高中数学人教版A版必修一课件:第一章 《集合与函数概念》 1.3.1 第1课时 函数的单调性

§1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函 数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间,判断单调性

(重点).

预习教材 P27-P28,完成下面问题: 知识点 1 增函数与减函数

设函数f?x?的定义域为I, D?I,对任意x1,x2∈D

【预习评价】

(正确的打“√”,错误的打“×”)

1 (1) 已知 f(x) = x ,因为 f( - 1)<f(2) ,所以函数 f(x) 是增函 数.( )

(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值 x1, x2”可以改 为“存在两个自变量的值 x1,x2”.( )

(3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数 f(x) 在区间(1,3)上为增函数.( )

提示

(1)×

由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增

函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大,函数 值也越大,而不是个别的自变量. (2)× (3)× 不能改为“存在两个自变量的值 x1、x2”.
? ?x,x∈?1,2], 反例:f(x)=? ? ?x-4,x∈?2,3?.

知识点2 函数的单调区间 增函数或减函数 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上是 _____________________ ,那 (严格的)单调性 么就说函数 y = f(x) 在这一区间具有 __________________ , 区间D叫做y=f(x)的单调区间.

【预习评价】 (1)函数f(x)=x2+2x-3的单调减区间是________. (2)函数y=|x|在区间[-2,-1]上( )

A.递减
C.先减后增 解析

B.递增
D.先增后减

(1)二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-1,

故其单调减区间是(-∞,-1). (2)函数y=|x|的单减区间是(-∞,0),又[-2,-1]? (-∞,0),所以函数y=|x|在区间[-2,-1]上递减. 答案 (1)(-∞,-1) (2)A

题型一 求函数的单调区间
【例 1】 (1) 如图所示的是定义在区间 [ - 5,5] 上的函数 y = f(x)

的图象,则函数的单调递减区间是 ________ 、 ________ , 在区间________、________上是增函数. (2) 画出函数 y =- x2 + 2|x| + 1 的 图 象 并

写 出 函 数的 单 调 区
间.

(1)解析 观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2],

[ -2,1] ,[1,3] ,[3,5] .其中y =f(x) 在区间[ -5 ,-2] ,[1,3]上
是增函数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数. 答案 [-2,1] [3,5] [-5,-2] [1,3]

(2)解

2 ? - x +2x+1,x≥0, ? y=? 2 ? ?-x -2x+1,x<0,



2 ? ?-?x-1? +2,x≥0, y=? 2 ? - ? x + 1 ? +2,x<0. ?

函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1] , 单调减区间为[ -1,0] ,[1,+∞).

规律方法

根据函数的图象求函数单调区间的方法

(1)作出函数图象;
(2)把函数图象向x轴作正投影; (3)图象上升对应增区间,图象下降对应减区间.

1 【训练 1】 函数 y= 的单调减区间是________. x-1
解析 1 1 y= 的图象可由函数 y= x x-1

的图象向右平移一个单位得到,如图 所示,其单调递减区间是(-∞,1)和 (1,+∞).
答案 (-∞,1),(1,+∞)

题型二 证明函数的单调性
4 【例 2】 证明函数 f(x)=x+x 在区间(2,+∞)上是增函数. 证明 任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2,

4?x2-x1? 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1+x -x2-x =(x1-x2)+ x x 1 2 1 2 x1x2-4 =(x1-x2) x x .
1 2

因为 2<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 4 所以函数 f(x)=x+x 在(2,+∞)上是增函数.

规律方法

利用定义证明函数单调性的步骤

【训练 2】

1 证明函数 f(x)=x2在(-∞,0)上是增函数.

证明

设 x1,x2 是区间(-∞,0)上任意两个实数,且 x1<x2,

2 2 1 1 x2-x1 ?x2-x1??x2+x1? 则 f(x1)-f(x2)=x2-x2= x2x2 = . 2 2 x x 1 2 1 2 1 2 2 因为 x1<x2<0,所以 x2-x1>0,x1+x2<0,x2 x 1 2>0,

所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 1 所以函数 f(x)=x2在(-∞,0)上是增函数.

题型三 用单调性解不等式
【例3】 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),求实数a的取值范围.
?-1<1-a<1, ? 由题知?-1<2a-1<1, ?1-a>2a-1, ? 2 解得 0<a<3, 即所求 a 的取值



? 2? 范围是?0,3?. ? ?

规律方法

利用函数的单调性解不等式的方法

当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数
单调性的定义和性质,将符号 “ f” 脱掉,列出关于未知量 的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.

【训练 3】 已知函数 f(x)为定义在区间[ -1,1] 上的增函数,则 满足
?1? f(x)<f?2?的实数 ? ?

x 的取值范围是________.

? ?-1≤x≤1, 1 ? 解析 由题意得 1 解得-1≤x<2. x< , ? ? 2
答案
? 1? ?-1, ? 2? ?

互动 探究

题型四

根据函数的单调性求参数的取值范围

【探究1】

若函数y=ax+5是(-∞,+∞)上的减函数,则实

数a的取值范围是________. 答案 (-∞,0) 【探究2】 已知函数y=x2+2ax+3在区间(-∞,1]上是减函 数,则实数a的取值范围是________. 解析 函数y=x2+2ax+3的图象开口向上,对称轴为x= -a,要使其在区间(-∞,1]上是减函数,则-a≥1,即a≤ -1.

答案 (-∞,-1]

【探究 3】 分别作出函数
? ?-2x+5,x≤1, ? ? ?-2x+7,x>1

? ?-2x+5,x≤1, f(x)=? ? ?-2x+3,x>1

和 g(x)=

的图象,并根据其图象的变化趋势判断

它们在(-∞,+∞)上的单调性.

解 函数f(x)的图象如图(1)所示,由其图象可知f(x)在(-∞, +∞)上是减函数; 函数g(x)的图象如图(2)所示,由其图象可知 g(x)在(-∞,+∞)

上既不是增函数,也不是减函数.

【探究 4】 已知函数

? ?-2x+5,x≤1, f(x)=? ? ?-2x+a,x>1

是减函数,求

实数 a 的取值范围.



由题意得,要使 f(x) 是减函数,需 - 2×1 + 5≥ - 2×1

+a,即a≤5.

【探究 5】 若函数

2 ? ?x +2ax+3,x≤1, f(x)=? ? ?ax+1,x>1

是减函数,求

实数 a 的取值范围.
解 -a≥1, ? ? 由题意可得?a<0, ? ?12+2a×1+3≥a×1+1, 解得

-3≤a≤-1, 则实数 a 的取值范围是[-3,-1].

规律方法

已知函数的单调性求参数的关注点

(1)视参数为已知数,依据基本初等函数的单调性、函数的 图象或函数的单调性的定义,确定函数的单调区间,与已 知的单调区间比较求参数;

(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意
衔接点的函数值的大小关系.

课堂达标
1.下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是( A.y=2x+1 B.y=x2+1 )

C.y=3-x
答案 C

D.y=x2+2x+1

解析 函数y=3-x在区间(0,+∞)上是减函数.

2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调减区间是( A.(-∞,1) B.(1,+∞)

)

C.(-∞,2)
解析

D.(2,+∞)

易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函

数,其对称轴为x=1,所以其单调减区间是(1,+∞). 答案 B

3.若f(x)=(2k-3)x+2是R上的增函数,则实数k的取值范围是 ________.
解析 3 由题意得 2k - 3>0 , 即 k> 2 , 故 k 的取值范围是

?3 ? ? ,+∞?. ?2 ?

答案

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?

4.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a-1)>f(2a),则a的取值范

围是________.
解析 由条件可知a-1<2a,解得a>-1. 答案 (-1,+∞)

5.证明f(x)=x2+x在(0,+∞)上是增函数.
证明
2 设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=x2 + x - x 1 1 2-x2

=(x1-x2)(x1+x2)+(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+1), 因为 x1>x2>0 ,所以 x1 -x2>0,x1 +x2 +1>0 ,所以 f(x1) - f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)=x2+x 在(0,+∞)上是增函数.

课堂小结
1.对函数单调性的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义

域的不同的区间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义 中的 x1 , x2 有以下几个特征:一是任意性,即任意取 x1 , x2 ,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意 以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1<x2;三是属

于同一个单调区间.

(3) 单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关 系正逆互推,即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2).

(4) 并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上
既有增区间又有减区间,则此函数在这个区间上不存在单调 性.

2.单调性的证明方法 证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤: (1)设元:设x1,x2∈D且x1<x2;

(2)作差:将函数值f(x1)与f(x2)作差;
(3)变形:将上述差式(因式分解、配方等)变形; (4)判号:对上述变形的结果的正、负加以判断; (5)定论:对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点,变形 一定要到位,即变形到能简单明了的判断符号的形式为 止,切忌变形不到位就定号.


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