2017_2018学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.2第1课时指数函数的图象及性质学案新人教B版必修1(含答案)

3.1.2 [学习目标] 第 1 课时 指数函数的图象及性质 1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图 象.3.初步掌握指数函数的有关性质. [知识链接] 1.a ·a =a r s r+s ;(a ) =a ;(ab) =a ·b . r s rs r r r 其中 a>0,b>0,r,s∈R. 2.在初中,我们知道有些细胞是这样分裂的:由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,….1 个这样的细胞分裂 x 次后,第 x 次得到的细胞个数 y 与 x 之间构成的函数关系为 y=2 , x x∈{0,1,2,…}. [预习导引] 1.指数函数的定义 函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 2.指数函数的图象与性质 底数 x a>1 0<a<1 图象 定义域 R,值域(0,+∞) 图象过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 性质 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在 R 上是增函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 在 R 上是减函数 要点一 指数函数的概念 例 1 给出下列函数: ①y=2·3 ;②y=3 A.0 x x+1 ;③y=3 ;④y=x ;⑤y=(-2) .其中,指数函数的个数是( x 3 x ) B.1 C.2 D.4 答案 B 解析 ①中,3 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3 x x x+1 的指数是 x+1,不是自变 x 量 x,故②不是指数函数;③中,3 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3 一项,故 ③是指数函数;④中,y=x 的底为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数- 2<0,不是指数函数. 规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征: (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数; (2)指数位置是自变量 x;(3)a 的系数是 1. 2.求指数函数的关键是求底数 a,并注意 a 的限制条件. 跟踪演练 1 若函数 y=(4-3a) 是指数函数,则实数 a 的取值范围为________. 4 答案 {a|a< ,且 a≠1} 3 解析 y=(4-3a) 是指数函数,需满足: ? ?4-3a>0, ? ?4-3a≠1, ? x x x 3 4 解得 a< 且 a≠1. 3 4 故 a 的取值范围为{a|a< ,且 a≠1}. 3 要点二 指数函数的图象 例2 如图是指数函数①y=a ,②y=b ,③y=c ,④y=d 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的 ) x x x x 大小关系是( A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d 答案 B B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c 解析 方法一 在 y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知 c>d>1,b<a<1. ∴b<a<1<d<c. 方法二 作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数可 得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1< d<c.故选 B. 规律方法 1.无论指数函数的底数 a 如何变化,指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象与直线 x x=1 相交于点(1,a),由图象可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象:①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换; ③注意函数单调性的影响. 跟踪演练 2 (1)函数 y=|2 -2|的图象是( x ) (2)直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 1 答案 (1)B (2)(0, ) 2 解析 (1)y=2 -2 的图象是由 y=2 的图象向下平移 2 个单位长度得到的,故 y=|2 -2| 的图象是由 y=2 -2 的图象在 x 轴上方的部分不变,下方部分对折到 x 轴的上方得到的. (2)当 a>1 时, 在同一坐标系中作出函数 y=2a 和 y=|a -1|的图象(如图(1)).由图象可知 两函数图象只能有一个公共点,此时无解.当 0<a<1,作出函数 y=2a 和 y=|a -1|的图 象(如图(2)).若直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个交点,由图象可 1 知 0<2a<1,所以 0<a< . 2 x x x x x x x x 要点三 指数型函数的定义域、值域 例 3 求下列函数的定义域和值域: (1)y= 2 1 x -4 ?1? ;(2)y= 1-2 ;(3)y= ? ? ?2? x x 2 ? 2 x ?3 . 解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4, 1 故 y= 2 x -4 的定义域为{x|x≠4,x∈R}. 又 1 1 ≠0,即 2 ≠1, x-4 x-4 1 故 y= 2 x -4 的值域为{y|y>0,且 y≠1}. (2)由 1-2 ≥0,得 2 ≤1,∴x≤0, ∴y= 1-2 的定义域为(-∞,0]. 由 0<2 ≤1,得-1≤-2 <0, ∴0≤1-2 <1, ∴y= 1-2 的值域为[0,1). x x x x x x x ?1? (3)y= ? ? ?2? 2 x 2 ? 2 x ?3 的定义域为 R. 2 ∵x -2x-3=(x-1) -4≥-4, ?1? ∴? ? ?2? x 2 ? 2 x ?3 ?1?-4 ≤? ? =16. ?2? >0, x 2 ? 2 x ?3 ?1? 又∵ ? ? ?2? x 2 ? 2 x ?3 ?1? 故函数 y= ? ? ?2? 的值域为(0,16]. f(x) 规律方法 对于 y=a (a

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