【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 专题二 高考中的三角函数的综合问题


数学

R B(理)

专题二 高考中的三角函数的 综合问题
第五章 平面向量

考点自测

自我检测 查缺补漏

题号
1 2 3 4 5

答案
A B B

解析

D
10 10

考点自测

高考题型突破

练出高分

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题型一 三角函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)= sin(ωx π π ωx + ) + sin(ωx - ) - 2cos2 , 6 6 2 x∈ R(其中 ω>0). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y= f(x)的图象与直线 y=- 1 的两个相邻交点间的距 π 离为 ,求函数 y= f(x)的单调增 2 区间.
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题型一 三角函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)= sin(ωx π π ωx + ) + sin(ωx - ) - 2cos2 , 6 6 2 x∈ R(其中 ω>0). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y= f(x)的图象与直线 y=- 1 的两个相邻交点间的距 π 离为 ,求函数 y= f(x)的单调增 2 区间.
考点自测

对三角函数的性质的讨 论,首先要化成 y= Asin(ωx + φ) + k( 一角、 一次、一函数 )的形式; 根据(2)中条件可确定 ω.

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题型一 三角函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)= sin(ωx π π ωx + ) + sin(ωx - ) - 2cos2 , 6 6 2 x∈ R(其中 ω>0). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y= f(x)的图象与直线 y=- 1 的两个相邻交点间的距 π 离为 ,求函数 y= f(x)的单调增 2 区间.
考点自测

3 1 (1)f(x)= sin ωx+ cos ωx+ 2 2 3 1 sin ωx- cos ωx-(cos ωx+1) 2 2 3 1 =2( sin ωx- cos ωx)- 1 2 2 π =2sin(ωx- )-1. 6 π 由-1≤sin(ωx- )≤1, 6 π 得-3≤2sin(ωx- )-1≤1, 6

所以函数 f(x)的值域为[-3,1].
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题型一 三角函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)= sin(ωx π π ωx + ) + sin(ωx - ) - 2cos2 , 6 6 2 x∈ R(其中 ω>0). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y= f(x)的图象与直线 y=- 1 的两个相邻交点间的距 π 离为 ,求函数 y= f(x)的单调增 2 区间.
考点自测

(2)由题设条件及三角函数图象 和性质可知, y=f(x)的周期为 π, 2π 所以 =π,即 ω=2. ω π 所以 f(x)=2sin(2x- )-1, 6 π π π 再由 2kπ - 2 ≤2x - 6 ≤2kπ + 2
(k∈Z),
π π 解得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z). 所以函数 y = f(x) 的单调增区间 π π 为[kπ-6,kπ+3](k∈Z).
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题型一 三角函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)= sin(ωx π π ωx + ) + sin(ωx - ) - 2cos2 , 6 6 2 x∈ R(其中 ω>0). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y= f(x)的图象与直线 y=- 1 的两个相邻交点间的距 π 离为 ,求函数 y= f(x)的单调增 2 区间.
考点自测

三角函数的图象和性质是 高考考查的重点,通常先将 三角函数化为 y = Asin(ωx +φ)+k 的形式,然后将 t =ωx+φ 视为一个整体, 结 合 y=sin t 的图象求解.

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跟踪训练 1 已知函数 f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x.

(1)求函数 f(x)的最小正周期; 19π (2)当 x∈[ ,π]时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 24 解 f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x
=1-sin 2x+2cos2x=2+cos 2x-sin 2x π =2+ 2cos(2x+ ). 4 (1)函数 f(x)的最小正周期 T=π.

11 π 9π 2 π 19π 所以 π≤2x+ ≤ . 所以 ≤cos(2x+ )≤1. (2)因为 ≤x≤π, 6 4 4 2 4 24 π 所以 3≤2+ 2cos(2x+ )≤2+ 2,即 3≤f(x)≤2+ 2. 4

所以函数 f(x)的最小值为 3,最大值为 2+ 2.
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题型二
【例 2】

三角函数和解三角形
思维启迪 解析

思维升华

(2013· 重庆)在△ABC 中,

内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 (2) 设 cos Acos B = , 5 cos?α+A?cos?α+B? 2 = , 求 tan α cos2α 5 的值.

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题型二
【例 2】

三角函数和解三角形
思维启迪 解析

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(2013· 重庆)在△ABC 中,

内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 (2) 设 cos Acos B = , 5 cos?α+A?cos?α+B? 2 = , 求 tan α cos2α 5 的值.

(1)利用余弦定理求 C;
(2)由(1)和 cos Acos B= 3 2 代入求 5 可求得 A+B, tan α.

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题型二
【例 2】

三角函数和解三角形
思维启迪 解析

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(2013· 重庆)在△ABC 中,
(1)因为 a2+b2+ 2ab=c2,

内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a +b + 2ab=c . (1)求 C; 3 2 (2) 设 cos Acos B = , 5 cos?α+A?cos?α+B? 2 = , 求 tan α cos2α 5 的值.
2 2 2

a2+b2-c2 由余弦定理有 cos C= 2ab - 2ab 2 = 2ab =- 2 .

又 0<C<π,
3π 故 C= . 4

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题型二
【例 2】

三角函数和解三角形
思维启迪 解析

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(2013· 重庆)在△ABC 中,

(2)由题意得
(sin a sin A ? cos a cos A)(sin a sin B ? cos a cos B) cos 2 a

内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 (2) 设 cos Acos B = , 5 cos?α+A?cos?α+B? 2 = , 求 tan α cos2α 5 的值.

2 = . 5

因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B 2 -cos B)= 5 ,

tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B 2 +cos Asin B)+cos Acos B= 5 ,

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题型二
【例 2】

三角函数和解三角形
思维启迪 解析

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(2013· 重庆)在△ABC 中,

内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 (2) 设 cos Acos B = , 5 cos?α+A?cos?α+B? 2 = , 求 tan α cos2α 5 的值.

tan2αsin Asin B-tan αsin(A 2 +B)+cos Acos B= .① 5
2 所以 sin(A+B)= 2 ,

3π π 因为 C= 4 ,所以 A+B=4,

因为 cos(A+B)=cos Acos B- sin Asin B,

3 2 2 即 -sin Asin B= , 5 2
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题型二
【例 2】

三角函数和解三角形
思维启迪 解析

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(2013· 重庆)在△ABC 中,

内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 (2) 设 cos Acos B = , 5 cos?α+A?cos?α+B? 2 = , 求 tan α cos2α 5 的值.

3 2 2 解得 sin Asin B= - = 5 2 2 . 10
由①得 tan2α-5tan α+4=0,

解得 tan α=1 或 tan α=4.

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题型二
【例 2】

三角函数和解三角形
思维启迪 解析

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(2013· 重庆)在△ABC 中,

内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 (2) 设 cos Acos B = , 5 cos?α+A?cos?α+B? 2 = , 求 tan α cos2α 5 的值.

三角函数和三角形的结合, 一般可以利用正弦定理、余 弦定理先确定三角形的边 角,再代入到三角函数中, 三角函数和差公式的灵活运 用是解决此类问题的关键.

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跟踪训练 2 (2012· 安徽)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长

分别为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.
解 由题设知,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B. 1 因为 sin B≠0,所以 cos A= . 2 π 由于 0<A<π, 故 A= . 3 b2+c2-a2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 方法二 由题设可知, 2b· 2bc =a· 2ab +c· 2bc , 2 2 2 b + c - a 1 于是 b2+c2-a2=bc,所以 cos A= = . 2bc 2 π 由于 0<A<π,故 A= . 3
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(1)方法一

高考题型突破
跟踪训练 2 (2012· 安徽)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长

分别为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.
→ +AC → ?2 →2 ? AB ? (2)方法一 因为AD =? 2 ? ? 1 →2 →2 1 π 7 → → = (AB +AC +2AB· AC) = (1+4+2×1×2×cos )= , 4 4 3 4 7 7 → 所以|AD|= .从而 AD= . 2 2 1 2 2 2 方法二 因为 a =b +c -2bccos A=4+1-2×2×1×2=3, π 2 2 2 所以 a +c =b ,B= . 2 3 7 3 1+ = . 因为 BD= ,AB=1, 所以 AD= 4 2 2
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题型三
【例 3】
? n=?cos ?

三角函数与平面向量的综合应用
已知向量
? x 2x ,cos ?. 4 4? ?2π ? cos? 3 -x?的值; ? ? ? m=? ? ? x 3sin ,1?, 4 ?

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解析

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(1)若 m· n=1,求

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A) 的取值范围.
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题型三
【例 3】
? n=?cos ?

三角函数与平面向量的综合应用
已知向量
? x 2x ,cos ?. 4 4? ?2π ? cos? 3 -x?的值; ? ? ? m=? ? ? x 3sin ,1?, 4 ?

思维启迪

解析

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(1)由向量数量积的运算转化 成三角函数式,化简求值.

(1)若 m· n=1,求

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A, (2)在△ABC 中,求出∠A 的 B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A) 的取值范围.
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范围, 再求 f(A)的取值范围.

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题型三
【例 3】
? n=?cos ?

三角函数与平面向量的综合应用
已知向量
? x 2x ,cos ?. 4 4? ? m=? ? ? x 3sin ,1?, 4 ?

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解析

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x x 2x (1)m· n= 3sin · cos +cos 4 4 4 x 1 + cos ?2π ? 2 3 x ? ? (1)若 m· n=1,求 cos 3 -x 的值; = sin + 2 2 2 ? ? ? x π? 1 + ?+ , (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,=sin? ?2 6? 2 ? x π? 1 ? ∵m· n=1, + ? ∴ sin ? ?= . B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 ?2 6? 2 ? ? π? π? ? ? ? 1 2?x x+ ?=1-2sin ? + ?= , (2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A) ∵cos? 3? ? ?2 6? 2

的取值范围.
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?2π ? ? π? 1 ? ? ? ∴cos? 3 -x?=-cos?x+3? =- . ? 2 ? ? ? ?

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题型三
【例 3】
? n=?cos ?

三角函数与平面向量的综合应用
已知向量
? x 2x ,cos ?. 4 4? ?2π ? cos? 3 -x?的值; ? ? ? m=? ? ? x 3sin ,1?, 4 ?

思维启迪

解析

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(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,
由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B =sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B

(1)若 m· n=1,求

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A, =sin Bcos C. B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足
∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,

(2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A) ∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 ∴cos B= , 的取值范围. 2
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题型三
【例 3】
? n=?cos ?

三角函数与平面向量的综合应用
已知向量
? x 2x ,cos ?. 4 4? ? m=? ? ? x 3sin ,1?, 4 ?

思维启迪

解析

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∵0<B<π, π 2π ∴B= . ∴0<A< . 3 3 ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ∴π<A+π<π, ? ? 6 2 6 2 ?A π? ?1 ? ?∈? ,1?. + (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A, sin? ? 2 6? ?2 ? ? x π? 1 + ? 又∵f(x)=sin? ? ?+ . B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 ?2 6? 2

(2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A) 的取值范围.
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?A π? 1 ? + ∴f(A)=sin? ? 2 6?+2. ? ?

故函数
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? 3? ? f(A)的取值范围是?1,2? ?. ? ?

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题型三
【例 3】
? n=?cos ?

三角函数与平面向量的综合应用
已知向量
? x 2x ,cos ?. 4 4? ?2π ? cos? 3 -x?的值; ? ? ? m=? ? ? x 3sin ,1?, 4 ?

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解析

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(1) 向 量 是 一 种 解 决 问 题 的 工 具,是一个载体,通常是用向量 的数量积运算或性质转化成三

(1)若 m· n=1,求

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A, 角函数问题. B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足
(2)三角形中的三角函数要结合正 弦定理、余弦定理进行转化,注

(2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A) 意角的范围对变形过程的影响. 的取值范围.
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跟踪训练 3 已知 a=(5 3cos x,cos x),

3 b=(sin x,2cos x),设函数 f(x)=a· b+|b|2+ . 2 π π (1)当 x∈[ , ]时,求函数 f(x)的值域; 6 2 π π π (2)当 x∈[ , ]时,若 f(x)=8,求函数 f(x- )的值; 6 2 12 π (3)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图 12 象上各点的纵坐标向下平移 5 个单位,得到函数 y=g(x)的图 象,求函数 g(x)的表达式并判断奇偶性.

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3 (1)f(x)=a· b+|b|2+ 2 3 =5 3sin xcos x+2cos2x+4cos2x+sin2x+ 2 5 2 =5 3sin xcos x+5cos x+ 2 1+cos 2x 5 5 3 = sin 2x+5× + 2 2 2 π =5sin(2x+ )+5. 6 π π π π 7π 由 ≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ , 6 2 2 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 π π 5 ∴当 ≤x≤ 时,函数 f(x)的值域为[ ,10]. 6 2 2 解
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π (2)f(x)=5sin(2x+ )+5=8, 6 π 3 则 sin(2x+ )= , 6 5 π 4 所以 cos(2x+ )=- , 6 5 π π π 3 3 f(x- )=5sin 2x+5=5sin(2x+ - )+5= +7. 12 6 6 2 π (3)由题意知 f(x)=5sin(2x+ )+5→ 6 π π g(x)=5sin[2(x- )+ ]+5-5=5sin 2x, 12 6

即 g(x)=5sin 2x,

g(-x)=5sin(-2x)=-5sin 2x=-g(x), 故 g(x)为奇函数.
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1 2 3 4 5 6

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1 2 3 4 5 6

π π 1. 函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|< )在同一个周期内, 当 x= 时, 2 4 7π y 取最大值 1,当 x= 时,y 取最小值-1. 12 (1)求函数的解析式 y=f(x); (2)函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图象; (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1), 求在[0,2π]内的所有实 数根之和.
7 π 2 ∴ω=3, 解 (1)∵T=2(12π-4)=3π, 3 3π π 又∵sin( π+φ)=1, ∴ 4 +φ=2kπ+2,k∈Z. 4 π π π ∴函数的解析式为 f(x)=sin(3x- ). 又|φ|< ,得 φ=- , 4 2 4
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1 2 3 4 5 6

π π 1. 函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|< )在同一个周期内, 当 x= 时, 2 4 7π y 取最大值 1,当 x= 时,y 取最小值-1. 12 (1)求函数的解析式 y=f(x); (2)函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图象; (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1), 求在[0,2π]内的所有实 数根之和.
π π (2)y=sin x 的图象向右移4个单位, 得到 y=sin(x- )的图象, 4 π 1 再由 y=sin(x-4)的图象上所有点的横坐标变为原来的3,

π 纵坐标不变,得到 y=sin(3x-4)的图象.
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1 2 3 4 5 6

π π 1. 函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|< )在同一个周期内, 当 x= 时, 2 4 7π y 取最大值 1,当 x= 时,y 取最小值-1. 12 (1)求函数的解析式 y=f(x); (2)函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图象; (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1), 求在[0,2π]内的所有实 数根之和.
π 2 (3)∵f(x)=sin(3x-4)的最小正周期为3π, π ∴f(x)=sin(3x- )在[0,2π]内恰有 3 个周期, 4 π π ∴sin(3x- )=a(0<a<1)在[0,2π]内有 6 个实数根且 x1+x2= . 4 2
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1 2 3 4 5 6

π π 1. 函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|< )在同一个周期内, 当 x= 时, 2 4 7π y 取最大值 1,当 x= 时,y 取最小值-1. 12 (1)求函数的解析式 y=f(x); (2)函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图象; (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1), 求在[0,2π]内的所有实 数根之和.
11π 19 同理,x3+x4= 6 ,x5+x6= 6 π,

π 11π 19π 11π 故所有实数根之和为 + + = . 2 6 6 2
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1 2 3 4 5 6

2.(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cos 正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)讨论

? π? ? ωx· sin?ωx+ ? (ω>0)的最小 4? ? ?

? π? ? f(x)在区间?0, ? 上的单调性. 2? ? ?

解 (1)f(x)=4cos =2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos ωx

? π? ωx· sin?ωx+4? ? ? 2

= 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+

因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0. 2π 从而有 =π,故 ω=1. 2ω
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? π? ? 2=2sin?2ωx+ ? + 4? ? ?

2.

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1 2 3 4 5 6

2.(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cos 正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)讨论

? π? ? ωx· sin?ωx+ ? ?(ω>0)的最小 4 ? ?

? π? ? f(x)在区间?0, ? ?上的单调性. 2 ? ?

π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ , 即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2
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? π? (2)由(1)知,f(x)=2sin?2x+4?+ ? ?

2.

练出高分
1 2 3 4 5 6

2.(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cos 正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)讨论

? π? ? ωx· sin?ωx+ ? ?(ω>0)的最小 4 ? ?

? π? ? f(x)在区间?0, ? ?上的单调性. 2 ? ?

? π? 综上可知,f(x)在区间?0,8?上单调递增, ? ?

?π π? ? , 在区间? ?8 2?上单调递减. ? ?

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3.(2013· 四川)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 3 2A-B c,且 2cos cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- . 2 5 (1)求 cos A 的值; → 在BC → 方向上的投影. (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA

解 (1)由 2cos

2A-B

2 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A

3 +C)=-5,得
3 [cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=- , 5
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3.(2013· 四川)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 3 2A-B c,且 2cos cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- . 2 5 (1)求 cos A 的值; → 在BC → 方向上的投影. (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA

3 即 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5
3 3 则 cos(A-B+B)=- , 即 cos A=- . 5 5

3 4 (2)由 cos A=-5,0<A<π,得 sin A=5,
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3.(2013· 四川)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 3 2A-B c,且 2cos cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- . 2 5 (1)求 cos A 的值; → 在BC → 方向上的投影. (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA a b bsin A 2 由正弦定理,有 = , sin A sin B 所以,sin B= a = 2 . π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= , 4 ? 3? ? 2 2 2 - 根据余弦定理,有(4 2) =5 +c -2×5c×? ? 5?, ? ? 解得 c=1 或 c=-7(舍去).
2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B= . 2
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4. 已知向量 a=(cos α, sin α), b=(cos x, sin x), c=(sin x+2sin α, cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3



(1)∵b=(cos x,sin x),

π c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=4,∴f(x)=b· c =cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α =2sin xcos x+ 2(sin x+cos x).
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4. 已知向量 a=(cos α, sin α), b=(cos x, sin x), c=(sin x+2sin α, cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3

令 t=sin x+cos

?π ? x?4<x<π?, ? ?

则 2sin xcos x=t2-1,且-1<t< 2. 则 y=t +
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2

? 2t-1=? ?t+ ?

2? ?2 3 -2,-1<t< 2, 2? ?
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4. 已知向量 a=(cos α, sin α), b=(cos x, sin x), c=(sin x+2sin α, cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3

2 3 2 ∴t=- 2 时,ymin=-2,此时 sin x+cos x=- 2 , 2 即 2, π π π 5 π 7 11π ∵4<x<π,∴2<x+4<4π,∴x+4=6π,∴x= 12 .
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? π? 2sin?x+4?=- ? ?

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4. 已知向量 a=(cos α, sin α), b=(cos x, sin x), c=(sin x+2sin α, cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3

3 11π ∴函数 f(x)的最小值为-2,相应 x 的值为 12 . π π a· b (2)∵a 与 b 的夹角为3,∴cos 3=|a|· |b|=cos αcos x+sin αsin x =cos(x-α). π ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α=3.
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4. 已知向量 a=(cos α, sin α), b=(cos x, sin x), c=(sin x+2sin α, cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3

∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0,

∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即

? π? sin?2α+3?+2sin ? ?

2α=0.

5 3 3 ∴2sin 2α+ 2 cos 2α=0,∴tan 2α=- 5 .
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π 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象 2 如图所示. (1)求 f(x)的解析式; π 2 π π (2)设 g(x)=[f(x- )] ,求函数 g(x)在 x∈[- , ]上的最大 12 6 3 值,并确定此时 x 的值. 3 T π 2π π ∴ω= . 解 (1)由题图知 A=2,4=3,则 ω =4×3, 2 π π 3 π π ∴sin(φ- )=0, 又 f(- )=2sin[ ×(- )+φ]=2sin(- +φ)=0, 4 6 2 6 4 π π π π ∴φ-π=0, 即 φ=π, ∵0<φ< , 4 4 2 ∴-4<φ-4<4,
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π 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象 2 如图所示. (1)求 f(x)的解析式; π 2 π π (2)设 g(x)=[f(x- )] ,求函数 g(x)在 x∈[- , ]上的最大 12 6 3 值,并确定此时 x 的值.
3 π ∴f(x)=2sin( x+ ). 2 4
π 3 π π (2)由(1)可得 f(x-12)=2sin[2(x-12)+4]
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π 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象 2 如图所示. (1)求 f(x)的解析式; π 2 π π (2)设 g(x)=[f(x- )] ,求函数 g(x)在 x∈[- , ]上的最大 12 6 3

π 1-cos?3x+ ? 3 π 4 π 2 =2sin( x+ ), 2 8 ∴g(x)=[f(x-12)] =4× 2 π π π π π 5π =2-2cos(3x+ ), ∴- ≤3x+ ≤ , 4 ∵x∈[-6,3], 4 4 4 π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,[g(x)]max=4. 4 4
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值,并确定此时 x 的值.

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6.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsin A. (1)求 B 的大小;(2)求 cos A+sin C 的取值范围.

解 (1)由 a=2bsin A,
根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A, 1 π 所以 sin B=2,由△ABC 为锐角三角形可得 B=6. 5π 5π (2)由(1)可知 A+C=π-B= 6 ,故 C= 6 -A.
故 cos A+sin C=cos
=cos
?5π ? A+sin? 6 -A? ? ?
?π ? A+sin?6+A?=cos ? ?

1 3 A+ cos A+ sin A 2 2
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6.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsin A. (1)求 B 的大小;(2)求 cos A+sin C 的取值范围.
? 3 ? ? π? 3 3 1 ? ? =2cos A+ 2 sin A= 3? cos A+ sin A?= 3sin?A+3?, 2 ? ? ? 2 π ? 由△ABC 为锐角三角形可得,0<C<2, π π π 5π π π 5π 故 0< 6 -A<2,解得3<A< 6 ,又 0<A<2,所以3<A<2. ? π? 3 2π π 5π 1 故 3 <A+3< 6 ,所以2<sin?A+3?< 2 , ? ? ? π? 3 3 所以 2 < 3sin?A+3?<2, ? ? ? 3 3? ? 即 cos A+sin C 的取值范围为? , ? 2 ?. 2 ? ?

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