北师大版高二数学选修2-1试题

北师大版高二数学选修 2-1 试题
班级: 姓名: 学号: 成绩: 一 选择题(本题共 12 个小题,每小题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 60 分) 1.x>2 是 x 2 ? 4 的 A. C. 充分不必要条件 既充分又必要条件 B. D. 必要不充分条件 既不充分又不必要条件 ( ) ( )

2.命题“在 ? ABC 中,若 sin A ? A.在 ? ABC 中,若 sin A ?

1 ,则 A=30?”的否命题是 2

1 1 ,则 A≠30? B. 在 ? ABC 中,若 sin A ? ,则 A=30? 2 2 1 C.在 ? ABC 中,若 sin A ? ,则 A≠30? D.以上均不正确 2 3.已知命题 P:若 a ? b ,则 c>d ,命题 Q:若 e ? f ,则 a ? b 。若 P 为真且 Q 的否命题为 真,则“ c ? d ”是“ e ? f 的” ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ???? ? ? 4、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1B1 ? a , A1 D1 ? b ,

) A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 A、 ? a ? b ? c B、 a ? b ? c C、 a ? b ? c D、 ? a ? b ? c 2 2 2 2 2 2 2 2 5、空间直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1,0) ,B(-1,3,0) ,若点 C 满足 OC =α OA +β OB ,其中α ,β ? R,α +β =1,则点 C 的轨迹为( ) A、平面 B、直线 C、圆 D、线段 3? ? 1 6、已知 a =(1,2,3), b =(3,0,-1) c = ? ? ,1,? ? 给出下列等式: , 5? ? 5 ①∣ a ? b ? c ∣=∣ a ? b ? c ∣ ② (a ? b) ? c = a ? (b ? c) ③ (a ? b ? c) 2 = a ? b ? c 其中正确的个数是 ( ) A、1 个 B、2 个
2 2

(A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 4 41 2 2 x y ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离是 8.椭圆 100 36 ( ) (A)15 (B)12 (C)10 (D)8 2 2 x y 9.椭圆 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△ F1 PF2 的面积 25 9 为( ) (A)9 (B)12 (C)10 (D)8 2 2 x y ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 10.椭圆 ) 16 4 (A)3 (B) 11 (C) 2 2 (D) 10 2 11.过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 1 1 分别为 p、q,则 ? 等于( ) p q 1 4 (A)2a (B) (C) 4a (D) 2a a 2 2 x y ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( 12. 如果椭圆 ) 36 9 (A) x ? 2 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (D) x ? 2 y ? 8 ? 0 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、 “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 x2 y2 ? 1 具有相同的离心率且过点 14.与椭圆 ? (2, 3 ) 的椭圆的标准方程 。 4 3 15.离心率 e ?
5 ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是________. 3

2

2

2

④ (a ? b) ? c = a ? (b ? c) C、3 个 D、4 个

16、16、在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC1 ? A1C .有下列条 ① AB ? AC ? BC ;② AB ? AC ;③ AB ? AC .其中能成为
BC1 ? AB1 的充要条件的是(填上该条件的序号)________.

件:

7.已知椭圆

x y ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 2 , | F1 F2 |? 8 , AB 过点 F1 , 弦 则△ ABF2 F 且 2 25 a

的周长为(





解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分)

17、 (本题满分 14 分)已知命题 P : “若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假, 并证明你的结论.

20、(本题 12 分)在三棱锥 P-ABC 中, PB2 ? PC 2 ? BC 2 , 平面 ABC。 (1)求证:AC⊥BC; (2)如果 AB=4,AC=3,当 PA 取何值时,使得异面直线 PB 所成的角为 600。
P

PA ⊥

与 AC
A B C

18. (本题 14 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 是 E 的中点,F 是 DD1 的中点, (1) 求点 A 到平面 A1DE 的距离; (2) 求证:CF∥平面 A1DE, (3) 求二面角 E-A1D-A 的平面角大小的余 弦值。

D1 A1 F

C1 B1

BC

D E A B

C

21. 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点, (1)若以 AB 线段为直径的圆过坐 1 标原点, 求实数 a 的值。 是否存在这样的实数 a, A、 两点关于直线 y ? x 对称? (2) 使 B 2 说明理由。(10 分)

19. (14 分)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距 离为 5,求抛物线的方程和 m 的值。(16 分)

命题意图: 本套试题主要考察了高二数学(北师大版)选修 2-1 的常用逻辑用语、圆锥曲线、空 间向量等相关知识。本套试题难、中、易比率为 2:3:5 来设置的。其中考察重点在于基 本知识、基本技能、基本技巧。个章知识点得分比率基本为 1:1:1。在于培养学生分析 问题解决问题的能力。 北师大版高二数学选修 2-1 答案 一 选择题(本题共 12 个小题,每小题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 60 分) 1 A 2 C 3 A 4 A 5 B 6 D 7 D 8 B 9 A 10 D 11 C 12 D

???? ? ???? DA1 ? ? 2,0, 2? , DE ? ?1, 2,0 ? , ? 设平面 A1DE 的法向量是 n ? ? a, b, c ? ,
? ???? ? ?n ? DA1 ? 2a ? 2c ? 0 ? 则 ? ? ???? , ? n ? DE ? a ? 2b ? 0 ? ? 取 n ? ? ?2,1, 2 ? ,

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 否定形式:末位数是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 否命题:末位数不是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 14.
x y ? ?1 8 6 x2 9 y2 ? ?1 5 20
2 2

点 A 到平面 A1DE 的距离是 ??? ? ? DA ? n 4 d? ? 。 ? 9 n

3y 4x ? ?1 25 25

2

2

??? ? (2) CF ? ? 0, ?2,1? ,
??? ? ? ??? ? ? ?CF ? n ? ?2 ? 2 ? 0,?CF ? n ,所以,CF∥平面 A1DE。 ???? ? ???? DC ? n 1 (3) DC ? ? 0, 2,0 ? 是面 AA1D 的法向量, cos ? ? ???? ? ? DC n 3
? 2 19、1) P 2 P B ? ( ∵B C C
2

15.

16. ①、③ 三 解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分) 17、 (本题满分 14 分)解:(1)命题 P 的否命题为:“若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有 实根”. (2)命题 P 的否命题是真命题. 证明如下:

∴PC⊥BC, 因为 PA⊥平面 ABC, P

所以 PA

⊥BC, ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AC ? BC ? ( AP ? PC) ? BC ? AP ? BC ? PC ? BC ? 0 ? 0 ? 0, 所以,AC⊥BC;
A C B

? ac ? 0,? ?ac ? 0, ? ? ? b ? 4ac ? 0, ? 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根.
2
2

??? ??? ? ? (2)因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥AC, PA ? AC ? 0 ,

∴该命题是真命题. 综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是 a<0 或 0<a≤1 由以上推理的可逆性,知当 a<0 时方程有异号两根;当 0<a≤1 时,方程有两负根. 故 a<0 或 0<a≤1 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根的充分条件. 18、 (1)分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建 z 立空间直角坐标系,则 A(2,0,0), A1 D1 C1 (2,0,2),E(1,2,0), D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则 A1
B1 F

??? ???? ??? ???? ? ? ? 设 PA=x,又异面直线 PB 与 AC 所成的角为 600,则 PB ? AC ? PB ? AC cos 。 3 ??? ???? ? ??? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? 而 PB ? AC ? ( PA ? AB) ? AC ? PA ? AC ? AB ? AC ? AB ? AC ? ??? ???? ??? ???? ? ??? ???? ? ? 3 所以 AB ? AC ? PB ? AC cos , AB ? AC ? 4 ? 3 ? ? 9 。 3 4 ? 有 9 ? 16 ? x 2 ? 3cos , x ? 2 5 。 3

y D x E A B C

当 PA= 2 5 时,异面直线 PB 与 AC 所成的角为 600。

20、 法一: 设抛物线方程为 y2= -2px p>0) ( , (?
p ,0) , 2

y

则焦点 F

M(-3,m)

N

? 3x 2 -y 2 =1 y -y 3(x1 +x 2 ) 那么: ? 12 1 2 ,两式相减得: 3(x12 -x22 )=y12 -y22 ,从而 1 2 = .......(*) 3x 2 -y 2 =1 x1 -x 2 y1 +y2 ? ? y1 +y 2 1 x1 +x 2 ? 2 =2? 2 1 ? 因为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ? x 对称,所以 ? y1 -y 2 2 ? ? ?2 x1 -x 2 ? ?

代入(*)式得到:-2=6,矛盾。 也就是说:不存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ?
1 x 对称。 2

m2 ? 6 p 由题设可知 ? ? 2 2 ?m ? (3 ? p / 2) ? 25 ?p ? 4 ?p ? 4 解之得, ? 或? ?m ? 2 6 ? m ? ?2 6

F O

x
则焦点 F

法二:设抛物线方程为 y2= -2px(p>0), (?
p ,0) , 2 p ,由抛物线定义得, 2

准线方程为 x= |MN|=3+

L

p =5, 所以 p=4 ,抛物线方程为 y2= - 8x, 2 又 M(-3,m)在抛物线上,

于是 m ? 2 6 或 m ? ?2 6
? 3x 2 -y 2 =1 21. 解: (1)联立方程 ? ,消去 y 得: (3-a2)x2-2ax-2=0. ? y ? ax ? 1



??? ??? ? ? 由于以 AB 线段为直径的圆经过原点,那么: OA ? OB ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 。
所以: x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,得到: (a 2 ? 1) ?
?2 2a ?a? ? 1 ? 0, a 2 ? 6 ,解得 3 ? a2 3 ? a2

2a ? x1 ? x2 ? ? 3 ? a2 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? 。 2 ? x1 x2 ? ? ? 2 3? a ? 2 2 ? ? ? (2a ) ? 8(3 ? a ) ? 0 ? ?

a= ?1

(2)假定存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ?

1 x 对称。 2


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