高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.12.1.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修11

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程

[学习目标] 1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方 程,了解椭圆的实际背景(重点、难点). 2.会求椭圆的 标准方程并能解决有关问题(难点). 3.理解椭圆中参数 a,b,c 的意义及相互关系(重点).

[知识提炼·梳理]
1.椭圆的概念
平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦 点.两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.当|PF1|+|PF2|= |F1F2|时,轨迹是线段 F1F2,当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时不 存在轨迹.

温馨提示 根据定义判断动点的轨迹是否为椭圆,务必要考虑椭 圆定义所满足的条件:动点到两个定点 F1,F2 的距离的 和大于两个定点间的距离.

2.椭圆的标准方程

焦点所在 的坐标轴

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程 xa22+by22=1(a>b>0) ay22+xb22=1(a>b>0)

焦点坐标 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c)

a,b,c 的 关系

c2=a2-b2

[思考尝试·夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知定点 F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2| = 2的点 P 的轨迹为椭圆.( ) (2)已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2| =4 的点 P 的轨迹为椭圆.( ) (3)到定点 F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹 为椭圆.( )

(4)若点 P 到定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等 于点 M(5,3)到定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和, 则点 P 的轨迹为椭圆.( )
解析:(1) 2<2,故点 P 的轨迹不存在,不正确;(2)
因为 2a=|F1F2|=4,所以点 P 的轨迹是线段 F1F2,不正 确;(3)到定点 F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点轨迹是 线段 F1F2 的垂直平分线(y 轴),不正确;

(4)点 M(5,3)到定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离之 和为 4 10,4 10>8,点 P 的轨迹为椭圆,正确.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

2.设 P 是椭圆2x52+1y62 =1 上的点,若 F1,F2 是椭圆 的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4 B.5 C.8 D.10 解析:根据椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=2×5
=10.
答案:D

3.已知椭圆xa22+y22=1 的一个焦点为(2,0),则椭圆

的方程是( )

A.x42+y22=1

B.x32+y22=1

C.x2+y22=1

D.x62+y22=1

解析:由题意知,椭圆焦点在 x 轴上,且 c=2, 所以 a2=2+4=6, 因此椭圆方程为x62+y22=1. 答案:D

4. 已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-2 3) 且 a=2b,则椭圆的标准方程为____________________.
解析:因为 c=2 3,a2=4b2,
所以 a2-b2=3b2=c2=12,b2=4,a2=16.
又因为焦点在 y 轴上, 所以 标准方程为1y62 +x42=1. 答案:1y62 +x42=1

5.如果方程 x2+ky2=2(k 为实数)表示焦点在 y 轴上 的椭圆,那么实数 k 的取值范围是________.
解析:将方程 x2+ky2=2 整理,得x22+y22=1,根据 k
题意,得???2k>2,解得 0<k<1. ??k>0,
答案: (0,1)

类型 1 椭圆定义的应用(自主研析) [典例 1] 已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0),F1,F2 是 它的焦点,AB 是过 F1 的直线且与椭圆交于 A,B 两点, 求△ABF2 的周长.

[自主解答] A,B 都在椭圆上,由椭圆的定义知|AF1| +|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a.
又因为|AB|=|AF1|+|BF1| 所 以 △ABF2 的 周 长 |AB|+ |AF2|+ |BF2| = |AF1|+ |BF1|+|AF2|+|BF2|=4a.故△ABF2 的周长为 4a.

归纳升华 1.椭圆的定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).在解题 过程中将|PF1|+|PF2|看成一个整体,可简化运算. 2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数, 因而在解决问题时,若出现“两定点”“距离之和”这样的条 件或内容,应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.

[变式训练] 若椭圆1x020+6y42 =1 的焦点分别为 F1, F2,椭圆上一点 P 满足∠F1PF2=60°,求△F1PF2 的面积.
解:由已知得|PF1|+|PF2|=2a=20,|F1F2|=2c=12, 由 余 弦 定 理 , 知 (2c)2 = |PF1|2 + |PF2|2 - 2|PF1| · |PF2| · cos 60°,
即 144=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,

所以 |PF1|·|PF2|=2536, 所以 S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin 60°=643 3.

类型 2 求椭圆的标准方程
[典例 2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆 经过点(5,0); (2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方 程.

解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准 方程为xa22+by22=1(a>b>0).
将点(5,0)代入上式解得 a=5,又 c=4, 所以 b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 +y92=1.

(2)法一:当椭圆的焦点在 x 轴上时, 设所求椭圆的方程为xa22+by22=1(a>b>0). 因为椭圆经过两点(2,0),(0,1),
??a42+b02=1, ??a=2, 所以 ???a02+b12=1,则???b=1.

所以 所求椭圆的标准方程为x42+y2=1; 当椭圆的焦点在 y 轴上时, 设所求椭圆的方程为ay22+xb22=1(a>b>0). 因为椭圆经过两点(2,0),(0,1),
??a02+b42=1, ??a=1, 所以 ???a12+b02=1,则???b=2.

与 a>b 矛盾,故舍去. 综上可知,所求椭圆的标准方程为x42+y2=1. 法二:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠ n). 因为椭圆过(2,0)和(0,1)两点,

所以

??4m=1,

?

所以

???m=14,

??n=1,

??n=1.

综上可知,所求椭圆的标准方程为x42+y2=1.

归纳升华 待定系数法求椭圆标准方程的方法
1.正确判断焦点的位置.
2.设出标准方程后,运用待定系数法求解. (1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为xa22+by22=1(a>b>
y2 x2 0),焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0).

(2)



能确

定焦

点位

置时



设为

x2 m2

+ny22=

1(m≠n)



设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B).

[变式训练] 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过两点(2,- 2),????-1, 214????; (2)过点( 3,- 5),且与椭圆2y52 +x92=1 有相同的焦 点.
解:(1)法一:若焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程 x2 y2 为a2+b2=1(a>b>0).

??a42+b22=1,

??a12=18,

由已知条件得???a12+41b42=1,解得???b12=14 .

所以所求椭圆的标准方程为x82+y42=1.

若焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为ay22+xb22=1(a

>b>0).

??b42+a22=1,

??b12=18,

由已知条件得???b12+41a42=1,解得???a12=14.

即 a2=4,b2=8,则 a2<b2,与题设中 a>b>0 矛盾,

舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为x82+y42=1.

法二:设椭圆的一般方程为 Ax2+By2=1(A>0,B> 0,A≠B). 将两点(2,- 2),????-1, 214????代入,得?????A4A++1442BB==1, 1,
??A=18, 解得???B=14, 所以所求椭圆的标准方程为x82+y42=1.

(2)因为所求椭圆与椭圆2y52 +x92=1 的焦点相同,所以 其焦点在 y 轴上,且 c2=25-9=16,设它的标准方程为
ay22+xb22=1(a>b>0). 因为 c2=16,且 c2=a2-b2,故 a2-b2=16①
(- 5)2 ( 3)2 又点( 3,- 5)在椭圆上,所以 a2 + b2 =1,

即a52+b32=1② 由①②得 b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程 为 2y02 +x42=1.

类型 3 利用椭圆的定义求轨迹方程 [典例 3] 已知 B、C 是两个定点,|BC|=8,且△ABC 的周长等于 18.求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程. 解:以过 B、C 两点的直线为 x 轴,线段 BC 的垂直 平分线为 y 轴,建立直角坐标系 xOy.如图所示.

由|BC|=8,可知点 B(-4,0),C(4,0). 由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=10, 因此,点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆,这个椭 圆上的点与两焦点的距离之和 2a=10; 但点 A 不在 x 轴上.

由 a=5,c=4,得 b2=a2-c2=25-16=9. 所以点 A 的轨迹方程为2x52+y92=1(y≠0).

归纳升华 利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由条件找到动点所 满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定椭圆的方 程,特别注意点 A 不在 x 轴上,因此 y≠0.

[变式训练] 已知圆 B:(x+1)2+y2=16 及点 A(1, 0),C 为圆 B 上任意一点,求 AC 的垂直平分线 l 与线段 CB 的交点 P 的轨迹方程.

解:如图所示,连接 AP,因为 l 垂直平分 AC,所以 |AP|=|CP|,所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4.所以 P 点的 轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆.

因为 2a=4,2c=|AB|=2, 所以 a=2,c=1,b2=a2-c2=3. 所以点 P 的轨迹方程为x42+y32=1.

1.平面内到两定点 F1,F2的距离之和为常数,即|MF1| +|MF2|=2a.
(1)当 2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆; (2)当 2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段 F1F2; (3)当 2a<|F1F2|时,轨迹不存在.

2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法:一是 待定系数法,二是定义法.
3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点 的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可 分两种情况求解;也可设 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A ≠B)示解,避免分类讨论,达到了简化运算的目的.


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