2.2.1(换底公式及对数运算的应用)第三课时_图文

2.2.1 第三课时

对数与对数运算 换底公式及对数运算的应用

问题提出
1.对数运算有哪三条基本性质? (1)log a M ? log a N ? log a ( M ? N ) M log a M ? log a N ? log a (2 ) N n (3 ) log a M ? n log a M 2.对数运算有哪三个常用结论? (1)log a a ? 1; (2) log a 1 ? 0 ; log a N (3 ) a ? N.
.

3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算,可以进行乘、除运算吗?

18 18 4.由 1.01 ? 得 x ? log1.01 ,但这只 13 13 是一种表示,如何求得x的值?
x

知识探究(一):对数的换底公式

log 2 5 ? x log 2 3 ? log 2 3 ,从而有 3x ? 5 .
x

log 2 5 ? x ,则 思考1:假设 log 2 3

进一步可得到什么结论?

x ? log 3 5

log 2 5 ? ? log 3 5 log 2 3

思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗?

lg 3 log 2 3 ? lg 2

思考3:一般地,如果a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;b>0,那么 与哪个 对数相等?如何证明这个结论?
log c b 思考4:我们把 log a b ? log c a
log c b log c a

(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 叫做对数换底公式,该公式有什么特征?

思考5:通过查表可得任何一个正数的常用

18 对数,利用换底公式如何求 log1.01 的值? 13

18 lg 18 lg18 ? lg13 13 log1.01 ? ? 13 lg1.01 lg1.01 1.255 ? 1.1139 ? ? 32.8837 0.0043 ? 33

知识探究(二):换底公式的变式

两个重要的推论:

m (2). log a n b ? log a b n
m

(1).log a b ? logb a ? 1

例1 计算: (1) log 9 27; (2) ; (3)(log23+log49+log827+?+

log 8 9 ? log 27 32
n

log 2n 3

) ? (log9

n

32

)

[解题过程] (1)方法一(换成以 10 为底): 3 lg 27 lg 3 3lg3 3 log927= = = . 2= lg 9 lg 3 2lg3 2 3 log327 log33 方法二(换成以 3 为底): log927= = 2 log39 log33 3log33 3 = = . 2log33 2 m m 方法三(利用 loganb )= n (logab): 3 3 3 log927=log323 = log33= . 2 2

lg 9 lg 32 lg 3 lg 2 (2)log89· log2732 = · = 3 · 3 = lg 8 lg 27 lg 2 lg 3 2lg 3 5lg 2 10 · = . 3lg 2 3lg 3 9 ? ? 2log 3 3log 3 n log 3 2 2 2 ? ? (3) 原式= ?log23+2log 2+3log 2+?+nlog 2? ? 2 2 2 ? n ×log9 32 n =(log23+log23+log23+?+log23)×log9 32 5 1 5 =n×log23× × log32= . n 2 2

2

5

2.计算 log225· log32 2· log59 的结果为( A . 3 B . 4 2.计算 log225· log32 2· log59 的结果为( ) C . D A .5 3 B. 4.6
C.5 D.6

)

解 析 :

lg 25 lg 2 2 lg 9 原 式 = · · = lg 2 lg 3 lg 5

3 lg 2 2lg 5 2 2lg 3 · · =6. lg 2 lg 3 lg 5
答案: D

lg 9 lg 32 lg 32 lg 25 (2)log89· log2732 = · = 3 · 3 = lg 8 lg 27 lg 2 lg 3 2lg 3 5lg 2 10 · = . 3lg 2 3lg 3 9 ? ? 2log 3 3log 3 n log 3 2 2 2 ? log 3 + + + ? + (3) 原式= ? ? 2 2log22 3log22 nlog22? ? ? n ×log9 32 n =(log23+log23+log23+?+log23)×log9 32 5 1 5 =n×log23×n× log32= . 2 2

[题后感悟] (1)应用换底公式时,究竟换成以 什么为底? ①一般全都换成以 10 为底的对数.如(1)的方 法一与(2)的解法. ②根据情况找一个底数或真数的因子作为 底.如(1)的方法二与(3). (2)直接利用换底公式的下面几个推论, 加快解 题速度. 1 m m n logab= ,loganb = n logab,loganb =logab. logba

练习:

p68第4题
? P75习题B组第11题

例2.已知

log 2 3 ? a, log 3 7 ? b

用a, b 表示

log 42 56

练习:

1.若 log 3 4 ? log 4 8 ? log 8 m ? log 4 2 ,求m 2.若log
8

3=p,

log

3

5=q ,

用p,q表示 lg 5

例3 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常 说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA- lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是 “标准地震”的振幅(使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20, 此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地 震的震级(精确到0.1);

解: (1) M ? lg 20 ? lg 0.001
20 ? lg 0.001 ? lg 20000 ? lg 2 ? lg10 ? 4.3.
4

因此,这是一次约为里氏4.3 级的地震.

例3 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准 地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差). (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍(精确到1).

解:(2)

由M ? lg A ? lg A0可得
A A M ? lg ? ? 10 M ? A ? A0 ?10 M . A0 A0

当M=7.6时,地震的最大振幅为 A1 ? A0 ?10

7.6

当M=5时,地震的最大振幅为 A2 ? A0 ?10
所以,两次地震的最大振幅之比是
A1 A0 ?10 7.6 ?5 2.5 ? ? 10 ? 10 ? 398. 5 A2 A0 ?10
7.6

5

答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地 震的最大振幅的398倍.

例4 生物机体内碳 14的“半衰期”为 5730年,湖南长沙 马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量 约占原始含量的 76.7%,试推算马 王堆古墓的年代.

解:设生物体死亡时,体内每克组织的 碳14的含量为1, 1年后的残留量为x, t年后含量为P=xt, 又由题意得:1/2=x5730,
1 1 ? x ? 5730 ? ( ) 2 2
1 5730

1 , ?P ? ( ) 2
5730

t 5730

,

写成对数式为t ? log

1 2

P

当P=0.767时,

t ? log
5730

1 2

0.767

用计算器计算得

t ? 2193

所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址.


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