湖北省汉阳一中2018_2019学年高二数学上学期9月月考试题理201810290371

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汉阳一中 2018——2019 学年度上学期 9 月月考 高二数学试卷(理科)
考试时间:2018 年 9 月 26 日 试卷满分:150 分

注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页. 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.不等式 2x-y-6>0 表示的平面区域在直线 2x-y-6=0 的( A.左上方 2.设双曲线 为( ) B. y ? ?2 x C. y ? ? B.右上方 C.左下方 D.右下方 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2 ,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 a 2 b2

A. y ? ? 2x

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2


3.已知圆 x2 ? y 2 ? ax ? 6 y ? 0 的圆心在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,则 a 的值为( A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

?x ? y ? 2 ? 0 ? 4.若 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ?3 x ? y ? 0 ?
7 B. ?1 C. 0 D. 1 3 2 2 5.直线 y ? x ? 1 被椭圆 x ? 2 y ? 4 所截得的弦的中点的坐标是(
A. ? A. ? ?





? 1 2? , ? ? 3 3?

B. ? , ?

?1 2? ?3 3?

C. ? ?

? 2 1? , ? ? 3 3?

D. ?? 2,1?

6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲 a 2 b2

1

线的一个交点为 P ,若 | PF |? 5 ,则双曲线的离心率为(

A.2

B. 2 2

C. 6

D.

5 ?1 2


7.若动圆的圆心在抛物线 x 2 ? 12 y 上,且与直线 y ? 3 ? 0 相切,则此圆恒过定点( A. (0, 2) 8.已知双曲线 离心率为( A. B. (0, ?3) C. (0,3) D. (0, 6)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线的 2 a b
) B. 2 C.

2

3

D. 3

9.已知圆 C 与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 及 2 x ? y ? 5 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 的方程为( A. C. )
2

? x ? 1? ? x ? 1?

? ? y ? 1? ? 5
2

B. x2 ? y 2 ? 5 D. x2 ? y2 ? 5

2

? ? y ? 1? ? 5
2

?x ? y ? 1 ? 9.已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? x ?ay 只在点 (4,3) 处取得最大值,则 a 的取 ?2 x ? y ? 2 ?
值范围是( A. (??, ?1) ) B. (?2, ??) C. (??,1) D. ( , ??)

1 2

10.设 F1 , F2 分别为椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 C2 公共的左、右焦点,两曲 a 2 b2

线 在 第 一 象 限 内 交 于 点 M , ?MF 1 F2 是 以 线 段 MF 1 为底边的等腰三角形,且

?2 5 ? MF1 ? 2 ,若椭圆 C1 的离心率 e1 ? ? , ? ,则双曲线 C2 的离心率 e2 的取值范围是 ? 5 11 ?
( )

A. 1 , 5

? ?

B.

?2, 4?

C.

?2,5?

D.

?4,5?

12.以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线 C ,其左右焦点分别是 F1 , F2 , 13 9

已 知 点 M 的 坐 标 为 M ( 2 , 1, ) 双 曲 线 C 上 的 点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) 满 足

2

uuu r uuur uuuu r uuur PF1 ? MF1 F2 F1 ? MF1 uuu r ? uuuu r ,则 S?PMF1 ? S?PMF2 ? ( PF1 F2 F1
A. 2 B. 4 C. 1 D. -1 第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.



?x ? y ? 4 ? 0 ? 13 . 已 知 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 , 且 z ? x? 3 y 的 最 小 值 为 2 , 则 常 数 ?x ? y ? k ? 0 ?
k ? __________.

x2 y 2 a2 2 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) x ? y ? 的左焦点 作圆 的切线, F ( ? c ,0)(c ? 0) a 2 b2 4 uuu r 1 uu u r uuu r 切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? (OP ? OF ) ,则双曲线的离心率为 2
14. 过双曲线 ________.

x2 y 2 (-1, 3) ? ? 1 的左焦点, P 是此椭圆上的动点, A 15 .已知 F1 是椭圆 是一定点,则 25 16

PA ? PF1 的最大值是__________.
16.给出下列四个命题: (1)方程 x2 ? y ? 2x ? 1 ? 0 表示的是圆;
2

(2)动点到两个定点的距离之和为定长,则动点的轨迹为椭圆;
2 (3)抛物线 x ? 2 y 的焦点坐标是 ( , 0)

1 8

(4)若双曲线

x2 y 2 0? ? ? 1 的离心率为 e ,且 1 ? e ? 2 ,则 k 的取值范围是 k ? ? ?12, 4 k

其中正确命题的序号是__________ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分)已知椭圆 C 的方程为 (1)求 k 的取值范围; (2)若椭圆 C 的离心率 e ?

x2 y2 ? ? 1; 9 ? k k ?1

6 ,求 k 的值。 7
3

?x ? y ? 1 ? 18. (本小题满分 12 分)若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 . ?2 x ? y ? 2 ?
(1)求目标函数 z ? x ? 2 y ? 1 的最值;
2 2 (2)求目标函数 z ? ( x ? 1) ? ( y ? ) 的最值.

5 2

19. (本小题满分 12 分)已知点 F 为抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,过 F 的直线 l 交 抛物线于 A, B 两点. (1)若直线 l 的斜率为 1 , AB ? 8 ,求抛物线 C 的方程; (2)若抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 P(?1, 0) ,S?APF :S?BPF ? (2 ? 3) :1 ,求 PA ?PB 的 值.

u u r u u r

20. (本小题满分 12 分) 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 , 半径为 2 的圆 C 与 l 相切, 圆心 C 在

x 轴上且在直线 l 的上方
(1)求圆 C 的方程; (2)设过点 P(1,1) 的直线 l1 被圆 C 截得的弦长等于 2 3 ,求直线 l1 的方程; (3)过点 M (1,0) 的直线与圆 C 交于 A, B 两点( A 在 x 轴上方) ,问在 x 轴正半轴上是否存 在点 N ,使得 x 轴平分 ?ANB ?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,直线 l 过焦点 F 交
2

抛物线于 A, B 两点, AF ? (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

1 AB ? 5 ,点 A 的纵坐标为1 . 5

(Ⅱ)若点 M 是抛物线 C 位于曲线 AOB ( O 为坐标原点)上一点,求 ?ABM 的最大面积.

22. (本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 垂线,垂足为 N ,点 P 满足 NP ?

x2 y 2 ? ? 1 上,过 M 作 x 轴的 9 4

uuu v

uuuv 2 NM .(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 E ;
4

(Ⅱ)过 F ?1,0 ? 的直线 l1 与点 P 的轨迹交于 A、B 两点,过 F ?1,0 ? 作与 l1 垂直的直线 l2 与 点 P 的轨迹交于 C、D 两点,求证:

1 1 ? 为定值. AB CD

5

选择题:1-5

D C A B C 10 2

高二理科数学月考参考答案 6-10 A C B B C 11-12 C A 15.15 16.(1) (3) (4)

填空题:13.-2 14. 三、解答题 17.

【答案】 (1)k∈(1,5)∪(5,9) (2)2 或 8

9?k ? 0 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 { k ? 1 ? 0 ? k ? ?1,5 ? ? ? 5,9 ? (1)∵方程 9 ? k k ?1 9 ? k ? k ?1
(2)①当 9﹣k>k﹣1 时,依题意可知 a= 9 ? k ,b= k ? 1 ∴c= 10 ? 2k ? e ?

(5 分)

c 6 10 ? 2k 6 ? ? ? k ? 2. ? 9?k 7 a 7
时 , 依 题 意 可 知 b

② 当

9 ﹣ k < k ﹣ 1

9 ? k = , a=

k ?1 。

∴c= 8. 18.

?10 ? 2k ? e ?
(10 分)

c 6 ?10 ? 2k 6 ? ? ? k ? 8. ∴k=8 ; ∴k 的 值 为 2 或 ? ?1 ? k 7 a 7

2 2 【答案】 (1) z ? x ? 2 y ? 1 的最大值为 4,最小值为 0.(6 分) (2) z ? ( x ? 1) ? ( y ? )

5 2

的最大值为 ,最小值为 .(12 分) 【解析】分析: (1)画出约束条件, z ? x ? 2 y ?1 ? 0 y ? 4x 的几何意义为可行域内的点
2

到 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离的



2 2 (2) z ? ( x ? 1) ? ( y ? ) 的几何意义为可行域内的点到点

5 2

的距离的平方。

6

19. 【答案】 (1) y 2 ? 4 x (2)2.

(1)由题意知,直线的方程为



联立 则

得 .

.设

两点的坐标分别为



由抛物线的性质,可得 解得 ,所以抛物线 的方程为 ,抛物线 , 得 .所以 . (5 分)(其他方法参考得分) , , ①因为



(2)由题意,得 设直线的方程为 联立



所以 所以

.因为 ,所以

三点共线,且

方向相同, ,

所以 又因为 所以

,代入①,得 ,所以

解得 ,



. (12 分)

7

20.【答案】 (1) x2 ? y 2 ? 4 (2) x ? 1 或 y ? 1 (3) N (4, 0) 试题解析: (1)设圆心 C (a,0) ( a ? ? ) ,则 所以圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 (4 分) (2)由题意可知圆心 C 到直线 l1 的距离为 2 ? ( 3 ) ? 1
2 2

5 2

4a ? 10 5

? 2 ? a ? 0 或 a ? ?5 (舍)

若直线 l1 斜率不存在,则直线 l1 : x ? 1 ,圆心 C 到直线 l1 的距离为1 若 直 线 l1 斜 率 存 在 , 设 直 线 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1) , 即 kx ? y ? 1 ? k ? 0 , 则

1? k k 2 ?1

? 1 ? k ? 0 ,直线 l1 : y ? 1 综上直线 l1 的方程为 x ? 1 或 y ? 1 (8 分)

(3)当直线 AB ? x 轴,则 x 轴平分 ?ANB 当直线 AB 斜率存在时设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) , N (t ,0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

?x 2 ? y 2 ? 4 2k 2 k2 ? 4 2 2 2 2 x ? x ? , x x ? ? ( k ? 1 ) x ? 2 k x ? k ? 4 ? 0 ? 1 2 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1 ? y ? k ( x ? 1)
若 x 轴平分 ?ANB ,则 k AN ? ?k BN ?

y1 y k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? 2 ?0? ? ?0 x1 ? t x2 ? t x1 ? t x2 ? t

? 2 x1 x2 ? (t ? 1)(x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 ?

2(k 2 ? 4) 2k 2 (t ? 1) ? ? 2t ? 0 ? t ? 4 k 2 ?1 k 2 ?1

当点 N (4, 0) ,能使得 ?ANM ? ?BNM 总成立. (12 分) 21.【答案】 (Ⅰ) x ? 16 y ; (Ⅱ)
2 2

125 . 2

(Ⅰ)因为抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) ,所以 F ? 0, 又因为点 A 在抛物线上,且纵坐标为 1 , 由抛物线的定义知: AF ? 1 ?
2

? ?

p? ?. 2?

p ? 5 ,所以 p ? 8 . 2

所以抛物线的方程为: x ? 16 y .(5 分) (Ⅱ)因为点 A 在抛物线上,且纵坐标为 1 ,所以 A ? ?4,1? 或 A ? 4,1? 因为直线 l 过抛物线的焦点 F ? 0,4? 当 A ? ?4,1? 时,直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 16 ? 0
8

当与直线 l 平行且与抛物线相切于第一象限的点 M 时, 设 直 线 方 程 为 3x ? 4 y ? c ? 0 由 {
2

ABM 面积取得最大值
知 x 2 ? 12 x ? 4c ? 0 , 由

x 2 ? 16 y 3x ? 4 y ? c ? 0

? ? ? ?12 ? ? 4 ? ? ?4c ? ? 0 知 c ? ?9 直线方程为 3x ? 4 y ? 9 ? 0
此时两平行线间的距离为 d ?

16 ? ? ?9 ? 32 ? ? ?4 ?
2

? 5 因为 AB ? 25

所以 S 综上,

ABM

1 1 125 AB d ? ? 25 ? 5 ? .同理当 A ? 4,1? 时,所以 ? S 2 2 2 125 ABM 面积的最大值为 (12 分) 2 ?

ABM

?max ?

125 . 2

22. 【答案】 (Ⅰ)

x2 y 2 17 ? ? 1 (Ⅱ) . 48 9 8

(Ⅰ)设 P ? x, y ? ,易知 N ? x,0? , NP ? ? 0, y ? , 又因为 NM ?

1 ? y ? ? 1 ? NP ? ? 0, y? , ? ,所以 M ? x, 2 2? 2 ? ? ?
2

x2 y 2 x2 ? y ? ? ? 1 .(5 分) 又因为 M 在椭圆上,所以 ,即 ?? ? 1 9 8 9 ?2 2? ?
(Ⅱ)当 l1 与 x 轴重合时, AB ? 6 , CD ?

1 1 17 16 ? ? ,∴ . 3 AB CD 48

当 l1 与 x 轴垂直时, AB ?

1 1 17 16 ? ? , CD ? 6 ,∴ . 3 AB CD 48

当 l1 与 x 轴不垂直也不重合时,可设 l1 的方程为 y ? k ? x ?1?? k ? 0? 此 时 设 A ? x1 , y1 ? ,

B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? 把 直 线 l1 与 曲 线 E 联 立

y ? k ? x ? 1?
, { x2 y 2 ? ?1 9 8

?1 ? 0
2 2 2 2 得 8 ? 9k x ? 18k x ? 9k ? 72 ? 0 ,可得 { x1 ? x2 ?

?

?

18k 2 8 ? 9k 2 9k 2 ? 72 x1 x2 ? 8 ? 9k 2
9

∴ AB ? 1 ? k

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

48 1 ? k 2 8 ? 9k
2

?

?

, 把 直 线 l2 与 曲 线 E 联 立

1 ? x ? 1? k { 2 , x y2 ? ?1 9 8 y??

1 同理可得 CD ? 1 ? 2 k


? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

48 1 ? k 2 9 ? 8k
2

?

?.

1 1 8 ? 9k 2 9 ? 8k 2 17 ? ? ? ? .(12 分) 2 2 AB CD 48 k ? 1 48 k ? 1 48

?

?

?

?

10


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