2018北师大版(理)数学练习:第3章 第4节 函数y=asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用含解析

第四节 函数 y=Asinωx+φ 的图像及三角函数模型的简单应用 [考纲传真] 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义; 能画出 y=Asin(ωx +φ)的图像,了解参数 A,ω,φ 对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述 周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 1.y=Asin (ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0,x≥0) 振幅 A 周期 T= 2π ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ 2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如 下表所示 x φ - ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3 π-φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0 ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 3.由 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图像 先平移后伸缩 ? 先伸缩后平移 ? 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移 的单位长度一致.( ) π (2)将 y=3sin 2x 的图像左移 个单位后所得图像的解析式是 y= 4 π? ? 3sin?2x+4?.( ? ? ) (3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周 期.( ) (4)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图像的两个相邻对称 T 中心之间的距离为 .( 2 [答案] (1)× ) (2)× (3)× (4)√ π? ? 2. (2016· 四川高考)为了得到函数 y=sin?x+3?的图像, 只需把函数 y=sin ? ? x 的图像上所有的点( ) π A.向左平行移动 个单位长度 3 π B.向右平行移动 个单位长度 3 π C.向上平行移动 个单位长度 3 π D.向下平行移动 个单位长度 3 A π [把函数 y=sin x 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度就得到函 3 π? ? 数 y=sin?x+3?的图像.] ? ? 3.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图 341,则 ω=( 【导学号:57962155】 ) 图 341 A.5 B B.4 C.3 D.2 T π π π 2π [由图像可知, =x0+ -x0= ,所以 T= = ,所以 ω=4.] 2 4 4 2 ω π 4.将函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函 8 数的图像,则 φ 的一个可能取值为( ) 【导学号:57962156】 A. B 3π 4 π B. 4 C.0 D.- π 4 π [把函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移 个单位后得到函数的解 8 φ π? π? ? ? 析式为:y=sin 2?x+ 2 +8?=sin?2x+φ+4?.又因它为偶函数,则 φ 的一个可 ? ? ? ? π 能取值是 .] 4 5.(教材改编)电流 I(单位:A)随时间 t(单位:s)变化的函数关系式是 I= π? ? 5sin?100πt+3?,t∈[0,+∞),则电流 I 变化的初相、周期分别是________. ? ? π 1 , 3 50 2π 1 π [由初相和周期的定义, 得电流 I 变化的初相是 , 周期 T= = .] 3 100π 50 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及变换 π? ?1 已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2 (1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像? [解] (1)列表取值: x 1 π x- 2 4 f(x) π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0 5分 描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图. π (2)先把 y=sin x 的图像向右平移 个单位,然后把所有点的横坐标扩大为 4 原来的 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图像. 分 12 [规律方法] 1.变换法作图像的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸 φ? ? 缩后平移,对于后者可利用 ωx+φ=ω?x+ω?确定平移单位. ? ? π 2.用“五点法”作图,关键是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, , 2 3 π, π,2π 来求出相应的 x,通过列表,描点得出图像.如果在限定的区间内作 2 图像,还应注意端点的确定. [变式训练 1] π? ? (1)(2016· 全国卷Ⅰ)将函数 y=2sin?2x+6?的图像向右平移 ? ? ) 1 个周期后,所得图像对应的函数为( 4 【导学号:57962157】 π? ? A.y=2sin?2x+4? ? ? π? ? C.y=2sin?2x-4? ? ? π? ? B.y=2sin?2x+3? ? ? π? ? D.y=2sin?2x-3? ? ? (2)(2016· 全国卷Ⅲ)函数 y=sin x- 3cos x 的图像可由函数 y=sin x+ 3 cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到. (1)D (2) π? π? 2π ? ? [(1)函数 y=2sin?2x+6?的周期为 π, 将函数 y=2sin?2x+6? 3 ? ? ? ? 1 π 的图像向右平移 个周期即 个单位长度,所得图像对应的函数为 y= 4 4 π? π? π? ? ? ? 2sin?2?x-4?+ ?=2sin?2x-3?,故选 D. ? 6? ? ? ? ? π? ? (2)因为 y=sin x+

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