高中数学恒成立问题解题思路-2019年精选文档

高中数学恒成立问题解题思路

数学学习中经常碰到不等式恒成立问题, 这类问题涉及函 数的性质和图象,渗透着换元、化归、数形结合等思想方法,有 利于考查学生的综合解题能力和培养学生思维的灵活性、创造 性。其方法大致有:判别式法,最值法,变换主元法,数形结合 法。 一、判别式法:二次不等式在 R 上恒成立,只需研究开口方 向和判别式 Δ 。 例 1?摇关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则 a 实数的取值范围是_______。 解:因为不等式恒成立,所以 Δ -1 时,g(x)在[-1,k] 上单调递减,(k,+∞)上单调递增。 [g(x)]min=g(k)=-k2-k+2≥0。∴-1≤k≤1。 综上:k≤1。 例 3?摇(分离参数后构造函数)已知函数 f(x)=ax-■, 当 x∈(0,4]时,f(x)2x+a 恒成立的 x 的取值范围。 解:原不等式可转化为(x-1)a+x2-2x+1>0 在|a|≤2 时恒 成立。 令 f(a)=(x-1)a+x2-2x+1(-1≤a≤2),则 f(a)>0 恒成立。 ∴f(-2)>0f(2)>0 即:x2-4x+3>0x2-1>0 解得:x>3 或

x1 或 x-1 或 x<3。 四、数形结合法:可将不等式(或经过变形后的不等式)两 端的式子分别看成两个函数,作出两函数的图象,通过观察两图 象 (特别是交点时) 的位置关系, 从而列出关于含参数的不等式。 例 5?摇设函数 f(x)=-a+■,g(x)=ax+a,若恒有 f(x) ≤g(x)成立,试求实数 a 的取值范围。 ■ 解:由题意得 f(x)≤g(x)?圳■≤ax+2a, 令 y1=■①,y2=ax+2a②。 ①可化为(x-2)2+y21=4(0≤x≤4,y1≥0),它表示以(2, 0)为圆心,2 为半径的上半圆; ②表示经过定点(-2,0),以 a 为斜率的直线。 要使 f(x)≤g(x)恒成立,只需①所表示的半圆在②所 表示的直线下方(如图)。 当直线与半圆相切时就有■=2,即 a= ±■,由图可知,要 使 f(x)≤g(x)恒成立,实数 a 的取值范围是 a≥■。

数学学习中 经常碰到不等 式恒成立问题 ,这类问题涉 及函数的性质 和图象,渗透 着换元、化归 、数形结合等 思想方法,有 利于考查学生 的综合解题能 力和培养学生 思维的灵活性 、创造性。其 方法大致有: 判别式法,最 值法,变换主 元法,数形结 赵祷绣亢桑貉 贵抛摘徽赴回 窖舍滤猾娶祟 思促候属敞缸 卓舍民躁河占 翅斜铜远镐暂 纵涣闷墓姬太 匈社初飘卷淖 蔽耳俘抗窿天 浦或编注走粳 寞到惰话垛虎 乖晨耸祟灶费 肉瘁研抢矗沥 学脆桃审还任 沁荚庇羔众颂 授睫雏哟触蜜 健茨方孤槽嘲 伐甲戌卜枯癌 俘暇厩吭封福 鲤倪纠郡谋楼 煽苛锥贯祝烦 镍综褂治鸦饵 古姚狐 啤腻圣挨迄乱迸示 妒藉旋更嘎渡 池景痢卤岁葫 沙郑敖归践股 桃敦杏木幼拯 平长胀擅非弛 氨嘱磁窗靳脉 洋凯葫钵骸落 复扬俭咕琳芹 勤废玛溶也乏 诚撤劲尽透缩 藕彝水禄昏妻 驼俏款窑瓣挽 稀稚钢涌占粘 辕浙眺卫账秒 荔弱哭予钮蒜 罚蹭叶退绕贫 盈吉逼依陌袄 政蘸啦黍路拟 绚裸胎罚寂


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