2018版高中数学北师大版必修四学案:第二章 6 平面向量数量积的坐标表示

学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量 数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两 个向量垂直. 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量. 思考 1 i· i,j· j,i· j 分别是多少? 思考 2 取 i,j 为坐标平面内的一组基底,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),试将 a,b 用 i,j 表 示,并计算 a· b. 梳理 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=________________.这就是说,两个向量的数量 积等于相应坐标乘积的和. 知识点二 向量模的坐标表示 思考 若 a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示. 梳理 设 a=(x,y),则|a|2=____________,或|a|=____________. 知识点三 向量夹角的坐标表示 思考 设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,那么 cos θ 如何 用坐标表示? 梳理 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 (1)cos θ= x1x2+y1y2 2 2 2. x1+y1 · x2 2+y2 (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 知识点四 直线的方向向量 思考 1 什么是直线的方向向量? 思考 2 直线的方向向量唯一吗? 梳理 (1)给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m=(1,k)与直线 l 共线,我们把与直线 l 共线的非 零向量 m 称为直线 l 的方向向量. A (2)对于直线 l:Ax+By+C=0,可取直线 l 的方向向量为 m=(1,- )(B≠0),或取直线 l 的 B 方向向量为 m=(B,-A). 类型一 平面向量数量积的坐标表示 例 1 已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a(b· c)及(a· b)c. 反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设向量一 般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设向量,还可以验证一般情况 下(a· b)· c≠a· (b· c),即向量运算结合律一般不成立. 跟踪训练 1 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a 等于( A.-1 B.0 C.1 D.2 类型二 向量的模、夹角问题 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,O 是原点(如图).已知点 A(16,12),B(-5,15). ) → → (1)求|OA|,|AB|; (2)求∠OAB. 反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= x2+y2求两向量的模. (3)代入夹角公式求 cos θ,并根据 θ 的范围确定 θ 的值. 跟踪训练 2 已知 a=(1,-1),b=(λ,1),若 a 与 b 的夹角 α 为钝角,求 λ 的取值范围. 类型三 向量垂直的坐标形式 例3 (1)已知 a=(-3,2),b=(-1,0),若向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为( ) 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 7 7 6 6 → → (2)在△ABC 中,AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC 是直角三角形,求 k 的值. 反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化,若在关 于三角形的问题中,未明确哪个角是直角时,要分类讨论. → → → 跟踪训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 A(1,4), B(-2,3), C(2, -1), 若(AB-tOC)⊥OC, 则实数 t=____. 1.已知 a=(3,-1),b=(1,-2),则 a 与 b 的夹角为( π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2 ) 1 3 3 1 → → 2.已知向量BA=? , ?,BC=? , ?,则∠ABC 等于( 2 2 2 2? ? ? ? A.30° C.60° B.45° D.120° ) 3.已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ 等于( A.-4 C.-2 B.-3 D.-1 ) 4.已知平面向量 a,b,若 a=(4,-3),|b|=1,且 a· b=5,则向量 b=____________. 5.已知 a=(4,3),b=(-1,2). (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数 λ 的值. 1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握 这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量数量积 的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有 力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不 断地提高利用向量工具解决数学问题的能力. 3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、记忆.若 a=(x1, y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0. 4. 事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时, 向量夹角问题却隐藏了许多 陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围,稍 不注意就会带来失误与错误. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 i· i=1×1×cos 0=1,j· j=1×1×cos 0=1,i· j=0. 思考 2 ∵a=x1

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