1 2

而当 b ? 0, c ? 1 时, g(x) ? ?x2 ? 1 在区间[?1,1]上的最大值 M ? 1

2

2

2

故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 1 。 2
解法 2: g(x) ?| f '(x) |?| ?(x ? b)2 ? b2 ? c |

(1)当| b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ;

(2)当| b |? 1 时,函数 y ? f '(x) 的对称轴 x ? b 位于区间[?1,1]内,

此时 M ? max?g(?1), g(1), g(b)?

4M ? g(?1) ? g(1) ? 2g(h) ?| ?1? 2b ? c | ? | ?1? 2b ? c | ?2 | b2 ? c |

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?| ?1? 2b ? c ? (?1? 2b ? c) ? 2(b2 ? c) |?| 2b2 ? 2 |? 2 ,即 M ? 1 2
下同解法 1 43.(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2x ? a3 .

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

(1) 设 a ?1,求函数 f ? x? 的极值; (2) 若 a ? 1 ,且当 x ??1, 4a? 时, f ' (x) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.
4
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (21)解析
(Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f (x) 求导数,得

f ' (x) ? 3x2 ? 6x ? 9.

令 f ' (x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f (x), f ' (x) 的变化情况:

x

(??, ?1)

?1

(-1,3)

3

(3, ??)

f '(x)

+

0



0

+

f (x)

极大值 6

极小值-26

所以, f (x) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26.

(Ⅱ) f ' (x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若 1 ? a ? 1,则f '(x)在[1,4a]上是增函数,从而
4 f ' (x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a2.

由| f ' (x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 ? 12a, 于是有

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a,且f '(4a) ? 15a2 ? 12a.

由 f '(1) ? ?12a得 ? 1 ? a ? 1,由f '(4a) ? 12a得0 ? a ? 4 .

3

5

所以 a ?(1 ,1] [? 1 ,1] [0, 4],即a ?(1 , 4].

4

3

5

45

若 a>1,则| f ' (a) |? 12a2 ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f '(x) |? 12a 不恒成立.

所以使| f ' (x) |? 12a(x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( 1 , 4]. 45

中小学 1 对 1 课外辅导专家 44.(2009 天津卷理)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? (x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)ex (x ? R), 其中 a ? R

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f (x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率;
(2)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值。 3
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分 类讨论的思想方法。满分 12 分。
(I)解析 当a ? 0时,f (x) ? x2e x ,f '(x) ? (x2 ? 2x)e x,故f '(1) ? 3e.

所以曲线y ? f (x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.

? ? (II) 解:f '(x) ? x2 ? (a ? 2)x ? 2a 2 ? 4a e x .

令f '(x) ? 0,解得x ? ?2a,或x ? a ? 2.由a ? 2 知,? 2a ? a ? 2. 3
以下分两种情况讨论。
(1) 若a > 2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f '(x),f (x) 的变化情况如下表: 3
x ?? ?,? 2a? ? 2a ?? 2a,a ? 2? a ? 2 ?a ? 2,? ??

+

0



0

+



极大值



极小值



所以f (x)在(??,? 2a),(a ? 2,? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数.

函数f (x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .

函数f (x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)ea?2.

(2) 若a < 2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f '(x),f (x) 的变化情况如下表: 3
x ?? ?,a ? 2? a ? 2 ?a ? 2,? 2a? ? 2a ?? 2a,? ??

+

0



0

+



极大值



极小值



所以f (x)在(??,a ? 2),(?2a,? ?)内是增函数,在 (a ? 2,? 2a)内是减函数。

函数f (x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)ea?2.

函数f (x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .

45.(2009 四川卷理)(本小题满分 12 分)
已知 a ? 0,且a ? 1 函数 f (x) ? loga (1? ax ) 。 (I)求函数 f (x) 的定义域,并判断 f (x) 的单调性;

中小学 1 对 1 课外辅导专家

(II)若

n

?

N

*,求

lim
n???

a f (n) an ? a

;

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

(III)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设 h(x) ? (1? e f (x) )(x2 ? m ?1) ,若函数 h(x) 的极值存在,求实数 m 的

取值范围以及函数 h(x) 的极值。

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

解析 (Ⅰ)由题意知1? ax ? 0

当 0 ? a ? 1时,f (x)的定义域是(0,? ?);当a ? 1时,f (x)的定义域是(? ?,0)

f?(x)=

-ax ln a 1? ax

gloga

e

?

ax ax ?1

当 0 ? a ? 1时,x ? (0, ??).因为ax ?1 ? 0, ax ? 0,故f?(x)<0,所以f(x)是减函数

当 a ? 1时,x ? (??, 0),因为ax ?1 ? 0, ax ? 0,故f ?(x) ? 0, 所以f (x)是减函数 ….(4 分) (Ⅱ)因为 f (n) ? loga (1? an ), 所以a f (n) ? 1? an 由函数定义域知1? an >0,因为 n 是正整数,故 0<a<1. 所以 lim a f (n) ? lim 1? an ? 1
n?? an ? a n?? an ? a a (Ⅲ)(h x) ? ex (x2 ? m ?1)(x ? 0),所以h?(x) ? ex (x2 ? 2x ? m ?1)

令 h?(x) ? 0,即x2 ? 2x ? m ?1 ? 0,由题意应有? ? 0,即m ? 0

① 当 m=0 时, h?(x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h?(x) ? 0 故无极值

② 当 0 ? m ?1时, h?(x) ? 0 有两个实根 x1 ? ?1? m, x2 ? ?1? m 当 x 变化时, h?(x) 、 h(x) 的变化情况如下表所示:

x

(??, x1)

x1

(x1, x2 )

x2

(x2 , 0)

h?(x)

+

0

-

0

+

h(x)



极大值



极小值



?h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m) , h(x) 的极小值为 2e?1? m (1? m)

③ 当 m ? 1时, h?(x) ? 0 在定义域内有一个实根, x ? ?1? m

同上可得 h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m)

中小学 1 对 1 课外辅导专家
综上所述, m ?(0,? ?)时,函数 h(x) 有极值;

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

当 0 ? m ?1时 h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m) , h(x) 的极小值为 2e?1? m (1? m)
当 m ? 1时, h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m)
46.(2009 福建卷文)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3
(I)试用含 a 的代数式表示 b ; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间;

(Ⅲ)令 a ? ?1,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M (x1, f (x1)), N (x2 , f (x2 )) ,证明:线段 MN 与曲
线 f (x) 存在异于 M 、 N 的公共点;
解法一:
(I)依题意,得 f '(x) ? x2 ? 2ax ? b

由 f '(?1) ?1? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ?1 (Ⅱ)由(I)得 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? (2a ?1)x (
3 故 f '(x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? (x ?1)(x ? 2a ?1)

令 f '*(x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ?1? 2a ①当 a ?1时,1? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '(x) 与 f (x) 的变化情况如下表:

x

(??,1? 2a)

(?2a, ?1)

(?1? ?)

f '(x)
+



+

f (x)

单调递增

单调递减

单调递增

由此得,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1? 2a, ?1)

②由 a ?1时,1? 2a ? ?1,此时, f '(x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '(x) ? 0 ,故函数 f (x) 的单调区间为 R

③当 a ?1时,1? 2a ? ?1,同理可得函数 f (x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1? 2a)
综上:
当 a ?1时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1? 2a, ?1) ;

当 a ?1时,函数 f (x) 的单调增区间为 R;

当 a ?1时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1? 2a)

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(Ⅲ)当 a ? ?1时,得 f (x) ? 1 x3 ? x2 ? 3x 3
由 f '(x) ? x3 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3

让教育孩子成为一件轻松愉快的事情!

由(Ⅱ)得 f (x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3)

所以函数 f (x) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。

故 M (?1, 5).N (3, ?9) 3
所以直线 MN 的方程为 y ? ? 8 x ?1 3



? ?? ? ?

y y

? ?

1 3
?

x2 ? x2 8 x ?1

?

3x



x3

?

3x2

?

x

?

3

?

0

?? 3

令 F(x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 3

易得 F(0) ? 3 ? 0, F(2) ? ?3 ? 0 ,而 F(x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线,

故 F(x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f (x) 有异于 M , N 的公共点

解法二:

(I)同解法一

(Ⅱ)同解法一。

(Ⅲ)当 a

?

?1 时,得

f

(x)

?

1 3x

x3

?

x2

? 3x

,由

f

'( x)

?

x2

?

2x

?3

?

0

,得

x1

?

?1,

x2

?

3

由(Ⅱ)得 f (x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f (x) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取

得极值,
故 M (?1, 5), N (3, ?9) 3
所以直线 MN 的方程为 y ? ? 8 x ?1 3



? ?? ? ?

y y

? ?

1 3
?

x3 ? x2 8 x ?1

?

3x



x3

?

3x2

?

x

?

3

?

0

?? 3

解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

?

??x1 ? ?? y1

? ?

?1 ?? x2 5? 3 , ?? y2

?1 ??

11 3

,

?x3

? ?

y3

? ?

3 ?9

所以线段 MN 与曲线 f (x) 有异于 M , N 的公共点 (1, ? 11) 3
47.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。

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48.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。

(1)

......16 分

49.(2009 重庆卷理)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)问 5 分,(Ⅱ)问 8 分)

设 函 数 f ( x)? a x2 ? b x? (k k? 0 )在 x ? 0 处 取 得 极 值 , 且 曲 线 y ? f (x) 在 点 (1,f (1)处) 的 切 线 垂 直 于 直 线

x ? 2y ?1? 0 .

(Ⅰ)求 a, b 的值;

(Ⅱ)若函数 g(x) ? ex ,讨论 g(x) 的单调性. f (x)
解(Ⅰ)因 f (x) ? ax2 ? bx ? k(k ? 0),故f ?(x) ? 2ax ? b

又 f (x) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?(x) ? 0, 从而 b ? 0

由曲线 y= f (x) 在(1,f(1))处的切线与直线 x ? 2y ?1 ? 0 相互垂直可知

该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g(x)

?

ex x2 ?

k

(k

?

0)

g?(x) ? ex (x2 ? 2x ? k) (k ? 0) (x2 ? k)2

令 g?(x) ? 0,有x2 ? 2x ? k ? 0

(1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0,即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数

(2)当 ?

?

4 ? 4k

? 0,即当k=1时,g?(x)

?

ex (x ?1)2 (x2 ? k)2

?

0( x

?

0)

K=1 时,g(x)在 R 上为增函数

(3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时,方程 x2 ? 2x ? k ? 0 有两个不相等实根

x1 ?1? 1? k , x2 ?1? 1? k 当 x ? (??,1? 1? k )是g?(x) ? 0,故g(x)在(? ?,1? 1? k )上为增 函数

当 x ?(1? 1? k ,1? 1? k)时, g?(x) ? 0, 故 g(x)在(1? 1? k ,1? 1? k)上为减函数

x ?(1? 1? k,+?)时, g?(x) ? 0, 故 g(x)在(1? 1? k,+?)上为增函数
50.(2009 重庆卷文)(本小题满分 12 分,(Ⅰ)问 7 分,(Ⅱ)问 5 分)

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已知 f (x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f (x) 过点 (2, 5) , g(x) ? (x ? a) f (x) .

(Ⅰ)求曲线 y ? g(x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g(x) 取得极值,确定 y ? g(x) 的单调区间.

解: (Ⅰ) f (x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,故 f (?x) ? f (x) 即有

(?x)2 ? b(?x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0

又曲线 y ? f (x) 过点 (2, 5) ,得 22 ? c ? 5, 有 c ?1

g(x) ? (x ? a) f (x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从而 g' (x) ? 3x2 ? 2ax ?1, 曲线 y ? g(x) 有斜率为 0 的切线,故有

g ' (x) ? 0 有实数解.即 3x2 ? 2ax ?1 ? 0 有实数解.此时有 ? 4a2 ?12≥ 0 解得

? ? ? ? a ? ??, ? 3?? ? ?? 3, ??

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3?? ? ?? 3, ??

(Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g(x) 取得极值,故有 g ' (?1) ? 0 即 3? 2a ?1 ? 0 ,解得 a ? 2

又 g' (x) ? 3x2 ? 4x ?1 ? (3x ?1)(x ?1)



g ' ( x)

?

0 ,得

x1

?

?1,

x2

?

?

1 3

当 x ?(??, ?1) 时, g ' (x) ? 0 ,故 g(x) 在 (??, ?1) 上为增函数

当 x ? (?1, ? 1) 时, g ' (x) ? 0 ,故 g(x) 在 (?1, ? 1) 上为减函数

3

3

当 x ?(? 1 , ??) 时, g ' (x) ? 0 ,故 g(x) 在 (? 1 , ??) 上为增函数

3

3


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