高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课件新人教B版必修25_图文

2.3

圆的方程

2.3.1

圆的标准方程

1.掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准 方程;能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径,并运用圆的标准 方程解决一些简单的实际问题. 2.掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法,并能借助圆的几 何性质处理与圆心及半径有关的问题. 3.会判断点与圆的位置关系.

1

2

3

1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心, 定长是圆的半径.设M(x,y)是☉C上的任意一点,点M在☉C上的条件 是|CM|=R,R为☉C的半径. 名师点拨 圆的常用几何性质如下: (1)圆心在过切点,且与切线垂直的直线上; (2)圆心必是两弦中垂线的交点; (3)不过圆心的弦,弦心距d,半弦长m及半径R满足R2=d2+m2; (4)直径所对的圆周角是90°,即圆的直径的两端点与圆周上异于 端点的任意一点的连线互相垂直.

1

2

3

【做一做1】 已知圆O的一条弦长为2,且此弦所对圆周角为60°, 则该圆的半径为 .
2 3 答案: 3

1

2

3

2.圆的方程 (1)圆心在坐标原点,半径为R的圆的标准方程为x2+y2=R2. (2)圆心坐标为(a,B),半径为R的圆的标准方程为(x-a)2+(y-B)2=R2.

1

2

3

归纳总结 几种特殊形式的圆的标准方程

1

2

3

【做一做2】 圆心是O(-3,4),半径为5的圆的方程为 ( A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25 答案:D

)

1

2

3

3.点与圆的位置关系 设点P(x0,y0)和圆C:(x-a)2+(y-B)2=R2,则 点P在圆上?(x0-a)2+(y0-B)2=R2?|PC|=R; 点P在圆外?(x0-a)2+(y0-B)2>R2?|PC|>R; 点P在圆内?(x0-a)2+(y0-B)2<R2?|PC|<R.

1

2

3

【做一做3-1】 下面各点在圆(x-1)2+(y-1)2=2上的是(

)

A.(1,1) 答案:C

B.(2,1)

C.(0,0)

D.( 2, 2)

1

2

3

【做一做3-2】 点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上D.不确定 解析:因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点P在圆外. 答案:A

)

1

2

1.圆的图形不是函数的图象 剖析:根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂 直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的 图象,否则,不是函数的图象.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x 轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图象.但是存在 图象是圆弧形状的函数.

例如:函数 y= + 2 -(- )2 ( > 0)的图象是以(a,B)为圆心,半 径为 R 的位于直线 y=B 上方的半圆弧;函数 y= ? 2 -(- )2 ( > 0)的图象是以(a,B)为圆心,半径为 R 的位于直线 y=B 下方的半圆弧.

1

2

2.求圆关于一个点或一条直线对称的圆的方程的问题 剖析:要求圆C:(x-a)2+(y-B)2=R2关于点P(x0,y0)对称的圆的方程, 首先找圆心C(a,B)关于点P(x0,y0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径 不变. 如:求圆(x+1)2+y2=4关于原点对称的圆的方程.因为已知圆的圆 心是(-1,0),它关于原点的对称点是(1,0),所以所求的圆的方程为(x1)2+y2=4. 同理求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求圆心关于 直线的对称点.

1

2

· (-1) = -1, = 0, -1 得 = -1, + 1 = , 2 2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型一

求圆的标准方程

【例1】 根据下列条件分别求圆的标准方程:

(1)圆心为(3,4),半径等于 2; (2)以M(-4,-5),N(6,-1)为直径两端点; (3)圆心为(1,-3),经过点(-3,-1); (4)圆心为(2,-5),且与直线4x-3y-3=0相切; (5)圆心在直线x=2上,且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2). (6)求经过点A(4,1),且与直线x-y-1=0相切于点B(2,1)的圆的方程.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

分析:(1)(2)(3)(4)(5)根据各个条件,分别确定圆心坐标和半径大小, 写出标准方程.(6)设圆的方程为(x-a)2+(y-B)2=R2,根据题目条件列 出关于a,B,R的方程组.解方程组求得a,B,R的值,即得圆的方程.

解:(1)圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=2; (2)依题意,MN 的中点(1,-3)即为圆心, 又|MN|= (-4-6)2 + (-5 + 1)2 = 2 29,
1

所以半径 = 2 || = 29, 故所求圆的标准方程是(x-1)2+(y+3)2=29.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(3)由两点间距离公式可得圆的半径 = [1-(-3)]2 + [-3-(-1)]2 = 2 5, 于是圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=20. (4)圆的半径即为圆心(2,-5)到直线 4x-3y-3=0 的距离,由于 d=
|4×2-3× (-5)-3| 16+9

= 4, 于是圆的标准方程为(x-2)2+(y+5)2=16.

(5)因为圆与 y 轴交于点 A(0,-4),B(0,-2),所以圆心在直线 y=-3 上. 又因为圆心在直线 x=2 上,所以圆心坐标为(2,-3),半径 = (2-0)2 + (-3 + 2)2 = 5, 所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(6)设圆的方程为(x-a)2+(y-B)2=R2. (4- )2 + (1-)2 = 2 , -1 由点 A(4,1),B(2,1)在圆上,则 因为 = 2 2 2 -2 (2- ) + (1-) = , ?1, 解得a=3,B=0, = 2, 故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 1.在求圆的标准方程时,要注意中点坐标公式、点到直线的 距离公式、两点的距离公式的正确运用. 2.列方程组时要充分借助圆的几何性质,发现图中几何元素的关 系,转化为a,B,R的方程; 3.解方程组时,要充分利用加减消元法,不要盲目运用代入消元法. 要将两者结合起来.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练1】 求下列圆的方程. (1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1); (2)圆心C(3,0),且截直线y=x+1所得弦长为4. (3)求经过点P1(4,9)和P2(6,3),且以P1P2为直径的圆的标准方程.

解:(1)设圆心为(a,-2a),则圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=R2.

-2 + 1 · (-1) = -1, -2 由
= (-2)2 + (-2 + 1)2 , 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.

= 1, 解得 = 2,

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(2)设圆的方程为(x-3)2+y2=R2,利用点到直线的距离公式可以求 得 d=
|3-0+1| 1+1

= 2 2, (2 2) +
2

所以 =

4 2 2

= 2 3.
4+6 9+3 , 2 2

所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=12. (3)由题意可知,圆心 C 为 P1P2 的中点,它的坐标为 即为(5,6). 半径 R=|CP1|= (5-4)2 + (6-9)2 = 10. ,

故圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型二

判断点与圆的位置关系

【例2】 (1)圆的直径端点为(2,0),(2,-2),求此圆的方程,并判断 A(5,4),B(1,0)是在圆上、圆外,还是在圆内; (2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求实数m的取值范围. 分析:(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程.判断点在圆上、 圆外、圆内的方法是:根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系 来判断. (2)利用点在圆的外部建立不等式求m的取值范围.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:(1)由已知得圆心坐标为C(2,-1),半径R=1.

∵|AC|= (5-2)2 + (4 + 1)2 = 34 > 1,
|| = (1-2)2 + (-1-0)2 = 2 > 1,

则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=1. ∴A,B两点都在圆外. (2)∵点P(-2,4)在圆的外部, ∴(-2+1)2+(4-2)2>m, 解得m<5. 又∵方程表示圆, ∴有m>0. 因此实数m的取值范围是0<m<5.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 一般地,以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程是(xx1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.例如本例(1)中,由于直径端点分别为(2,0)和 (2,-2),因此圆的方程为(x-2)(x-2)+y(y+2)=0,整理即得(x2)2+(y+1)2=1.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练2】 下列各点中在圆(x+3)2+(y-1)2=5的外部的是 ( ) A.(-2,0) B.(-3,3) C.(-1,4) D.(-1,2) 解析:因为(-1+3)2+(4-1)2=4+9=13>5,所以点(-1,4)在圆外部. 答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型三

求圆关于点(线)对称的圆
1 2 - 2

【例 3】 试求圆 C:

+ ( + 1)2 = 4 关于直线: ? + 1 =

5

0 对称的曲线′的方程.
分析:对称圆的圆心坐标变化、半径不变,另外也可利用相关点 法来求.
解:(方法一)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只 需求圆心C'关于直线l的对称点,

圆心 2 ,-1 关于直线l:x-y+1=0 的对称点为 C′ -2, 2 , 因此所求圆C'的方程为(x+2) +
2

1

3

3 2 - 2

= 4.

5

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(方法二)设P'(x,y)为所求曲线C'上任意一点,P'关于l的对称点为 P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.

由题意可得

+0 +0 - 2 2 -0 -0

+ 1 = 0, = -1, 解得 0 (?) 0 = + 1. · 1 = -1,
5

因为 P(x0,y0)在圆 C 上, 所以
1 2 0 - 2 3 2 2

+ (0 + 1)2 = 4 , 将(*)代入, = ,
2

得(x+2)2+

5 4

即曲线 C'的方程是(x+2) +

3 2 2

= .

5 4

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 本例中方法一更简单一些.但需掌握点关于直线的对称点坐 标的求法.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练3】 若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1 解析:圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆心C(2,-1),故圆 C的方程为(x-2)2+(y+1)2=1. 答案:A

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型四

圆的标准方程的实际应用

【例4】 如图,一座圆拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2 m,水面 宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米?

分析:建立平面直角坐标系,求出圆拱桥所在圆的标准方程,再利 用方程解决相关问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:以圆拱桥拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平 面直角坐标系,如图.

设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2). 设圆的半径为R,则C(0,-R),即圆的方程为x2+(y+R)2=R2,① 将点A的坐标(6,-2)代入方程①, 得36+(R-2)2=R2, 解得R=10.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.② 当水面下降1 m后, 可设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),

将 A'的坐标(x0,-3)代入方程②,得 x0= 51, 则水面宽为 2x0=2 51(m). 故当水面下降 1 m 后,水面宽 2 51 m.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 建立的平面直角坐标系不同,圆的方程也不同.建立平面直角 坐标系时,要尽量使方程简单,并有利于目标实现.本题若选择其他 方法建立平面直角坐标系也不影响结论.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练4】 已知某隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只 能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶 入这个隧道?

解:以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴, 建立直角坐标系如图,则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0),将

x=2.7 代入,得 y=

16-2.72 = 8.71 < 3, 即在离隧道中心线2.7 m

处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型五

易错辨析

易错点一:对几何关系把握不准确致错 【例5】 已知圆C的半径为2,且与y轴和直线4x-3y=0都相切,试求 圆C的标准方程. 错解:由题意可设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-B)2=4,因为圆C与y 轴相切,可知a=2,

又因为圆 C 与直线 4x-3y=0 相切,可知 B=? 3. 故圆 C 的标准方程为(x-2)2+(y-6)2=4
2

|4×2-3| 4 +(-3)
2 2

= 2, 得=6 或

或(x-2)2+

2 2 + 3

= 4.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

错因分析:圆C与y轴相切意味着|a|=2,而不是a=2. 正解:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-B)2=4,由题意可得|a|=2即 a=±2. 当a=2时,由圆C与4x-3y=0相切,得
|4×2-3| 5 2 = 2, 解得=? 3 或=6; |4× (-2)-3| a=-2 时,由 = 2, 解得=-6 5 2 2 + 3



或 =

2 . 3 2 2 - 3

综上可知,满足条件的圆的标准方程为(x-2)2+(y-6)2=4 或 (x-2) +
2

= 4 或(x+2) +(y+6) =4 或(x+2) +
2 2 2

= 4.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

易错点二:对圆的标准方程理解不深致错 【例6】 已知圆的方程是(3x-3)2+(3y+4)2=9,则该圆的圆心坐标 为 ,半径等于 . 错解:由圆的方程知圆心坐标为(3,-4),半径R=3. 错因分析:对圆的标准方程的形式理解不深刻,所给出的圆的方 程中,x与y的系数不是1,故不是标准方程,因此所得结论错误.

正解:由方程可得(x-1) +
2

4 2 + 3

= 1, 故圆心坐标是 1,- 3 ,

4

半径为1.

1

2

3

4

5

1.圆C:(x-a)2+(y+1)2=3的圆心坐标是( A.(a,1) B.(a,-1) C.(-a,1)D.(-a,-1) 答案:B

)

1

2

3

4

5

2.以点A(-5,4)为圆心,且与x轴相切的圆的标准方程为 ( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2=16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2=25 解析:因为圆与x轴相切,所以R=4.故圆的标准方程为(x+5)2+(y4)2=16. 答案:A

1

2

3

4

5

3.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( ) A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 解析:求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于 点或直线的对称点.求得圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0),则所 求的圆的方程为(x-2)2+y2=5. 答案:A

1

2

3

4

5

4.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点A(1,0)的圆的方程 为 . 解析:设其圆心为P(a,a),而切点为A(1,0),则PA⊥x轴,所以由PA所在 直线x=1与y=x联立,得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2=1.也可通过数形 结合解决,若圆与x轴相切于点(1,0),圆心在y=x上,可推知此圆与y轴 切于点(0,1). 答案:(x-1)2+(y-1)2=1

1

2

3

4

5

5.已知点P是曲线x2+y2=16上的一动点,点A是x轴上的定点,坐标为 (12,0).当点P在曲线上运动时,求线段PA的中点M的轨迹方程.

解:设 M(x,y),P(x0,y0).
0 +12 由题意,得 2

=

0 +0 , 2

= .

所以 x0=2x-12,y0=2y.
2 2 因为点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=16 上,所以0 + 0 = 16. 所以(2x-12)2+(2y)2=16,即(x-6)2+y2=4.


相关文档

精选-高中数学第二章平面解析几何初步2-3圆的方程2-3-1圆的标准方程练习新人教B版必修2
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课件新人教B版
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课件新人教B版必修2
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程练习新人教B版必修220
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程练习新人教B版必修2
2017年高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课件新人教B版必修2
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程课件新人教B版
2017年高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课件新人教B版必修220171030115
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.4圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系课件新人教B版必修2
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科