版高中数学第一章集合1.1.2集合的表示方法学案新人教B版必修66

学 习 资 料 汇编
1.1.2 集合的表示方法
1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法.(重点) 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 1 列举法 阅读教材 P5“列举法”~P6“描述法”以上部分,完成下列问题. 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
大于 4 并且小于 10 的奇数组成的集合用列举法可表示为________. 【解析】 由题意知集合中的元素为 5,7,9,故用列举法可表示为:{5,7,9}. 【答案】 {5,7,9} 教材整理 2 描述法 阅读教材 P6“描述法”至 P7“例 1”以上部分,完成下列问题. 集合 A 可以用它的特征性质 p(x)描述为{x∈I|p(x)},它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p(x) 的所有元素构成的.这种表示集合的方法叫做特征性质描述法,简称描述法.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)集合 0∈{x|x>1}.( ) (2)集合{x|x<5,x∈N}中有 5 个元素.( ) (3)集合{(1,2)}和{x|x2-3x+2=0}表示同一个集合.( ) 【解析】 (1)×.{x|x>1}表示由大于 1 的实数组成的集合,而 0<1,所以(1)错误. (2)√.集合{x|x<5,x∈N}表示小于 5 的自然数,为 0,1,2,3,4,共 5 个,所以(2)正确. (3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2),而{x|x2-3x+2=0}中有两个元素 1 和 2,所以 (3)错误. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
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[小组合作型] 用列举法表示集合
用列举法表示下列集合: (1)36 与 60 的公约数组成的集合; (2)方程(x-4)2(x-2)=0 的根组成的集合; (3)一次函数 y=x-1 与 y=-23x+43的图象的交点组成的集合. 【精彩点拨】 (1)(2)可直接先求相应元素,然后用列举法表示.

??y=x-1, (3) 联立???y=-32x+43

→ 求方程组的解 → 写出交点坐标 → 用集合表示 .

【自主解答】 (1)36 与 60 的公约数有 1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}. (2)方程(x-4)2(x-2)=0 的根是 4,2,所求集合为{4,2}.

(3)方程组?????x2- x+y= 3y1=,4

??x=75, 的解是???y=52,

所求集合为??????75,25??????.

使用列举法表示集合时,需要注意以下几点 1.用列举法书写集合时,先应明确集合中的元素是什么.如本题(3)是点集{(x,y)},而非数 集{x,y}.集合的所有元素用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”. 2.元素不重复,元素无顺序,所以本题(2)中,{4,4,2}为错误表示. 3.对于含较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元
素间的规律表述清楚后才能用省略号. 4.适用条件:有限集或元素间存在明显规律的无限集.需要说明的是,对于有限集,由于元 素 的 无 序 性 , 如 集 合 {1,2,3,4} 与 {2,1,4,3} 表 示 同 一 集 合 , 但 对 于 具 有 一 定 规 律 的 无 限 集 {1,2,3,4,…},就不能写成{2,1,4,3,…}.
[再练一题] 1.用列举法表示下列集合: (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合; (2)方程 x2=2x 的所有实数解组成的集合;
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(3)直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合; (4)由所有正整数构成的集合. 【解】 (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10,非负是大于或等于 0 的意思,所以不大于 10 的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}. (2)方程 x2=2x 的解是 x=0 或 x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}. (3)将 x=0 代入 y=2x+1,得 y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)正整数有 1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
用描述法表示集合
用描述法表示下列集合: (1)被 3 除余数等于 1 的整数的集合; (2)比 1 大又比 10 小的实数的集合; (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合. 【精彩点拨】 先分析集合中元素的特征,再分析元素满足的条件,最后根据要求写出集合. 【自主解答】 (1){x|x=3n+1,n∈Z}. (2){x∈R|1<x<10}. (3)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且 y>0}.
利用描述法表示集合应关注五点 1.写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}. 2.所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合 要求,需将 k∈Z 也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}. 3.不能出现未被说明的字母. 4.在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程 x2 -2x+1=0 的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}. 5.在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.
[再练一题] 2.用另一种方法表示下列集合: (1){能被 3 整除且小于 10 的正数}; (2){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*}; (3){-3,-1,1,3,5}; (4){自然数中六个最小数的平方};
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(5){y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}. 【导学号:60210004】
【解】 (1){3,6,9}. (2){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. (3){x|x=2k+1,-2≤k≤2,k∈Z}. (4){0,1,4,9,16,25}. (5)∵y=-x2+6≤6,且 x∈N,y∈N, ∴x=0,1,2,y=6,5,2.∴集合为{6,5,2}.
[探究共研型] 列举法与描述法的灵活应用
探究 1 集合{x||x|<2,x∈Z}用列举法如何表示? 【提示】 {-1,0,1}. 探究 2 集合{(x,y)|y=x+1}与集合{(x,y)|y=2x+1}中的元素分别是什么?这两个集合 有公共元素吗?如果有,用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合,如果没有,请说明理由. 【提示】 集合{(x,y)|y=x+1}中的元素是直线 y=x+1 上所有的点;集合{(x,y)|y=2x

+1}中的元素是直线 y=2x+1 上所有的点,它们的公共元素是两直线的交点,由?????yy= =x2+ x+1, 1, 解

得?????xy==01,, 即它们的公共元素为(0,1),用集合可表示为{(0,1)}. 探究 3 设集合 A={x|ax2+x+1=0},集合 A 中的元素是什么? 【提示】 集合 A 中的元素是方程 ax2+x+1=0 的解. 集合 A={x|kx2-8x+16=0},若集合 A 中只有一个元素,求实数 k 的值组成的集合.

【精彩点拨】

明确集合A 的含义



对实数k加以讨论



求出实数k的值



用集合表示

【自主解答】 (1)当 k=0 时,方程 kx2-8x+16=0 变为-8x+16=0,解得 x=2,满足题意; (2)当 k≠0 时,要使集合 A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程 kx2-8x+16=0 只 有一个实数根,所以 Δ =64-64k=0,解得 k=1,此时集合 A={4},满足题意. 综上所述,k=0 或 k=1,故实数 k 的值组成的集合为{0,1}.

若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,只有这样,才能 清楚集合中的元素是什么,才能正确地解题.如例 3 中集合 A 的代表元素为 x,x 满足 kx2-8x+16 =0,则 A 中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
[再练一题]
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3.若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”,求相应问题. 【解】 集合 A 至多有一个元素,即方程 kx2-8x+16=0 只有一个实数根或无实数根.∴k= 0 或 Δ =64-64k≤0,解得 k=0 或 k≥1. 故所求 k 的值组成的集合是{k|k≥1 或 k=0}.

1.用列举法表示大于 2 且小于 5 的自然数组成的集合应为( )

A.{3,4}

B.A={2,3,4,5}

C.{2<x<5}

D.{x|2<x<5,x∈N}

【解析】 大于 2 且小于 5 的自然数为 3 和 4,所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}.

【答案】 A

2.如果 A={x|x>-1},那么( )

A.-2∈A

B.{0}∈A

C.-3∈A

D.0∈A

【解析】 A.∵-2<-1,∴A 错误.B.{0}为集合,不是元素,∴B 错误.C.∵-3<-1,∴C 错误.D.∵0>-1,∴0∈A 成立.故选 D.

【答案】 D 3.若 A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示 B=________. 【解析】 由题意知,A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},∴B={4,9,16}.

【答案】 {4,9,16} 4.设集合 A={x|x2-3x+a=0},若 4∈A,则集合 A 用列举法表示为________.

【导学号:60210005】

【解析】 ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4, ∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.

【答案】 {-1,4}

5.用适当的方法表示下列集合:

(1)方程组?????23xx- +32yy= =184, 的解集;

(2)所有的正方形; (3)抛物线 y=x2 上的所有点组成的集合.

【解】 (1)解方程组?????23xx- +32yy= =18,4, 得?????xy==4-,2, 故解集为{(4,-2)}.

(2)集合用描述法表示为{x|x 是正方形},简写为{正方形}. (3)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
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敬请批评指正
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