版高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课件新人教A版必修.ppt_图文

第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理

第一章 解三角形
1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程. 2.了解余 弦定理的几种变形公式. 3.能熟练应用余弦定理解三角形.

余弦定理 文字语言
符号语言

三角形中任何一边的__平__方___等于其他两边的 _平__方___的_和___减去这两边与它们的夹角的 __余__弦__的__积___的__两___倍
a2=___b_2_+__c_2-__2_b_c_c_o_s_A____ b2=__a_2_+__c_2-__2_a_c_c_o_s_B___ c2=__a_2_+__b_2-__2_a_b_c_o_s__C__

变形

b2+c2-a2 cos A=____2_b_c_____
a2+c2-b2 cos B=_____2_a_c______
a2+b2-c2 cos C=______2_a_b_______

1.对余弦定理的四点说明 (1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定 理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,余弦定理是勾 股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)与正弦定理一样,余弦定理揭示了三角形的边角之间的关 系,是解三角形的重要工具之一. (3)余弦定理的三个等式中,每一个都包含四个不同的量,它们 是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,代入等式,就 可以求出第四个量.

(4)运用余弦定理时,若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第 三边),则由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以 解也是唯一的. 2.对余弦定理推论的理解 余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式,适用于已知三角形 三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据 角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 余 弦 定 理 只 适 用 于 已 知 三 边 和 已 知 两 边 及 夹 角 的 情 况.( ) (2) 勾 股 定 理 是 余 弦 定 理 的 特 例 , 余 弦 定 理 是 勾 股 定 理 的 推 广.( ) (3)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则∠A 为锐角.( ) (4)在△ABC 中,若 b2+c2<a2,则△ABC 为钝角三角形.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√

已知在△ABC 中,a=1,b=2,C=60°,则 c 等于( )

A. 3

B. 2

C. 5

D.5

解析:选 A.由余弦定理,得 c2=12+22-2×1×2cos 60°=3, 所以 c= 3.

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=4,

b=5,c= 61,则角 C 等于( )

A.120°

B.90°

C.60°

D.45°

解析:选

A. 由 余 弦 定 理 , 得

cos

C



a2+b2-c2 2ab



42+522×-4(×561)2=-12,所以 C=120°,故选 A.

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a2 =b2-c2+ 2ac,则角 B 的大小是________.
解析:由已知得 a2+c2-b2= 2ac, 所以 cos B=a2+2ca2c-b2= 22aacc= 22. 又 0°<B<180°, 所以 B=45°. 答案:45°

探究点 1 已知两边及一角解三角形

(1)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

若 a=3,b=2,cos(A+B)=13,则 c 等于( )

A.4

B.

C.3

D. 17

(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为

a,b,c.已知 a= 5,c=2,cos A=23,则 b=( )

A. 2

B. 3

C.2

D.3

【解析】 (1)由三角形内角和定理可知 cos C=-cos(A+B)=



1 3

















c2 = a2 + b2 - 2abcos

C=9+4-

2×3×2×???-13???=17,所以 c= 17.选 D. (2)由余弦定理得 5=22+b2-2×2bcos A,

因为 cos A=23,所以 3b2-8b-3=0,

所以 b=3???b=-13舍去???.故选 D.

【答案】 (1)D (2)D

将本例(2)中的条件“a= 5,c=2,cos A=23”改为“a=2, c=2 3,cos A= 23”,则 b 为何值? 解:由余弦定理得: a2=b2+c2-2bccos A,所以 22=b2+(2 3)2-2×b×2 3× 23, 即 b2-6b+8=0,解得 b=2 或 b=4.

(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 ①先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定 理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,要注意判断解的 情况; ②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方 程的方法求出此边长.

(2)已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一:首先用余弦定理求出第三边,再用余弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角. 方法二:首先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角. [注意] 解三角形时,若已知两边和一边的对角时,既可以用 正弦定理,也可以用余弦定理.一般地,若只求角,则用正弦 定理方便,若只求边,用余弦定理方便.

1.在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2 =0 的两个根,C=60°,则 c=________.
解析:由题意,得 a+b=5,ab=2.所以 c2=a2+b2-2abcos C =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以 c= 19.
答案: 19

2.在△ABC 中,已知 A=120°,a=7,b+c=8,求 b,c.
解:由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc(1+cos A), 所以 49=64-2bc???1-12???,即 bc=15, 由?????bb+c=c=15,8,解得?????bc==53,或?????bc==35.,

探究点 2 已知三边(三边关系)解三角形

已知△ABC 的三边长为 a=2 3,b=2 2,c= 6+ 2,

求△ABC 各角的度数.

【解】 法一:由余弦定理得:

cos A=b2+2cb2c-a2

=(2

2)2+( 6+ 2×2 2×(

2)2-(2 6+ 2)

3)2=12,

所以 A=60°.

cos B=a2+2ca2c-b2

=(2

3)2+( 6+ 2×2 3×(

2)2-(2 6+ 2)

2)2= 22,

所以 B=45°.

所以 C=180°-A-B=75°.

法二:由法一知,A=60°,a=2 3,b=2 2, 根据正弦定理,得

sin

B=bsian

A=2 2

23sin 60°= 22,

又 a>b,知 B<A,

所以 B=45°,

从而 C=180°-A-B=75°.

若将本例中“a=2 3,b=2 2,c= 6+ 2”改为“a∶b∶c =2∶ 6∶( 3+1)”,试求△ABC 的最大内角的余弦值.

解:因为 a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1),

不妨设 a=2k,b= 6k,c=( 3+1)k,

显然 a<b<c.

所以△ABC 的最大内角为 C,

则 cos C=a2+2ba2b-c2=4k2+6k2-4 (6k23+1)2k2

=4+6-( 3+1)2=6-2 3=

46

46

6- 4

2 .

已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角; 再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求 出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. [注意] 若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引 入 k,从而转化为已知三边求解.

1.(2018·辽源高二检测)在△ABC 中,角 A,B,

C 的对边分别为 a,b,c,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则 A=( )

A.90°

B.60°

C.120°

D.150°

解析:选 C.由(a+c)(a-c)=b(b+c)可得

a2-c2=b2+bc,即 a2=c2+b2+bc.

根据余弦定理得 cos A=b2+2cb2c-a2=-2bbcc=-12,

因为 A 为△ABC 的内角,所以 A=120°.

2.在△ABC 中,若 sin2A-sin2C=(sin A-sin B)sin B,则 C= ________.
解析:由 sin2A-sin2C=(sin A-sin B)sin B,结合正弦定理可 得 a2-c2=(a-b)b=ab-b2,即 a2+b2-c2=ab,结合余弦定理 可得 2abcos C=ab,解得 cos C=12,所以 C=π3. 答案:π3

探究点 3 判断三角形的形状 在△ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且
2cos Asin B=sin C,试确定△ABC 的形状. 【解】 法一:利用边的关系来判断. 由正弦定理得ssiinn CB=bc,由 2cos Asin B=sin C,得 cos A=2ssiinnCB =2cb. 又 cos A=b2+2cb2c-a2,

所以2cb=b2+2cb2c-a2, 即 c2=b2+c2-a2, 所以 a=b. 又(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab, 所以 4b2-c2=3b2, 所以 b=c. 综上,a=b=c,所以△ABC 为等边三角形.

法二:利用角的关系来判断. 由 2cos Asin B=sin C,得 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以 sin(A-B)=0, 又 A 与 B 均为△ABC 的内角, 所以 A=B. 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab, 所以 a2+b2-c2+2ab=3ab. 根据余弦定理,上式可化为 2abcos C+2ab=3ab,得 cos C=12, C=60°, 所以△ABC 为等边三角形.

判断三角形形状的思路 (1)转化为三角形的边来判断 ①△ABC 为直角三角形?a2=b2+c2 或 b2=a2+c2 或 c2=a2+ b2; ②△ABC 为锐角三角形?a2+b2>c2 且 b2+c2>a2 且 c2+a2>b2; ③△ABC 为钝角三角形?a2+b2<c2 或 b2+c2<a2 或 c2+a2<b2; ④按等腰或等边三角形的定义判断.

(2)转化为角的三角函数(值)来判断 ①若 cos A=0,则 A=90°,△ABC 为直角三角形; ②若 cos A<0,则△ABC 为钝角三角形; ③若 cos A>0 且 cos B>0 且 cos C>0,则△ABC 为锐角三角形; ④若 sin2A+sin2B=sin2C,则 C=90°,△ABC 为直角三角形; ⑤若 sin A=sin B 或 sin(A-B)=0,则 A=B,△ABC 为等腰三 角形; ⑥若 sin 2A=sin 2B,则 A=B 或 A+B=90°,△ABC 为等腰 三角形或直角三角形. 在具体判断的过程中,注意灵活地应用正、余弦定理进行边角 的转化,究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.

1.在△ABC 中,若(a-ccos B)sin B= (b-ccos A)·sin A,判断△ABC 的形状.
解:法一:由正弦定理及余弦定理,知原等式可化为: ????a-c·a2+2ca2c-b2????b=????b-c·b2+2cb2c-a2????a, 整理,得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0. 所以 a2=b2 或 a2+b2-c2=0, 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

法二:由正弦定理,知原等式可化为: (sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A, 所以 sin Bcos B=sin Acos A, 所以 sin 2B=sin 2A, 所以 2B=2A 或 2B+2A=π, 所以 A=B 或 A+B=π2, 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

2.在△ABC 中,如果 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2,并且 B 为锐角,试判断此三角形的形状特征. 解:在△ABC 中, 因为 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2=lg 22, 所以ac=sin B= 22, 又 B 为锐角,

所以 B=π4,c= 2a, 由余弦定理得 22=cos B=a2+2ca2c-b2=32a2-2ab22, 得 a2=b2,即 a=b, 所以三角形 ABC 为等腰三角形, 即 A=B=π4,所以 C=π2, 故△ABC 的形状为等腰直角三角形

规范解答

正、余弦定理解三角形

(本题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分

别为

a,b,c.已知cos

A-2cos cos B

C=2c-b a.

(1)求ssiinn CA的值;

(2)若 cos B=14,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

【解】 (1)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,

(其中 R 为△ABC 外接圆半径)

所以cos

A-2cos cos B

C=

2c-b a=2sin

C-sin sin B

A,

(2 分)

所以 sin Bcos A-2sin Bcos C= 2sin Ccos B-sin Acos B,

利用正弦定理 把边化为角, 是解(1)问中 的关键

即 sin Acos B+sin Bcos A =2sin Bcos C+2sin Ccos B, 所以 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π, 所以 sin C=2sin A, 所以ssiinn CA=2.

(4 分)

(2)由(1)知ssiinn CA=2,由正弦定理得ac=ssiinn CA=2,

即 c=2a.

(6 分)

又因为△ABC 的周长为 5,

所以 b=5-3a.

(8 分)

由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B, 即(5-3a)2=a2+(2a)2-4a2×14,

利用余弦定理 建立关于 a 的 方程是解(2)问

(10 分) 中的关键

解得 a=1,a=5(舍去),

(11 分)

所以 b=5-3×1=2.

(12 分)

(1)在解答过程中,若在第(1)问中无法正确运用两角和的正弦公 式及诱导公式,则无法推出 sin A 与 sin C 的关系,导致此题第 (1)问最多得 2 分. (2)在三角形中注意三内角和等于 180°,在同一三角形中大边 对大角,大角对大边,大角的正弦值大于小角的正弦值等隐含 条件的应用.

1.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是

() A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.不能确定

解析:选 C.设在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,由正弦定理得 a2+b2<c2,从而 cos C=a2+2ba2b-c2<0,所以 C 是钝角,故△ABC 是钝角三角形.

2.在△ABC 中,已知 a2+b2=c2+ 2ab,则 C=( )

A.30°

B.45°

C.150°

D.135°

解析:选 B.由余弦定理知 c2=a2+b2-2abcos C,

因为 c2=a2+b2- 2ab,所以 cos C= 22, 又 C∈(0°,180°),所以 C=45°.

3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b, c 满足 b2=ac,且 c=2a,则 cos B=________.

解析:因为

b2 = ac , 且

c = 2a , 所 以

cos

B



a2+c2-b2 2ac



a2+2a4×a2-2a2a2=34.

答案:34

4.已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a, b,c,且 2cos2A2+cos A=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. 解:(1)因为 cos A=2cos2A2-1,2cos2A2+cos A=0, 所以 2cos A+1=0, 所以 cos A=-12, 所以 A=120°.

(2)由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A, 又 a=2 3,b=2,cos A=-12, 所以(2 3)2=22+c2-2×2×c×???-12???, 化简,得 c2+2c-8=0,解得 c=2 或 c=-4(舍去).

知识结构

深化拓展 1.余弦定理中的整体思想 已知 a,b,c 的整体关系,可利用余弦定理的推论求角 (cos A=b2+2cb2c-a2). 如:b2+c2-a2=bc,a2=b2+c2+bc,b2+c2-a2= 2bc, a2=b2+c2+ 2bc,b2+c2-a2= 3bc,a2=b2+c2+ 3bc 等.

深化拓展 2.正弦定理、余弦定理的灵活选用 (1)“已知两边及其夹角”“已知三边”解三角形,应先选取余 弦定理求解. (2)“已知两角及任一边”“已知两边和其中一边的对角”通 常选用正弦定理. 特别地,已知两边和其中一边的对角解三角形,若只求第三边, 应选用余弦定理,若此时选用正弦定理,则计算量较大.


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