2015年北京市春季普通高中会考数学试题及答案


2015 年北京市春季普通高中会考数学试卷
1. 考生要认真填写考场号和座位序号。 考 生 须 知 2. 本试卷共 4 页,分为两部分,第一部分选择题, 20 个小题(共 60 分) ;第二 部分非选择题,二道大题(共 40 分) 。 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必 须用 2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色的签字笔作答。 4.考试结束后,考生应将试卷、答题卡及草稿纸放在桌面上,待监考员收回。

第一部分

选择题(每小题 3 分,共 60 分)
) D. ? 1,6,8? )

一、在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? 3,5,6,8?, B ? ? 1,3,5?,那么 A ? B 等于( A. ? 1,3,5,6,8? B. ?6,8? C. ?3,5?

2. 平面向量 a,b 满足 b=2a 如果 a ? (1,1) ,那么 b 等于(

A. ? (2,2)

B. (?2,?2)

C. (2,?2)

D. (2,2)

主视图
5 3

3. 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,那么 f ( x) 的定义域是( A R B x x ?1 C

?

?

?x x ? 1?
C. 50

D xx?0

?

?


左视图

4.一个几何体的三视图如图所示,该集合体的体积是(

A. 30

B. 40

D. 60
) D. 4 )

2

1 5.如果 a ? 0 ,那么 a ? ? 2 的最小值为( a
A. 2 B. 2 2 C.

俯视图

3

6.已知过两点 A(?1,1), B(4, a) 的直线斜率为 1 ,那么 a 的值是(

A. ? 6
7. tan

B. ? 4


C.

4

D. 6

5? 等于( 6

A. ? 1 ;

B. ?

3 ; 3

C.

2 ; 2

D. 1 .

8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的图像是一条连续不断地曲线,且有部分对应值如表所示, 那么函数 f ( x) 一定存在零点的区间是( A. ) D. (3,??)

(??,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

第 1 页 共 5 页

x
f ( x)

1

2

3

?

3 2

?1

3 2

9.函数 y ? A

1 , y ? x 2 , y ? 3 x , y ? log2 x 中,在区间 (0,??) 上单调递减的是( x 1 x
B



y?

y ? x2

C y ? 3x

D y ? log2 x )

10.已知直线 x ? y ? 2 ? 0 与直线 mx ? y ? 0 垂直,那么 m 的值是(

A. ? 2

B. ? 1

C.

1

D. 2
1 3
x

x 11. 在同一坐标系中,函数 y ? 3 的图与 y ? ( ) 的图象(



A.关于 x 轴对称; B.关于 y 轴对称; C.关于原点 y ? x 对称; D.关于直线 y ? x 对称. 12. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a4 ? 8 ,那么 ?an ? 的前 5 项和是(



A. ? 31

B . 15

C. 31

D. 63 )

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.已知实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 那么目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值是 ( ? y?0 ?

A. ? 6
2 3

B. ? 4

C.
3 4

?2

D. 4


14. 某程序框图如图所示,执行该程序后输出的 S 的值是( A. B. C.

4 5

D.

5 6

2 15. 函数 y ? (sin x ? cos x) 的最小正周期是: (

) D. 2? .
8

A.

? ; 2

B. ? ;

C.

3? ; 2

16. 已知函数 f ( x) 是定义在 [?4,0) ? (0,4] 上的奇函 数, 当时, f ( x) 的图像如图所示, 那么 f ( x) 的 值域是( A. ) B. [?6,6]
15

6

4

(?4,4)

2

C. (?4,4) ? (4,6]

D. [?6,?4) ? (4,6]
10 5 2

O

4

5

10

15

17.边长为 2 的正三角形的顶点和各边的中点共 6 个点,从中任选两点,所选出的两点之间 距离大于 1 的概率是( )
4 6

第 2 页 共 5 页

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 5

D.

3 5

18. 设 a , b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题: ① 如果 a // ? , b // ? ,那么 a // b ; 么 a // b ; ③如果 ②如果 a ∥ ? , a ? ? , b ?

? ,那

? ? ? , a ? ? , 那么 a ? ? ;

④如果 a ? ? , a // b , b ? ? , 那么

? ??
其中正确命题的序号是(
A. ① B. ②


C. ③ D. ④

19. 在 ?ABC 中,如果 AB ? 5, AC ? 3, BC ? 4 ,那么角 AB ? AC 等于: (



A. 9 ;

B. 12 ;

C. 15 ;

D. 20 .

20. 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 与 g ( x) ? (a ? 1) x 的图像没有 交点,那么实数的取值范围是 ..
( A. )

(??,0]

B. (0, )

1 2

C. [ ,1)

1 2

D. [1,??)

第二部分

非选择题(共 40 分)

二、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分)
1

21.计算 9 2 ? log2 4 ?



22.一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查,随机抽取了 100 名学生, 将他们的手机话费情况进行统计分析,绘制成频率分布直方图(如图所示) 。如果该校有大

) 学生 5000 人,请估计该校每月手机话费在 [50,70 的学生人数是
频率/组距



0.0165 0.016

0.008 0.005 0.0045

0

10

30

50

70

90

110



第 3 页 共 5 页

23. 在 长 度 为 3 的 线 段 AB 上 任 取 一 点 C , 那 么 线 段 AC 的 长 度 小 于 2 的 概 率


24.2014 年 12 月 28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价。 乘坐地铁 (不包括机场线) 具体方案如下: 6 公里 (含) 内 3 元; 6 公里至 12 公里 (含) 4 元;12 公里至 22 公里(含)5 元;22 公里至 32 公里(含)6 元;32 公里以上部分每增加 1 元可乘坐 20 公里。使用市政交通一卡通刷卡,每自然 月 内每张卡支出累计满 100 元以后 .. . 的乘次 ,价格给予 8 折优惠;满 150 元以后的乘次 ,价格给予 5 折优惠;支出累计达到 400 .. .. 元以后的乘次 ,不再享受打折优惠。 .. 小李上班时,需要乘坐地铁 15.9 公里到达公司,每天上下班共乘坐两次,每月按上 班 22 天计算。 如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通, 那么小李每月第 21 次乘坐地 铁时,他刷卡支出的费用是 元;他每月上下班乘坐地铁的总费用是 元。

二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分) 如图,在三棱锥 P - ABC 中, AB ? BC , D , E 分别是 AB,AC 的中点,且 PE ? 平面

ABC 。
(1) 求证: (2) 求证:

BC ∥平面 PDE ;
AB ? 平面 PDE .

P

A D

E B

C

26. (本小题满分 7 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .且 a ? 2 3 , b ? 2, A ?
(1)求角 B 的大小; (2)如果函数 f ( x) ? sin x ? sin(x ? 2B), 求函数 f ( x) 的单调递增区间。

?
3

第 4 页 共 5 页

27. (本小题满分 7 分)
已知点 A(0,4) ,圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 ,点 P 在圆 O 上运动。 (1) 若果 ?OAP 是等腰三角形,求点 P 的坐标; (2) 若果直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q ,且 AP 程。
2

? AQ ? 36 ,求直线 AP 的方

2

28. (本小题满分 7 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? an2 ? bn ? 1(a, b 为常数,

n? N*)
(1)如果 ?an ? 为等差数列,求 a , b 的值; (2)如果 ?an ? 为单调递增数列,求 a ? b 的取值范围。

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