数列大题训练三参考答案

《数列》专题训练三

1.a2 , a5 是方程 x 2 ?12x ? 27 ? 0 的两根,数列?an ?是公差为正的等差数列,数列?bn ?的前

? ? n

项和为 T n

,且 Tn

?

1

?

1 2

bn

n?N?

.

(Ⅰ)求数列?an ?,?bn ?的通项公式;

(Ⅱ)记 cn = an bn ,求数列?cn ?的前 n 项和 Sn .

解:(Ⅰ)由 a2 ? a5 ? 12, a2a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9

? ? ?d

?

a5

? a2 3

? 2 , a1

? 1?an

? 2n ?1 n ? N ?

在 Tn

?1?

1 2

bn

中,令 n

? 1, 得 b1

?

2.当n
3

?

2时,T n

=1?

1 2

bn

,

Tn?1

?1?

1 2

bn?1

,

? ? 两式相减得bn

?

1 2 bn?1

?

1 2 bn

,? bn
bn?1

?

1 ?n
3

?

2? ?bn

?

2 ?? 1 ??n?1 3?3?

?

2 3n

n?N?

.

(Ⅱ) cn

?

?2n

?

1?

?

2 3n

?

4n ? 3n

2

,?

S

n

?

2?? ?

1 3

?

3 32

?5 33

?? ?

2n 3

?
n

1

?? ?

, Sn
3

?

2?? ?

1 32

?3 33

?

??

2n ? 3n

3

?

2n 3n

?
?1

1

?? ?

,?

2 3

Sn

?

2???13

?

2?? ?

1 32

?

1 33

?

?

?

1 3n

?? ?

?

2n ?1? 3n?1 ??

=2 = ?

? ?

1

?

2

?

1 9

??1 ?

?

1 3n?1

?? ?

?

2n

? ? 1??

?3 ??

1? 1 3

3n?1 ? ??

2?? ?

1 3

?

1 3

?

1 3n

?

2n ?1 3n?1

?? ?

?

4? 3

, 4n ? 4
3n?1

? Sn

?

2?

2n ? 2 3n

2.已知数列{an}满足 a1

?

0且

S n?1

?

2Sn

?

1 2

n(n

?1),(n ?

N*)

(1)求 a2 , a3 ,并证明 : an?1 ? 2an ? n, (n ? N*);

(2)设 bn ? an?1 ? an (n ? N*), 求证: bn?1 ? 2bn ? 1 ;

(3)求数列{an}(n ? N*) 的通项公式。(4 分)

解答:(1)由已知 S2 ? 2S1 ? 1,即 a1 ? a2 ? 2a1 ?1, a2 ? 1

S3 ? 2S2 ? 3 ,即 a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 3, 有 a3 ? 4



S n?1

?

2Sn

?

1 2

n(n

?

1)

,有

S

n

?

2S n?1

?

1 (n ?1)n(n 2

?

2)

? Sn?1

?

Sn

?

2( S n

?

Sn?1 )

?

1 n(n ?1) 2

?

1 2

n(n

?1) ,

即 an?1 ? 2an ? n, (n ? 2) 同时, a2 ? 2a1 ? 1 ? 1,

?an?1 ? 2an ? n, (n ? N*)

(2)由(1): an?1 ? 2an ? n ,有 an?2 ? 2an?1 ? n ? 1

精心整理

? an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? 1 即bn?1 ? 2bn ? 1

(3)由(2): bn?1 ? 1 ? 2(bn ? 1)

而 b1 ? 1 ? a2 ? a1 ?1 ? 2 ,

?{bn ?1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,

? bn ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n , bn ? 2n ? 1

即 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,而 an?1 ? 2an ? n ,

有: 2an ? n ? an ? 2n ? 1,

? an ? 2n ? n ? 1(n ? N*)

3.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,Sn

是{an}的前

n

项和,a1=b1=1,

S2

?

12 b2



(Ⅰ)若 b2 是 a1,a3 的等差中项,求 an 与 bn 的通项公式;

(Ⅱ)若

an∈N*,{ ban }是公比为

9

的等比数列,求证:

1 S1

?1 S2

?1 S3

??? 1 Sn

?5 3



解:设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}公比为 q.

(Ⅰ)∵

S2

?

12 b2

,∴

a1

?

a1

?

d

?

12 b1q

,而

a1=b1=1,则

q(2+d)=12.①

又∵b2 是 a1,a3 的等差中项,∴a1+a3=2b2,得 1+1+2d=2q,即 1+d=q.②

联立①,②,解得

?d ??q

? ?

2, 3,



?d ??q

? ?

?5, ?4.

所以 an=1+(n-1)·2=2n-1,bn=3n-1;或 an=1+(n-1)·(-5)=6-5n,bn=(-

4)n-1.

a (Ⅱ)∵ ∈N , , n

* ban ? b1qan ?1 ? q1?(n?1)d?1 ? q(n?1)d

∴ ,即 q =3 .① ban?1
ban

q nd ? q(n?1)d

? qd

?9

d2

由(Ⅰ)知 q(2+d)=12,得 q ? 12 .②
2?d

∵a1=1,an∈N*,∴d 为正整数,从而根据①②知 q>1 且 q 也为正整数,

∴d 可为 1 或 2 或 4,但同时满足①②两个等式的只有 d=2,q=3,

∴an=2n-1,

Sn

?

n(1 ?

2n 2

?1)

?

n2





1 Sn

?

1 n2

?

1 (n ? 0.5)(n ? 0.5)

?

2( 1 ? 2n ?1

1 2n ?

) 1

(n≥2).



n≥2

时,

1 S1

?

1 S2

???

1 Sn

?

1 12

?

1 22

?

1 32

???

1 n2

<1? 2(1 ? 1) ? 2(1 ?
35 5

1) ? ?? 2( 1 ?

7

2n ?1

1) 2n ?1

精心整理

=1? 2[(1 ? 1) ? (1 ? 1) ??? ( 1 ? 1 )] ? 5 ? 1 < 5 .

35 57

2n ?1 2n ?1 3 2n ?1 3

显然,当 n=1 时,不等式成立.故 n∈N*, 1 ? 1 ??? 1 ? 5 .

S1 S2

Sn 3

4.已知函数

f

(x)

?

ax ? b cx2 ?1



a

,b

,c

为常数,

a

?

0 ).

(Ⅰ)若 c

? 0 时,数列{an}满足条件:点 (n,

an )

在函数

f

(x)

?

ax ? b cx2 ?1

的图象上,求{an

}



前 n 项和 Sn ;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a3

?

7 ,S4

?

24 ,p,

q ? N?(

p

?

q ),证明:Sp?q

?

1 2

(S2

p

? S2q )



解:(Ⅰ)依条件有 f (x) ? ax ? b .

因为点 (n, an ) 在函数 f (x) ? ax ? b 的图象上,所以 an ? f (n) ? an ? b .

因为 an?1 ? an ? a(n ?1) ? b ? (an ? b) ? a , 所以{an}是首项是 a1 ? a ? b ,公差为 d ? a 的等差数列.……………………1 分

所以 Sn

?

n(a ? b) ?

n(n ?1) ? a 2

?

nb ?

n(n ?1) 2

?a.

即数列 {an } 的前

n

项和

Sn

?

nb

?

n(n ?1) 2

?a

.………………………………2



(Ⅱ)证明:依条件有

?? (a ? b) ? 2a ? 7,

???4(a

?

b)

?

4?3 2

?

a

?

24.



? 3a ? b ? ??10a ? 4b

7, ?

解得
24.

?a

? ?

b

? ?

2, 1.

所以 an

?

2n ?1.所以 Sn

?

n(a1 ? an ) 2

?

n2

? 2n.

因为 2S p?q ? (S2 p ? S2q ) = 2[( p ? q)2 ? 2( p ? q)] ? (4 p2 ? 4 p) ? (4q2 ? 4q) ? ?2( p ? q)2 ,



p

?

q

,所以 2S p?q

?

(S2 p

?

S2q )

?

0

.即

S p?q

?

1 2

(S2 p

?

S2q )

.

21.已知数列?an? ( n? N *)的各项满足: a1 ? 1 ? 3k , an ? 4n?1 ? 3an?1 ( n ? 2 , k ? R ).

(1)判断数列{an

?

4n 7

}

是否成等比数列;(2)求数列 ?an? 的通项公式;

(3)若数列?an?为递增数列,求 a0 的取值范围.

解:(1) an?1

?

4 n ?1 7

?

4n

? 3an

?

4 n ?1 7

?

?3an

?

3 ? 4n 7

?

?3(an

?

4n ),
7

a1

?

4 7

?

1?

3k

?

4 7

?

3 7

?

3k

.当

k

?

1 7

时,

a1

?

4 7

?

0 ,则数列{an

?

4n 7

}

不是等比数列;



k

?

1 7

时,

a1

?

4 7

?

0

,则数列{an

?

4n 7

}

是公比为

?

3

的等比数列.

精心整理

(2)由(1)可知当 k

?

1 7

时,

a

n

4n ?
7

?

(

3 7

?

3k

)

?

(?3)

n?1



an

? ( 3 ? 3k) ? (?3)n?1 ? 7

4n 7



当k

?

1 7

时, an

?

4n 7

,也符合上式,

所以,数列?an?的通项公式为 an

?

(3 7

? 3k) ? (?3)n?1

?

4n 7



(3) an?1

?

an

?

4n?1 7

?

? ??

3 7

? 3k

? ??

?

?3?n

?

4n 7

?

? ??

3 7

? 3k

? ??

?

? ?3 n?1

?

3? 4n 7

12?? ? ?3 n?1
? 7

?12?? ? ?3 n?1

k



∵ ?an? 为递增数列,∴

3? 4n 7

12?? ? ?3 n?1
? 7

?12?? ? ?3 n?1

k

?

0 恒成立.

①当 n

为奇数时,有

3? 4n 7

12 ? 3n?1 ?
7

?12 ? 3n?1k

?

0,即 k

?

1 7

? ?1 ??

?

? ??

4 3

n?1
?

?

??

? ??

恒成立,

由1?

? ??

4 3

?n?1 ??

?1?

? ??

4 3

?1?1 ??

?

0



k

?

0



②当 n

为偶数时,有

3? 4n 7

? 12 ? 3n?1 7

?12 ? 3n?1k

?

0,即 k

?

1 7

? ?1 ? ??

? ??

4 3

n?1
?

?

??

? ??

恒成立,

由1?

? ??

4 3

?n?1 ??

?1?

? ??

4 3

?2?1 ??

?

7 3

,得

k

?

1 3

.故 k

的取值范围是

? ??

0,

1 3

? ??



5.设数列?an? 是首项为 a?(a? ? ?) ,公差为 2 的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , 3 S

成等差数列.

(Ⅰ)求数列?an?的通项公式;(Ⅱ)记 bn

?

an 2n

的前 n

项和为 Tn

,求 Tn

.

解:(Ⅰ)∵ S1 ? a1 , S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? 2 , S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 6 ,

由 S1 , S2 , S3 成等差数列得, 2 S2 ? S1 ? S3 ,即 2 2a1 ? 2 ? a1 ? 3a1 ? 6 ,

解得 a1 ? 1,故 an ? 2n ?1;

(Ⅱ) bn

?

an 2n

?

2n ? 2n

1

?

(2n

?1)(

1 2

)n





1: Tn

? 1? (1)1 2

? 3?(1)2 2

? 5?(1)3 2

?

? (2n ?1)? (1)n ,①
2

①?

1 2

得,

1 2 Tn

? 1? (1)2 2

? 3? (1)3 2

? 5?(1)4 2

?

? (2n ? 3)? (1)n ? (2n ?1)? (1)n?1 ,②

2

2



? ②得,

1 2

Tn

?

1 2

?

2 ? ( 1 )2 2

?

2? (1)3 2

?

? 2? (1)n ? (2n ?1) ? (1)n?1

2

2

?

2?

1 2

(1

?

1 2n

1? 1

)

?

1 2

?

(2n

?1) ? (1)n?1 2

?

3 2

?

1 2n?1

?

2n ?1 2n?1



2

∴ Tn

?

3?

4 2n

?

2n ?1 2n

?

3?

2n ? 3 2n





2: bn

?

an 2n

?

2n ? 2n

1

?

n

?

1 2n?1

?

1 2n



精心整理

? ? 设 Fn

?

n k ?1

k 2k ?1

,记

f

(x)

?

n
(kxk?1) ,
k ?1

?? ? ? n
则 f (x) ?
k ?1

xk

?

?

? ??

n k ?1

xk

?? ??

?

? ? ?

x ? xn?1 1? x

?? ? ?

?

1?

(n ?1? nx)xn (1? x)n





Fn

?

4

?

(n

?

2)

? ??

1 2

n?1

? ??

,-

故 Tn

?

Fn

?

1 2

(1

?

1 2n

)

1? 1

?

4

?

(n

?

2)

?

1 2n?1

?1?

1 2n

? 3?

2n ? 3 .
2n

2

6.已知数列{an},{bn} 满足 a1 ? 2 , 2an ? 1? anan?1,bn ? an ?1 ,设数列{bn}的前 n 项和为 Sn ,

令 Tn ? S2n ? Sn

(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求证:Tn?1 ? Tn (n ? N ?)

(1)解:由 bn ? an ?1得 an ? bn ? 1代入 2an ? 1 ? anan?1 得 2(bn ? 1) ? 1 ? (bn ? 1)(bn?1 ? 1) ,整理



bnbn?1 ? bn

? 0 从而有 1
bn?1

?1 bn

? 1,所以 b1

?

a1

?1

?

2

?1

?

1

,所以,{ 1
bn

}

是首项为

1,公差

bn

?

1 n

为 1 的等差数列, 1 ? n, 即
bn

(2) Sn

?1?

1 2

?

1 3

?

1 4

???

1 n

7.已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ?1 ( n ? 2 , n ? N* (1)求数列?an ?的通项公式;
(2)设 bn ? 4n ? (?1)n?1? ? 2an (? 为非零整数, n ? N* ),试确定 ? 的值,使得对任意 n ? N* ,都有 精心整理

bn?1 ? bn 成立.
解:(1)由已知, ?Sn?1 ? Sn ? ??Sn ? Sn?1? ?1( n ? 2 , n?N* ),………………2 分
∴数列?an ?是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列.
∴ an ? n ?1……………4 分 (2)∵ an ? n ?1,∴ bn ? 4n ? (?1)n?1? ? 2n?1 ,要使 bn?1 ? bn 恒成立,
∴ bn?1 ? bn ? 4n?1 ? 4n ? ??1?n ? ? 2n?2 ? ? ? ?1 n?1 ? ? 2n?1 ? 0 恒成立, ∴ 3? 4n ? 3? ?? ? ?1 n?1 2n?1 ? 0 恒成立,
∴ ? ? ?1 n?1 ? ? 2n?1恒成立.……………………6 分
(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2n?1 恒成立, 当且仅当 n ? 1时, 2n?1 有最小值为 1, ∴ ? ?1……………8 分
(ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2n?1恒成立,当且仅当 n ? 2 时, ?2n?1 有最大值 ?2 , ∴ ? ? ?2 …………10 分
即 ?2 ? ? ?1,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1. 综上所述,存在 ? ? ?1,使得对任意 n?N* ,都有 bn?1 ? bn .…

6、(理科)已知点

Pn (an ,

bn ) ( n ? N? )满足 an?1

?

, anbn?1 bn?1

? bn 1? 4an2

,且点 P1 的坐标为

(1, ? 1).

(Ⅰ)求经过点 P1 , P2 的直线 l 的方程;

(Ⅱ)已知点

Pn (an ,

bn )



n ? N?

)在

P1 ,

P2

两点确定的直线 l

上,求证:数列{ 1 } 是等差
an

数列.

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求对于所有 n?N? ,能使不等式

精心整理

(1? a1)(1? a2 )

(1? an ) ≥ k

1 b2b3 ??? bn?1

成立的最大实数 k 的值.

解:(Ⅰ)因为 b2

?

1

b1 ? 4a12

?

1 3



所以

a2

?

a1b2

?

1 3

.所以

P2

(

1 3

,

1) .
3

所以过点 P1 , P2 的直线 l 的方程为 2x ? y ?1.

(Ⅱ)因为 Pn (an , bn ) 在直线 l 上,所以 2an ? bn ? 1.所以 bn?1 ? 1? 2an?1 .

由 an?1 ? anbn?1 ,得 an?1 ? an (1? 2an?1) .即 an?1 ? an ? 2anan?1 .

所以 1 ? 1 ? 2 .所以{ 1 }是公差为 2 的等差数列.

an?1 an

an

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

1 an

?

1 a1

? 2(n ?1) .所以

1 an

? 1? 2(n ?1)

?

2n ?1.所以 an

?

1.
2n ?1

所以 bn

? 1? 2an

?

2n ? 3 2n ?1

.依题意 k

≤ (1? a1)(1? a2)

(1? an ) b2b3 ???bn?1 恒成立.

设 F(n) ? (1? a1)(1? a2) (1? an) b2b3 ???bn?1 ,所以只需求满足 k ≤ F(n) 的 F(n) 的最小值.

因为 F (n ?1) ? (1? a1)(1? a2 ) (1? an )(1? an?1) b2b3 ??? bn?2

F (n)

(1? a1)(1? a2 ) (1? an ) b2b3 ??? bn?1

= (1? an?1) bn?2 ?

2n ? 2 =
2n ?1 2n ? 3

4n2 4n2

? 8n ? 4 ? 8n ? 3

?1,

所以 F(n) ( x ? N? )为增函数.所以 F(n)min ? F(1) ?

2 ?2 3.
33

所以

k



2

3 3

.所以

kmax

?

2

3 3

.………………………………………14



8.(理.科.做.)已知点 P1(a1,b1) , P2 (a2 ,b2 ) ,…, Pn (an ,bn ) ( n 为正整数)都在函数

y ? a x (a ? 0,a ? 1) 的图像上,其中{an} 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列。

(1)求数列{an} 的通项公式,并证明数列{bn}是等比数列;

(2)设数列 {bn } 的前

n

项的和

Sn

,求

lim
n??

Sn S n?1



(3)设

Qn

(an

,0)

,当

a

?

2 3

时,问

?OPn Qn

的面积是否存在最大值?若存在,求出最大

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值;若不存在,请说明理由;

解:(1) an ? 2n ?1 ,( n ? N ? ) , …………………………………………………. 2 分

bn

? a an

, ? a 2n?1 ? bn?1
bn

? a(2 定值),?数列?bn ?是等比数列。

(2)因为?bn ?是等比数列,且公比 a2

? 1,? Sn

?

a(1 ? a 2n ) 1? a2

, Sn
S n?1

? 1? a2n 1? a2n?2



当 0 ? a ? 1时, lim Sn ? 1;
S n?? n ?1

1

当 a ? 1时, lim Sn
S n?? n?1

?

lim
n??

1? a2n 1? a2n?2

? lim n??

?1 a 2n

?

1



1 ? a2 a2

a 2n

因此, lim n??

Sn S n?1

?

???1,10 ?? a 2

?a ,a

?1 ?1



(3)

bn

?

(

2 3

)

2

n?1



S

?

?

1 ? (2n ?1) ? ( 2)2n?1 ,

2

3

设 cn

?

1 2

?

(2n

?

1)

?

(

2 3

)

2n?1

,当

c

n

最大时,则

?c ??c

n n

? ?

cn?1 cn?1



解得

?n ??n

? ?

2.3 1.3



n

?

N

?

,?

n

?

2



所以

n

?

2



cn

取得最大值

4 9

,因此

?OPn Qn

的面积存在最大值

4 9



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