浙江专版 高中数学第一章集合与函数概念13函数的基本性质学案新人教A版必修1(数学教案)


1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 预习课本 P27~29,思考并完成以下问题 (1)增函数、减函数的概念是什么? (2)如何表示函数的单调区间? (3)函数的单调性和单调区间有什么关系? [新知初探] 1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性 [点睛] 定义中的 x1,x2 有以下 3 个特征 (1)任意性,即“任意取 x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替 一般; (2)有大小,通常规定 x1<x2; (3)属于同一个单调区间. 2.单调性与单调区间 1 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. [点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时, 不能用“∪”连接, 而应该用 1 1 “和”连接.如函数 y= 在(-∞, 0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数 y= 在 x x (-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=x 在 R 上是增函数.( 2 ) ) (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性.( (3) 在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变 量”.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是( A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 答案:C 3.下列函数 f(x)中,满足对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)的 是( ) A.f(x)=x 2 ) 1 B.f(x)= x C.f(x)=|x| 答案:B D.f(x)=2x+1 4.函数 f(x)=-x -2x 的单调递增区间是________. 答案:(-∞,-1] 2 函数单调性的判定与证明 1 [例 1] 求证:函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数. x 1 1 x2-x1 [证明] 对于任意的 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,有 f(x1)-f(x2)= 2- 2= 2 2 = 2 2 x1 x2 x1x2 x2-x1 2 x2 1x2 x2+x1 . 2 ∵x1<x2<0, ∴x2-x1>0,x1+x2<0,x1x2>0. ∴f (x1)-f (x2)<0,即 f (x1)<f (x2). 1 ∴函数 f (x)= 2在(-∞,0)上是增函数. 2 2 x 对于任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,有 f (x1)-f(x2)= x2-x1 xx 2 2 1 2 x2+x1 . 2 2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ∴函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数. x 利用定义证明函数单调性的 4 个步骤 [活学活用] 1 1.证明函数 f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x 1? ? 证明:设 x1,x2 是区间(0,1)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=?x1+ ?- x ? 1 ? ?x2+ 1 ?=(x -x )+? 1 - 1 ?=(x -x )+x

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