【精选】高一数学上学期期末教学质量检查试题

福建省龙岩市非一级达标校 2018-2019 学年高一数学上学期期末教

学质量检查试题

(考试时间:120 分钟 满分 150 分) 注意:1.试卷共 4 页,另有答题卡,解答内容一律写在答题卡上,否则不得分.
2.作图请使用 2B 铅笔,并用黑色签字笔描画.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上.)、、···¨

? ? 1.已知集合 A ? x? N 0 ? x ? 5 ,集合 B ? ?1,3,5?,则CAB=

A. ?0,2,4?

B. ?2,4?

C. ?0,1,3?

D. ?2,3,4?

2. tan 225? 的值为

A. ? 2 2

B. ?1

C. 2 2

D.1

3.要在半径 OA ? 1m 的圆形金属板上截取一块扇形板,使其弧 AB 的长为 2m ,则圆心角 ?AOB 为

A.1

B. 2

4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为

C. 3

D. 4

A. y ? ex

B. y ? sin x

5.函数

f

(x)

?

? tan(

x??

) 的最小正周期是

23

A.1

B. 2

C. y ? 2x ? 2?x C. 3

D. y ? ?x3 D. 4

6.已知

sin(? ?? ) 2sin? ? 3cos(??

)

?

2 5

,则

tan?

=

A. ? 6

B. ? 2 3

C. 2 3

D. 6

7.在 ?ABC中, AC =3 , AB =4 , AD 是 BC 边上的中线,则 AD BC=

A. ?7

B. ? 7 2

C. 7 2

D. 7

1

?1, x为有理数 8.关于狄利克雷函数 D(x) ? ??0,x为无理数 ,下列叙述错误的是、、···¨

A. D(x) 的值域是{0,1}

D( x) B.

是偶函数

、、···¨

C. D(x) 是奇函数

? ? D.任意 x ? R ,都有 f ?? f x ?? ? 1、、···¨

9.已知函数

f

(x)

?

???l2oxg?3(13, ?

x), x ? 1
,则
x ?1

f

(?6) ?

f

(log2

6)

?

A. 6

B. 8

C. 9

D.10

10.已知向量 a, b ,其中 a =1, a ? 2b =4 , a ? 2b =2 ,则 b 在 a 方向上的投影为

A. ? 3 2

B. 3 2

C. ? 2

D. 2

11.设点 A(x, y) 是函数 f (x) ? sin(?x) (x ?[0,? ]) 图象上任意一点,过点 A 作 x 轴的平行

线,交其图象于另一点 B ( A, B 可重合),设线段 AB 的长为 h(x) ,则函数 h(x) 的图
象是、、···¨

A

B

C

D、、···¨

12.已知定义在 R 上的奇函数,满足 f (2 ? x) ? f (x) ? 0 ,当 x ??01, ?时,(f x)? ? log2 x ,

若函数 F(x) ? f (x) ? sin ? x ,在区间??1,m? 上有10 个零点,则 m 的取值范围是

A.?3.5, 4?

B. ?3.5, 4?

C. ?3, 4?

D.?3, 4?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应位置.)
13.已知向量 a ? ( ? 2, 3 ) , b ? ( x,1) ,若 a ? b ,则实数 x 的值是_________ 14.已知 a ? 1.010.01, b ? ln 2, c ? log2 0.5 ,则 a, b, c 从小到大的关系是_________
2

15. lg 25 ? 3lg 2 ?( 1 )?1 ? eo ? _________

2

2

16.若 f (x) ? sin x ? cos x 在?0,a?是增函数,则 a 的最大值是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 72 分.解答写在答题卡相应位置并写出文字说明,证明

过程或演算步骤.)

17.(本小题满分10分)

某同学用“五点法”画函数 f (x) ? Asin(?x ??)( ? ? 0, ? ? ? ) 在某一个周期内的图 2
象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ??
x

0

?

?

3?

2?

2

2

?

5?

3

6

Asin(?x ??)

0

4

?4

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f (x) 的解析式.

? ? (Ⅱ)若函数 f (x) 的值域为 A ,集合 C ? x m ?1? x ? m ? 3 且 A C ? A ,求实
数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)

已知 sin ? ? 4 3 ,? ? ( ? , ? ) .

7

2

(Ⅰ)求 sin2 ? 的值; 2

(Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ? 3 3 , ? ?( 0, ? ) ,求 ? 的值.

14

2

3

19.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 3ax2 ?4x?3 (Ⅰ)当 a ?1时,求函数 f (x) 的值域; (Ⅱ)若 f (x) 有最大值 81,求实数 a 的值.
20.(本小题满分12分)
若 a ? (2sin x, cos 2x),b ? (cos x, ? 3) ,且 f (x) ? a b , (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式及其对称中心. (Ⅱ)函数 y ? g(x) 的图象是先将函数 y ? f (x) 的图象向左平移 ? 个单位,再将所得
4 图象横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变得到的. 求函数 y ? g(x) , x ?[0,? ] 的单调增
区间.、、···¨
21.(本小题满分 12 分)
已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f (x) , 对 任 意 两 个 正 数 x1, x2 , 且 x1 ? x2 都 有 x1 f( x1)? x2 f( x2?) ,0 且 f (2) ? 0 .
4

(Ⅰ)判断函数 g(x) ? xf (x) 的奇偶性;

(Ⅱ)若 h(x) ?

2a sin(2x

?

? 3

)

?1?

a,

x

?

? 7? ?? 24

,

? 2

? ??

,是否存在正实数

a

,使得

g( h( x))? 0恒成立?若存在求 a 的取值范围,若不存在请说明理由.

22.(本小题满分 12 分)

某投资人欲将 5 百万元资金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财

产品的收益与投入资金

t

的关系式分别为

y1

?

1 10

t,

y2

?a 10

0 ? a ? 5 .设对乙种产品投入资金 x 百万元.、、···¨

t ,其中 a 为常数且

(Ⅰ)当 a ? 2 时,如何进行投资才能使得总收益 y 最大;(总收益 y ? y1 ? y2 )

(Ⅱ)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人资金如何分配,要使得总收益

不低于 0.45 百万元,求 a 的取值范围.、、···¨

5

龙岩市非一级达标校 2018~2019 学年第一学期期末高一教学质量检查

数学试题参考答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 A

D

B

C

B

D

B

C

C

A

D

A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 3 2

14. c ? b ? a

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

15. 1

16. ? 4

17.(本小题满分10分)

解:(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 4 ,? ? 2 ,? ? ? ? 6
函数表达式为 f (x) ? 4sin(2x ? ? ) . 6
补全数据如下表:

?x ??

0

?

?

2

x

?

?

7?

12

3

12

……………3 分

3?

2?

2

5?

13?

6

12

Asin(?x ??)

0

4

0

?4

0

……………5 分

(Ⅱ)∵ f (x) ? 4sin(2x ? ? ) ?[?4, 4] ? A ? [?4, 4] , 6

……………6 分

又 A C ? A ,?C ? A

……………7 分

?m ?1 ? ?4 依题意 ??m ? 3 ? 4 ? ?3 ? m ? 1

……………9 分

?实数 m 的取值范围是[?3,1]

……………10 分

18.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)因为 sin ? ? 4 3 ,? ? ( ? , ? ) ,所以 cos? ? ? 1? sin2 ? ? ? 1 .…2 分

7

2

7

从而 sin2 ? ? 1? cos? ? 1 ?[1? (? 1)] ? 4 .

2

2

2

77

……………5 分

6

(Ⅱ)因为? ? ( ? , ? ) , ? ?( 0, ? ) ,所以? ? ? ? ( ? , 3? ) ,……………6 分

2

2

22

所以 cos(? ? ? ) ? ? 1? sin2 (? ? ? ) ? ? 13 . 14

……………8 分

?sin ? ? sin[(? ? ? ) ??] ? sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? )sin?

? 3 3 ? (? 1 ) ? (? 13 ) ? 4 3 ? 3 . 14 7 14 7 2

又 ? ?( 0, ? ) ,? ? ? ? .

2

3

19.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)当 a ?1时, f (x) ? 3x2?4x?3 ,

……………10 分 ……………12 分 ……………1 分

f (t) ? 3t 在 R 上单调递增,且 x2 ? 4x ? 3 ? (x ? 2)2 ?1 ? ?1 ……………3 分

? 3x2 ?4x?3 ? 3?1 ? 1 3
?函数 f (x) 的值域为[ 1 , ? ? ) 3


……………5

(Ⅱ)令 t ? ax2 ? 4x ? 3

当 a ? 0 时, t 无最大值,不合题意;



当 a ? 0 时,? t ? ax2 ? 4x ? 3 ? a(x ? 2)2 ? 4 ? 3 aa

?t ?3? 4 , a



f

(t) ? 3t 在 R 上单调递增,?

f

(x) ? 3t

3? 4
?3 a

? 81 ? 34

?3? 4 ? 4, a
? a ? ?4

20.(本小题满分 12 分)

……………6 ……………7 分 ……………8 分、、···¨
……………11 分、、···¨ ……………12 分

解:(Ⅰ)依题意有

7

f (x) ? a b ? (2sin x, cos 2x) (cos x, ? 3)

? 2sin x cos x ? 3 cos 2x

? sin 2x ? 3 cos 2x

? 2sin(2x ? ? )

4分

3

令 2x ? ? ? k? ,则 x ? ? ? k?

3

62

?函数 y ? f (x) 的对称中心为 (? ? k? , 0)(k ? Z ) ……………6 分 62

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,

f

?

x?

?

2sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

.

? g ? x?

?

f

?1 ?? 2

x?? 4

? ??

?

2sin[2( 1 2

x??)??]? 43

2sin

? ??

x

?

? 6

? ??

,……………9



由 ? ? +2k? ? x ? ? ? ? ? 2k? ?k ? Z ? ,

2

62

即 ? 2? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ?k ? Z ? ,又 x ?[0,? ]

3

3

∴ g ? x? 的单调增区间为[ 0, ? ] .……………12 分
3

21. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ) f (x) 为奇函数, ? f (?x) ? ? f (x)

又 g(?x) ? ?xf (?x) ? ?x [? f (x)] ? xf (x) ? g(x) ,?g(x) 为偶函数………4

(Ⅱ)依题意有 g(x) 在 (0, ??) 上单调递增,

又 g(x) 为偶函数,?g(x) 在 (??, 0) 上单调递减,……………5 分

又 f (0) ? f (?2) ? f (2) ? 0 ,所以 g(0) ? g(?2) ? g(2) ? 0 ,

要使得 g(x) ? 0 ,则 x ??( 20,) 0(2,)?

,由 gh( (x) 0 ? 得 h(x) ?(?2,0) ? (0, 2)

x ?[7? , ? ] ,?2x ? ? ?[? , 2? ] ,?sin(2x ? ? ) ?[ 2 ,1] ……………9 分

24 2

3 43

32

a ? 0 ,1 ? h(x) ? 2a ? a ?1 ,又 h(x) ?(?2,0) ? (0, 2) ,

?1 ? 2a ? a ?1 ? 2 即 0 ? a ? 2 ?1
8

?存在 0 ? a ? 2 ?1使得 g(h(x)) ? 0 恒成立. ……………12 分
22. (本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)设对乙种产品投入资金 x 百万元,则对甲种产品投入资金(5 ? x)百万元



a

?

2

时,

y

?

y1

?

y2

?

1 10

??5

?

x?

?

x 10

?

2

?

?x

?

2 10

x

?

5

?0

?

x

?

5?

……2



令t ?

x ,则 0 ? t ?

5



y

?

?t 2

? 2t 10

?

5

,其图象的对称轴 t

? 1? ??0,

5 ??

?当 t ? 1时,总收益 y 有最大值,此时 x ? 1,5 ? x ? 4 . 即甲种产品投资 4 百万元,乙种产品投资1百万元时,总收益最大……………5 分

(Ⅱ)由题意知 y ? a x ? 5 ? x ? ?x ? a x ? 5 ? 9 对任意 x ??0,5? 恒成立,

10 10

10

20

即 ?2x ? 2a x ?1 ? 0 对任意 x ??0,5? 恒成立,

令 g ? x? ? ?2x ? 2a x ?1,

设 t ? x ,则 t ? ??0, 5 ??
则 g ?t ? ? ?2t2 ? 2at ?1,其图象的对称轴为 t ? a ,……………7 分
2

①当 0 ? a ? 5 ,即 0 ? a ? 22

5

时,

g

?t

?



???0,

a 2

? ??

单调递增,在

? ??

a 2

,

5

? ??

单调

递减,

? ? 且

g ?0? ? g(

5)

, ?g ?t? ? g min

5 ? 2 5a ? 9 ? 0 , 得 a ? 9 5 , 又 10

0?a? 5

?9 5 ?a? 5 10

②当 5 ? a ? 22

5 ,即

5?a?2

5

时,

g

?t

?



???0,

a 2

? ??

单调递增,在

? ??

a 2

,

5

? ??



调递减

9

,且 g ?0? ? g(

5) ,可得 g ?t? ? g ?0? ?1? 0 ,符合题意 min

? 5?a?2 5

③当 a ? 2

5 ,即 2 5 ? a ? 5 时,易知 g ?t? ? ?2t2 ? 2at ?1在 ??0,

5 ?? 单调递



可得

g

?t? min

?

g

?0?

?1?

0

恒成立,? 2

5 ?a?5

综上可得 9 5 ? a ? 5 . 10

∴实数 a 的取值范围是[9 5 , 5] .……………12 分 10

10


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