辽宁省大连市2013年双基测试文科数学试卷

辽宁省大连市 2013 年双基测试


参考公式: 标准差 s
? 1 n

学(文科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~第 24 题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无 效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

,其中 x 为 x1 ,
xi yi ? n x y xi ? n x
2 2

x2 , ? , xn

的平均数.

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

?
i ?1

n

?
i ?1

n

? ? ,a ? y ? bx .

第I卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 复数 z ? 1 ? i 的虚部是 ( ) A. 1 B. ? 1 C. i D. ? i
2 2.已知集合 M ? ?x | x ? 4 x ? 3 ? 0 ?, N ? ?x | lg( 3 ? x ) ? 0 ? ,则 M ? N = (

)


A. { x | 1 ? x ? 3}
?

B. { x | 1 ? x ? 2}
2

C. ?

D. { x | 2 ? x ? 3}


3.函数 f ( x ) ? (sin x ? cos x ) A. B.
?
4

的最小正周期为

C. ? D. 2 ? 2 4. 已知过点 A ( ? 2 , m ) 和 B ( m , 4 ) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则实数 m 的值为


A. 0 B. ? 8 C. 2 D. 1 0 5.执行如图所示的程序框图,如果输入 n ? 6 , 则输出的 s 的值是 ( ) A. C.
6 7 5 6
开始



B.
D.

7 8 4 5

i ? 1, s ? 0
i ? i ?1

s ? s?

1 i ? ( i ? 1)

i ? n?



否 输出 s

结束 第 5 题图

6. S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和, a 2 ? a 8 ? 6 ,则 S 9 ? A.
27 2
k 7. 右图是Ⅰ, Ⅱ两组各 7 名同学体重 (单位: g ) 数据的茎叶图.设Ⅰ,Ⅱ两组数据的平均数依 次

( D.108 Ⅱ组 5 6 7 4 6 8 0 1 2 3



B. 27

C. 54 Ⅰ组 3 6 7 8 1 0 2

为 x1 和 x 2 , 标 准 差 依 次 为 s1 和 s 2 , 那 么 (
s1 ? s 2

) B. x1 ? x 2 , D. x1 ? x 2 , s1 ? s 2

A. x1 ? x 2 , s1 ? s 2 C. x1 ? x 2 , s1 ? s 2

第 7 题图

8. 下列说法中,正确的是 2 2 A.命题“若 a m ? b m ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 C.命题“ ? x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是: ? x ? R , x ? x ? 0 ” “ D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件
2 2





? y ? 2 ? 9.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?





A.12
1 x

B.11

C.3
x

D.-1 )

10. 下列函数中,与函数 y ? ? 3 的奇偶性相同且在 ( ?? , 0 ) 上单调性也相同的是( A. y ? ? B. y ? lo g 2 x C. y ? 1 ? x
2

D. y ? x ? 1
3

11. ? ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 ,OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |? | AB | ,则向量 CA 在 CB 方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. ?
3

( D. ? 3
?
4



12. 球 O 的直径 S C = 4 , A , B 是该球球面上的两点, AB ? 2 , ? ASC ? ? BSC ?

, )

则棱锥 A ? SBC 的体积为 A.
4 3

( C.
4 3 2

B.

8 3

D.

4 3 3

第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm) :

4

4

4 主视图

4 左视图

4 俯视图 第 13 题图

则该几何体的表面积为

cm .

2

? 14.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为 y ? 3 . 8 x ? a ,则 a 的值为_______.

x y

2 251

3 254

4 257

5 262

6 266

15.已知双曲线的两条渐近线均和圆 C : ( x ? 1) ? y
2

2

?

1 5

相切,且双曲线的右焦点为抛物 .
n ?1

线 y ? 4 5 x 的焦点,则该双曲线的标准方程为
2

16.数列 ?a n ? 满足: a 1 ? 3 a 2 ? 5 a 3 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? a n ? ( n ? 1) ? 3 通项公式 a n = .

? 3 ,则数列 ?a n ? 的

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知 A , B , C 是 ? ABC 的三个内角, (sin A ? sin B )(sin A ? sin B ) ? sin C ( 2 sin A ? sin C ) . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 sin A ?
3 5

,求 cos C 的值.

18.(本小题满分 12 分) 某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生的视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],?, (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 (3.9,4.2] 3 0.06 (4.2,4.5] 6 0.12 x (4.5,4.8] 25

y z (4.8,5.1] (5.1,5.4] 2 0.04 n 合计 1.00 (Ⅰ)求频率分布表中未知量 n , x , y , z 的值; (Ⅱ)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人 的视力差的绝对值低于 0.5 的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图四棱锥 P ? A B C D 中, P A ? 平面 A B C D ,底 面 A B C D 是平行四边形, ? A C B ? 9 0 , A B ? 2 , P A ? B C ? 1 , F 是 B C 的中点. (Ⅰ)求证: D A ? 平面 P A C ; (Ⅱ)试在线段 PD 上确定一点 G ,使 C G ∥平面 P A F ,并求三棱锥 A - C D G 的体积.
0

P

A

D

B

F

C

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) ? ln x ? ax ( a ? R ).
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ?
1 8

时,证明:存在 x 0 ? ( 2 , ?? ) ,使 f ( x 0 ) ? f (1) .

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 M : 直线 y ? 为?
1 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) ,直线 y ? kx ( k ? 0 ) 与椭圆 M 交于 A 、 B 两点,

1 k

x 与椭圆 M 交于 C 、 D 两点, P 点坐标为 ( a , 0 ) ,直线 PA 和 PB 斜率乘积



(Ⅰ)求椭圆 M 离心率; (Ⅱ)若弦 AC 的最小值为
2 6 3

,求椭圆 M 的方程.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC、 CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; E 1 (Ⅱ)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2 O D A C
第 24 题图

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线
l:? ?

?
4

与曲线 C : ?

? x ? t ? 1, ? y ? ( t ? 1) ,
2

( t 为参数),相交于 A , B 两点.

(Ⅰ)写出射线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程; (Ⅱ)求线段 AB 的中点极坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 t ,若存在 t ? [ , 3 ] 使得不等式 t ? 1 ? 2 t ? 5 ? x ? 1 ? x ? 2
2 1

成立,求实数 x 的取值范围. .

2013 年大连市高三双基测试

数学(文科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.A;2.B;3.C;4.B;5.A;6.B;7.D;8.C;9.B;10.C;11.A;12.D. 二、填空题 13. 24? ;14.242.8;15. 三.解答题 17.解: (Ⅰ)依题意得 sin 2 A ? sin 2 B = 由正弦定理得: a ? b ?
2 2

x

2

? y ? 1 ;16. 3 .
2
n

4

·······················2 2 sin A sin C ? sin C , ························
2



2ac ? c . ····································4 分 ····································
2

∴a ?c ?b ?
2 2 2

2ac .
a ?c ?b
2 2 2

由余弦定理知: cos B ?

?

2 2

,∴ B ?

?
4

. ·······················6 分 ·······················

2ac
3 5

(Ⅱ)∵ sin A ? 又B ?
?
4

,∴ sin A ? ,∴ cos A ?

2 2

,∴ A ? B . ·······························8 分 ·······························

,∴ A ?

?
4

4 5

, ······································· 10 分 ·······································
3? 4 2 10

∴ cos C ? cos(

3? 4

? A) ? cos

3? 4

cos A ? sin

sin A ? ?

. ················ 分 ···············12

18.解: (Ⅰ)由频率分布表可知,样本容量为 n ,由 ∴x?
25 50

2 n

=0.04,得 n =50. ···· 2 分
y n ? 14 50

? 0.5 , y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ?

·········· ? 0.28 . ·········· 4 分

(Ⅱ)记样本中视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a, b, c ,在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e . 由题意, 5 人中随机抽取两人, 从 所有可能的结果有:?a, b? ,?a, c? ,?a, d ? ,?a, e? , ················· ?b, c? , ?b, d ? , ?b, e? , ?c, d ? , ?c, e? , ?d , e? ,共 10 种.··················7 分 设事件 A 表示“两人的视力差的绝对值低于 0.5”,则事件 A 包含的可能的结果有: ································· ?a, b? , ?a, c? , ?b, c? , ?d , e? ,共 4 种. ··································9 分 ∴ P ( A) ?
4 10 ? 2 5

.故两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为

2 5

. ··········· 12 分 ···········

19.解:(Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ?ACB ? 900 ,∴ ?DAC ? 900 .

∵ PA ? 平面 ABCD , DA ? 平面ABCD ,∴ PA ? DA , 又 AC ? DA , AC I PA ? A , ∴ DA ? 平面 PAC . ···················································· 分 ··················································· 6 (Ⅱ)设 PD 的中点为 G ,在平面 PAD 内作 GH ? PA 于 H , 则 GH 平行且等于
1 2

················································ AD . ················································ 8 分

连接 FH ,则四边形 FCGH 为平行四边形, ∴ GC ∥ FH ,∵ FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ∴ CG ∥平面 PAE ,∴ G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE . ·················· 分 ················· 10 设 S 为 AD 的中点,连结 GS ,则 GS 平行且等于 ∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ GS ? 平面 ABCD ,
? VA?CDG ? VG ? ACD ?

1 2

PA ?

1 2



1 3

SV ACD GS ?
2

1 12

.···································· 12 分 ····································

20.解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ln x ? ax 的定义域为 (0,??) ,
? f ?( x ) ?

1 x

? 2ax ?

? 2ax ? 1
2

, ·········································· 分 ········································· 1

x

2 ∴①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) ? ln x ? ax 的增区间为 (0,??) , ···· 3 分 ····

②当 a ? 0 时,若 f ?( x) ? 0 有 0 ? x ? 所以函数 f ( x) ? ln x ? ax 的减区间为 (
2

2a 2a

, 若 f ?( x ) ? 0 有 x ?
,??) ,增区间为 (0,

2a 2a
2a 2a

,
),

2a 2a

由①②得当 a ? 0 时,函数 f (x) 的增区间为 (0,??) ,当 a ? 0 时,函数 f (x) 的减区间 为(
2a 2a ,??) ,增区间为 (0,
1 8

2a 2a

······································· 6 ) . ········································ 分
2

证明(Ⅱ)当 a ?

时, f ?( x) ?

?x ?4



4x ∴ x ? (0,2) 时函数 f (x) 是增函数, x ? (2,??) 时函数 f (x) 是减函数,··········· 8 分 ···········

∴函数 f (x) 的最大值为 f (2) ? ln 2 ?
? f (1) ? ?

1 2



1 8



在 (2,??) 取 x ? e 4 , 计算得 f (e ) ? 4 ?
4

e

8

? 4?

2

8

? ?28 ? f (1) , ······························ 分 ····························· 10

8

8

(也可以选取其它有效值) . ∴ f (e ) ? f (1) ? f (2) , ? x ? (0,2) 时函数 f (x ) 是增函数, x ? ( 2,??) 时函数 f (x ) 是减函数,
4

∴存在 x 0 ? (2, e 4 ) ,使 f ( x 0 ) ? f (1) ,

∴存在 x 0 ? (2,??) ,使 f ( x 0 ) ? f (1) . ···································· 12 分 ····································
21.解(Ⅰ)设 A( x 1 , y1 ) ,由对称性可得 B ( ? x 1 ,? y1 )

将 A( x 1 , y1 ) 带入椭圆可得

x1 a

2 2

?

y1 b

2

2

? 1,

直线 PA 和 PB 斜率乘积

y1 x1 ? a

?

? y1 ? x1 ? a

?

y1
2

2 2

b (1 ?
2

x1

2 2

) ??

x1 ? a

?

a 2 2 x1 ? a

b a

2 2

. ·······2 分 ·······

由直线 PA 和 PB 斜率乘积为 ?

1 2

,所以

b a

2 2

?

1 2

,所以

c a

2 2

?

1 2



所以椭圆 M 离心率为

2 2

. ···············································5 分 ···············································

(Ⅱ)椭圆方程可化为 x ? 2 y ? a ,
2 2 2

联立 ?
?

?x 2 ? 2 y 2 ? a 2 y ? kx

,可得 x ?
2

a

2 2

1 ? 2k

,y ?
2

k a

2

2 2

1 ? 2k

, ··················· 分 ··················7
1 k 2 k
2 2

设 O 为坐标原点,则 | OA | ?
2

a (1 ? k )
2 2

a (1 ?
2

)

1 ? 2k

2

,同理可得 | OC | ?
2



1?

所以 | AC | ?
2

a (1 ? k )
2 2

a (1 ?
2

1 k 2
2

)

1 ? 2k

2

? 1?

k

2

?a ?
2

3k ? 6k ? 3
4 2

2 k ? 5k ? 2
4 2

?a ?
2

3 2? k ?
2

1 1 k
2

? ?2

4 3

a .·························· 分 ·························10

2

当且仅当 k ? ?1 时取等号,所以

4a 3 x

2

?

8 3



2

即 a 2 ? 2 ,所以椭圆 M 的方程为

? y ? 1 . ······························12 分 ······························
2

2
a (1 ?
2

1 k 2
2

(另解:所以 | AC |2 ?

a (1 ? k )
2 2

)

1 ? 2k

2

? 1?

k

2

?a ?
2

3( k ? 1)
2 2 2

2

(2k ? 1)( k ? 2)

?a ?
2

3( k ? 1)
2 2 2

2

(

2k ? 1 ? k ? 2 2

? )
2

4 3

a )
2

22.解: (Ⅰ) 连结 OC ,因为 OA ? OB, CA ? CB ,则 OC ? AB . ················· 2 分 ················ 所以直线 AB 是⊙ O 的切线.···········································4 分 ··········································· (Ⅱ)因为 AB 是⊙ O 的切线,所以 ?BCD ? ?E ,又 ?B ? ?B , 所以△ BCD ∽△ BCE ,所以 所以
BE BD ?( EC CD 1 2
2

BC BD

?

BE BC

?

CE CD

,

······················································8 ) , ······················································· ,所以
BE BD ? 4 ,因为⊙ O 的半径为 3,

因为 tan ?CED ?

所以 BD ? 2 ,所以 OA ? 5 . ··········································10 分 ·········································· 23.解: (Ⅰ)射线 l 的直角坐标方程: y ? x ( x ? 0) ,
? 2 t, ?x ? ? 2 则射线 l 的参数方程: ? ··························2 (t ? 0, t为参数 ) ··························· 分 ? y ? 2 t, ? 2 ?

曲线 C 的直角坐标系方程: y ? ( x ? 2) .····································· 分 ····································4
2

(Ⅱ)联立 ?

?

y ? x,
2

? y ? ( x ? 2) ,

得?

? x ? 1,

? x ? 4, 和? , ? y ? 1, ? y ? 4,
5 5

∴ A(1,1), B (4,4), ··························································· 分 ··························································6 ∴线段 AB 的中点直角坐标为 ( , ),
2 2

∴线段 AB 的中点极坐标为 (

5 2 ? ········································ 10 , ) . ········································· 分 2 4

5 ? ?t ? 4, t ? ? 2 ? 5 1 ? 24.解:∵ t ? [ ,3] ,∴ | t ? 1| ? | 2t ? 5 |? ?3t ? 6,1 ? t ? , ·····················4 分 ····················· 2 2 ? ? t ? 4, t ? 1 ? ?

可得其最大值为

3 2

. ······················································ 分 ·····················································6
3 2

解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 当 x ? 1 可得
3

,当 x ? 2 可得 2 ? x ?

9 4

,当 1 ? x ? 2 可得恒成立,

3 9 ····························10 ? x ? 1 ,综上可得解集为 [ , ] . ····························· 分 4 4 4


相关文档

辽宁省大连市2013年高三双基测试卷数学(文)试卷
辽宁省大连市2013年双基测试数学(理)
辽宁省大连市2013年高三双基测试理科数学试卷
辽宁省大连市2013年双基测试理科数学试卷
辽宁省大连市2013年高三双基测试政治试卷
辽宁省大连市2013年高三双基测试物理试卷
辽宁省大连市2013年高三双基测试语文试卷
辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(文科)
辽宁省大连市2013年高三双基测试英语试卷
辽宁省大连市2013年高三双基测试(理)
学霸百科
电脑版 | 学霸百科