【红对勾】2013-2014学年高中数学 课时作业1 正弦定理 新人教A版必修5


课时作业 1
时间: 45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分)

正弦定理
分值:100 分

1.在△ABC 中,a=4,A=45°,B=60°,则边 b 的值为( A.2 6 C. 3+1 解析:由正弦定理,有 = , sinA sinB ∴b= B.2+2 3 D.2 3+1

)

a

b

asinB 4?sin60° = =2 6. sinA sin45°

答案:A sinA cosC 2.在△ABC 中,若 = ,则 C 的值为(

a

c

) B.45° D.90°

A.30° C.60°

a c sinA sinC 解析:由正弦定理 = 得 = . sinA sinC a c
又 sinA cosC = ,

a

c

∴sinC=cosC,即 tanC=1. 又 C∈(0°,180°),所以 C=45°. 答案:B 3.在△ABC 中,a:b:c=1:5:6,则 sinA:sinB:sinC 等于( A.1:5:6 C.6:1:5 B.6:5:1 D.不确定 )

解析:由正弦定理,知 sinA:sinB:sinC=a:b:c=1:5:6. 答案:A 4.在△ABC 中 ,A=45° ,AB=2,则 AC 边上的高等于( A.2 C.2 2 B. 2 D.不确定 )

解析:AC 边上的高等于 ABsinA=2sin45°= 2. 答案:B
1

5.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB 等于( 2 2 A.- 3 C.- 6 3 B. 2 2 3 6 3

)

D.

解析:根 据正弦定理 则 B<A,故 B 为锐角,

b 15 10 3 = ,可得 = ,解得 sinB= ,又因为 b<a, sinA sinB sin60° sinB 3

a

所以 cosB= 1-sin B= 答案:D

2

6 . 3

6.(2012?天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,

C=2B,则 cosC=(
A. 7 25 7 25

) 7 B.- 25 D. 24 25

C.±

b c 4 解析:由 = ,且 8b=5c,C=2B,所以 5csin2B=8csinB,所以 cosB= .所 sin B sin C 5
7 2 以 cosC=cos2B=2cos B-1= . 25 答案:A 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 1 7.在△ABC 中,若 B=60°,sinA= ,BC=2,则 AC=________. 3 解析:根据正弦定理得 AC= 答案:3 3 3 8.(2012?重庆卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= ,cosB 5 5 = ,b=3,则 c=________. 13 3 4 解析:在△ABC 中,∵cosA= >0,∴sinA= . 5 5 5 12 ∵cosB= >0,∴sinB= . 13 13 ∴sinC=sin[π -(A+B)]=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB
2

sinB ?BC=3 3. sinA

4 5 3 12 56 = ? + ? = . 5 13 5 13 65 由正弦定理知 = , sinB sinC 65 14 bsinC ∴c= = = . sinB 12 5 13 14 答案: 5 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 a+b+c= 2+1,sinA +sinB= 2sinC,则 c=________. sinA sinB a b 解析:由 sinA+sinB= 2sinC,得 + = 2.由正弦定理,得 + = 2,所以 sinC sinC c c 56 3?

b

c

a+b= 2c.所以 a+b+c= 2c+c= 2+1,所以 c=1.
答案:1 三、 解答题(共计 40 分) 10.(10 分)已知△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=c= 6+ 2,且 A =75°,求 b 的值. 解:sinA=sin75°=sin(30°+45°)= 由 a=c= 6+ 2,可知 C=75°, 1 所以 B=30°,sinB= . 2 由正弦定理得 b= 6+ 2 , 4

asinB 6+ 2 4 = ? =2. sinA 6+ 2 2

11.(15 分)在△ABC 中,若 AB= 3,B=30°,AC=1, 则 △ABC 有几个解?

ABsinB 解:∵ = ,∴sinC= = sinC sinB AC
又∵AB>AC,∴C>B,

AB

AC

1 3? 2 3 = . 1 2

∴C=60°或 120°,故△ABC 有两个解. 12.(15 分)已知在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c.a=4,A=30°,b =x(x>0),判断三角形解的情况 .

解:a=4,b=x,A=30°.
3

当 x≤4 时,由大边对大角知 B 为锐角, sinB=

xsinA 1 ≤ , a 2

此时△ABC 有一解. 当 4<x<8 时,sinB=

xsinA , a

1 ∴ <sinB<1,B 不一定为锐角, 2 ∴B 有两种结果,此时△ABC 有两解. 当 x=8 时,sinB=1,∴B=90°, 此时△ABC 有一解. 当 x>8 时, sinB=

xsinA >1,B 无解,△ABC 无解. a

综上,当 0<x≤4 或 x=8 时,△ABC 有一解; 当 4<x<8 时,△ABC 有两解; 当 x>8 时,无解.

4


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