2018北师大版选修1-1高中数学2.1.2《椭圆的简单几何性质》练习题

【成才之路】 2017-2018 学年高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质练 习 北师大版选修 1-1 一、选择题 1.椭圆 25x +9y =225 的长轴长,短轴长,离心率依次为( 4 A.5,3, 5 3 C.5,3, 5 [答案] B [解析] 椭圆 25x +9y =225 化为标准方程为 + =1,∴a =25,b =9, 25 9 ∴长轴长 2a=10,短轴长 2b=6, 2 2 2 2 ) 4 B.10,6, 5 3 D.10,6, 5 y2 x2 2 2 c 4 离心率 e= = ,故选 B. a 5 2.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率为( A. C. 1 5 3 3 B. 3 4 ) 1 D. 2 [答案] D c 1 [解析] 由题意得 a=2c,∴离心率 e= = . a 2 3.椭圆 2x +3y =6 的焦距是( A.2 C.2 5 [答案] A [解析] 椭圆方程可化为 + =1, 3 2 ∴c =a -b =1.∴c=1. ∴焦距 2c=2. 2 2 2 2 2 ) B.2( 3- 2) D.2( 3+ 2) x2 y2 x y 10 4.若椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值是( 5 m 5 A.3 25 B.3 或 3 2 2 ) C. 15 [答案] B [解析] 若 5>m,e= 若 m>5,e= D. 5或 5 15 3 5-m 10 = ,m=3. 5 5 m-5 10 25 = ,m= . m 5 3 5.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此 椭圆的方程是( A. C. + =1 81 72 + =1 81 45 ) B. + =1 81 9 D. + =1 81 36 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 [答案] A [解析] 由 2a=18 得 a=9, 又 a-c=2c, ∴c=3.∴b =a -c =81-9=72. 故椭圆的方程为 + =1. 81 72 6.椭圆 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( 25 9 9-k 25-k A.有相等的长、短轴 C.有相同的焦点 [答案] B [解析] ∵0<k<9,∴0<9-k<9,16<25-k<25, ∴25-k-9+k=16, 故两椭圆有相等的焦距. 二、填空题 2 2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ) B.有相等的焦距 D.x,y 有相同的取值范围 x2 y2 2 7.(2018?四川)椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 ,点 P(0,1)在短轴 CD 上,且 a b 2 → → PC?PD=-1,则椭圆 E 的方程为________. [答案] x2 y2 4 + =1 2 [解析] 由已知,点 C、D 的坐标分别为(0,-b),(0,b). → → 又 P 点的坐标为(0,1),且PC?PD=-1, 1-b =-1, ? ?c 2 于是? = , a 2 ? ?a =b +c , 2 2 2 2 解得 a=2,b= 2, 所以椭圆 E 方程为 + =1. 4 2 8.若椭圆两焦点 F1(-4,0),F2(4,0),P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积是 12,则椭 圆方程为________. [答案] x2 y2 x2 25 + =1 9 y2 [解析] ∵焦点为(-4,0),∴c=4,且焦点在 x 轴上又最大面积为 bc=12,∴b=3, ∴a =16+9=25, ∴椭圆方程为 + =1. 25 9 三、解答题 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)短轴长为 6,两个焦点间的距离为 8; (2)两个顶点分别是(-7,0),(7,0),椭圆过点 A(1,1); (3)两焦点间的距离为 8,两个顶点分别是(-6,0),(6,0). [答案] (1) + =1 或 + =1 25 9 9 25 [解析] (1)由题意得 b=3,c=4, ∴a =b +c =9+16=25 ∵焦点位置不定,所以存在两种情况. ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 25 9 9 25 (2)当焦点在 x 轴上时, ∵两个顶点为(-7,0),(7,0),∴a=7. ∴方程可设为 + 2=1,又过点(1,1), 49 b 49 x 48y 代入可得 b = ,∴椭圆方程为 + =1. 48 49 49 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x 48y (2) + =1 49 49 2 2 (3) + =1 或 + =1 36 20 36 52 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 当焦点在 y 轴上时,∵两个顶点为(-7,0),(7,0), ∴b=7. y2 x2 ∴椭圆方程可设为 2+ =1,又过点(1,1),代入可得 a 49 a2= ,这与 a2>b2 矛盾,∴不符合题意. x 48y 综上可知,椭圆方程为 + =1. 49 49 (3)∵2c=8,∴c=4,当焦点在 x 轴上时,因为椭圆顶点为(6,0),∴a=6,∴b =36 -16=20, ∴椭圆方程为 + =1. 36 20 当焦点在 y 轴上时,因为顶点为(6,0),∴b=6. ∴a =36+16=52,∴椭圆方程为 + =1. 36 52 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 36 20 36 52 10.当 m 取何值时,直线 l:y=x+m 与椭圆 9x +16y =144.(1)无公共点;(2)有且仅 有一个公共点;(3)有两个公共点. [答案] (1)±5 (2)-5<m<5 [解析] 由? 2 2 2 2 2 2 2 49 48 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 (3)m<-5

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