2017-2018学年高中数学人教A版必修四课件:第一章 第2节 第1课时 三角函数的定义

第1课时 三角函数的定义 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P11~ P15 的内容,回答下列 问题. 如图,设锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的 非负半轴重合,那么它的终边在第一象限.在 α 的终边上 任取一点 P(a, b),它与原点的距离 r= a2+ b2>0.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则线段 OM 的长度为 a,线段 MP 的长度为 b. (1)根据初中学过的三角函数定义,你能表示出 sin α , cos α , tan α 的值吗? MP b OM a MP b 提示:sin_α= = ,cos_α= = ,tan_α= = . OP r OP r OM a (2)根据相似三角形的知识,对于确定的角 α,请问 (1)的结 果会随点 P 在 α 终边上的位置的改变而改变吗? 提示:不会随 P 点在终边上的位置的改变而改变. (3)若将点 P 取在使线段 OP 的长 r= 1 的特殊位置上,如图 所示,则 sin α , cos α , tan α 各为何值? b 提示:sin_α=b,cos_α=a,tan_α= . a (4)以上 3 个问题中的角 α 为锐角, 若 α 是一个任意角, 上述结论还成立吗? 提示:上述结论仍然成立. (5)一般地,设角 α 终边上任意一点的坐标为 (x,y),它 与原点的距离为 r,则 sin α ,cos α ,tan α 为何值? y x y 提示: sin_α= ,cos_α= ,tan_α= . r r x 2.归纳总结,核心必记 (1)任意角的三角函数的定义 续表 (2)三角函数的定义域 三角函 数 sin α cos α tan α 定义域 R R π {α |α ≠ +kπ ,k∈Z} 2 (3)三角函数值的符号 规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (4)公式一 ①终边相同的角的同一三角函数的值 相等 . ②公式: sin(α+ k· 2π )= cos(α+ k· 2π )= cos α , tan(α+ k· 2π )= tan α ,其中 k∈ Z. sin α , [问题思考] (1)三角函数值的大小与点 P 在终边的位置是否有关? 提示:三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大 小与点 P(x,y)在终边上的位置无关,只与角 α 的终边位置 有关,即三角函数值的大小只与角有关. (2)若角 α 与 β 的终边相同,根据三角函数的定义,你认 为 sin α 与 sin β ,cos α 与 cos β ,tan α 与 tan β 之间 有什么关系? 提示:sin_α=sin_β,cos_α=cos_β,tan_α=tan_β. (3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点 P 的坐标有 怎样的关系? y x 提示:由三角函数的定义知 sin_α=r ,cos_α= r ,tan_α y =x,三角函数在各象限的符号由角 α 终边上的任一点 P 的横坐 标、纵坐标的正负确定. (4)对于角 α, 若 sin α <0, cos α >0, 则 α 为第几象限角? 提示:第四象限角. [课前反思] (1)任意角的三角函数的定义: (2)三角函数的定义域: (3)三角函数值的符号: (4)公式一的内容: ; ; ; . [思考 1] 任意角 α 的正弦值 sin α 、余弦值 cos α , 正切值 tan α 都有意义吗? 名师指津:当 α 的终边在 y 轴上时,tan_α不存在. [思考 2] 若 α 的终边与单位圆交于点(x0,y0),且 x0 ≠0,则如何求 sin α ,cos α ,tan α 的值? y0 名师指津:sin_α=y0,cos_α=x0,tan_α= . x0 [思考 3] 若已知 α 终边上一点 P(x0,y0),且 x0≠0,如 y0 sin_α= ,cos_α r 何求 sin α ,cos α ,tan α 的值? 名师指津:先求 r= x0 y0 = ,tan_α= . r x0 [思考 4] 若已知 α 终边所在的直线方程为 y=kx,则如 何求 sin α ,cos α ,tan α 的值? 名师指津:可在直线 y=kx 上任取一点(x0,y0),x0≠0,然 后利用 sin_α= y0 x0 y0 , cos_ α = , tan_ α = 求解. 2 2 2 2 x x0+y0 x0+y0 0 2 x2 0+y0,然后求 讲一讲 1.(1)若角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α = ________,cos α =________,tan α =________. (2)已知角 α 的终边落在直线 3x+y=0 上, 求 sin α , cos α ,tan α 的值. [尝试解答] 2 2 (1)∵x = 5 , y = - 12 , ∴ r = y 12 5 +(-12) =13,则 sin α= r=- , 13 x 5 y 12 cos α= r = ,tan α=x=- . 13 5 (2)直线 3x+y=0,即 y=- 3x,经过第二、四象限,在 第二象限取直线上的点(-1, 3),则 r= (-1)2+( 3)2= 3 1 2,所以 sin α= ,cos α=- ,tan α=- 3;在第四象限 2 2 取直线上的点(1, - 3), 则 r= 12+(- 3)2=2, 所以 sin α 3 1 =- ,cos α= ,tan α=- 3. 2 2 12 答案:(1)- 13 5 13 12 - 5 求任意角的三角函数值的两种方法 方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐 标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点 P(x,y), (P 与原

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