新编北京市朝阳外国语学校高三第一次月考数学(理)试题(含答案)

北京市朝阳外国语学校 20xx-第一次月考
高三年级 数学试卷(理科)

班级___________

姓名____________

成绩______________

一、选择题:(本大题共 8 小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)

1.在复平面内,复数 z ? 2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1?i

()

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2.设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a ? b | a ? P,b ? Q}, 若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q

中元素的个数是

()

A.9

B.8

C.7

? ? 3. 已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则向量 a与b 的夹角为

D.6

()

A. ? 6

B. ? 4

C. ? 3

D. ? 2

4. 函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (其中 A >0, ? < π 的图象如图所示,为了得到 g(x) ? sin 3x 的图象, 2

只需将 f (x) 的图象

()

A.向左平移 π 个单位长度 4

B. 向右平移 π 个单位长度 4

C.向左平移 π 个单位长度 12

D.向右平移 π 个单位长度 12

5. 在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在Sa11,Sa22,…,Sa1155中最大的是(

)

A.

S1 a1

B.

S8 a8

C.

S9 a9

D.

S15 a15

6. 已知? ? 0 ,函数 f (x) ? sin(?x ? ? ) 在 (? ,? ) 上单调递减.则? 的取值范围是( )
42

A. [1 , 5] 24

B. [1 , 3] 24

1 C. (0, ]
2

D. (0, 2]

7. 已知 O 为△ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则△AOB.△AOC.△BOC 的面积之比等于( )

A.9:4:1

B.1:4:9

C.3:2:1

D.1:2:3

8.已知函数

f(x)=

?2 x ?

?1, (x

?

0)

,把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数

? f (x ?1) ?1, (x ? 0)

列,则该数列的通项公式为
A. an ? n ? 1 C. an ? n(n ?1)

B.

an

? n(n ?1) 2

D. an ? 2n ? 2

()

二、填空题:(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填写在题中的横线上.)

9. 已知向量 a ? ( 3,1) , b ? (0, ?1) , c ? (k, 3) ,若 a ? 2b 与 c 共线,则 k ? ________.

10. 设首项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 80,它的前 2n 项和为 6 560,且前 n 项 中数值最大的项为 54,则此数列的第 2n 项 a2n=______________.

?13

11.

对大于

l

的自然数

m

的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23

?3 ??5

,

33

?7 ??9 ??11

,

4

3

??15 ??17 ??19

,,仿此,

若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为______________.

12. 已 知 ?ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 若 ?ABC 的 面 积 为 S, 且

2S ? ?a ? b?2 ? c2,则tan C 等于_____________.

13.设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ a2 +7.若 f(x)≥a+1 对一 x
切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为______. 14. 已知条件 p:x-4 1≤-1,条件 q:x2-x<a2-a,且 q 的一个充分不必要条件是 p,则 a 的取值范 围是________.

三、解答题:(本大题共 5 个小题,70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15. 已知向量 m ? ( 3 cos x , cos x ), n ? (sin x , cos x), 函数 f (x) ? m ? n .

44

44

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间;

(Ⅱ)在锐角 ABC 中, A, B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 a cos C ? 1 c ? b, 求 f (2B) 的取值范围. 2

16. 数列{an}的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2n?1 ? (n ? 1),等差数列 {bn} 的各项为正实数,其前 n 项和为 Tn ,且T3 ? 9, 又a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列.
(I)求数列{an}、 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an.bn ,当 n≥2 时,求数列{cn}的前 n 项和 An.

17. 在锐角△ABC 中, b2 ? a2 ? c2 ? cos( A ? C) 。

ac

sin Acos A

(I)求角 A;

(II)若 a ?

2

,当 sin

B

? cos(7? 12

?

c)

取得最大值时,求

B



b。

18.已知函数 f (x) ? ln(x ?1) ? k(x ?1) ?1(k ? R) ,
(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f (x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: ln 2 ? ln 3 ? ? ln n < n(n ?1) ( n ? N , n >1).
3 4 n?1 4

19. 已知数列?an? 的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数 a1, a2 , a4 , a7 ,??? 构成 等差数列?bn? , Sn 是?bn? 的前 n 项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15

( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公
比相等,已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值;

? ? (Ⅱ)设 Tn

?

1 Sn?1

?

1 Sn?2

?????

1 S2n

,当 m?

?1,1

时,对任意 n? N? ,不等式 t2

?

2mt

?

8 3

?

Tn

恒成立,求 t 的取值范围.

20.已知 a?R ,函数 f (x) ? a ? ln x ?1 , g(x) ? ?ln x ?1? ex ? x (其中 e 为自然对数的底数).
x
(1)判断函数 f (x) 在 (0, e] 上的单调性;
(2)是否存在实数 x0 ? (0,??) ,使曲线 y ? g(x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在,求出 x0
的值;若不存在,请说明理由.
(3)若实数 m, n 满足 m ? 0, n ? 0 ,求证: nnem ? mnen

一、选择题:DBCD BACA 二、填空题:
9. 1 10. a2n=2×32n-1 11. 8

参考答案

12. ? 4 3

13. (-∞, ? 8 ] 7

14. [0,1]

三、解答题:(本大题共 5 个小题,70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.

16.

17.

18.

19. 【答案】解: (Ⅰ) {bn} 为等差数列,设公差为 d ,b1 ? 1, S5 ? 15,?S5 ? 5 ? 10d ? 15, d ? 1 ?bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n.
设从第 3 行起,每行的公比都是 q ,且 q ? 0 , a9 ? b4q2, 4q2 ? 16, q ? 2, 1+2+3++9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 而 a50 ? b10q4 ? 10 ? 24 ? 160.

(Ⅱ)

Sn

?1? 2 ?

?n

?

n(n ? 1) , 2

?Tn

?

1 Sn?1

?

1 Sn?2

?

?1 S2n

?

2

?

2

?? 2

(n ? 1)(n ? 2) (n ? 2)(n ? 3) 2n(2n ? 1)

? 2( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ) n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2n 2n ?1

? 2( 1 ? 1 ) ?

2n

.

n ? 1 2n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)



f (x) =

2x

(x ?

(x + 1)(2x + 1)

1) ,

f ?(x) =

2- 4x2 (x + 1)2 (2x + 1)2

,

当 x ? 1 时 f ?(x) < 0, f (x)在[1,+ ? ) 上为减函数,

\

Tn 为递减数列, Tn 的最大值为 T1 =

1 3

\ 不等式变为 t2 - 2mt - 3 > 0 恒成立,设 g(m) = - 2tm + t2 - 3, m ? [ 1,1],



ì?镲 眄 镲 ?? gg

(- 1) (1) >

> 0

0,即ì? 2t + t2 - 3 > 0 ,解得 t > ?? - 2t + t2 - 3 > 0

3或t <

-

3

21.解(1)∵

f (x) ?

a x

? ln x ?1, x ? (0,??) ,∴

f ?(x) ? ?

a x2

?1 x

?

x?a x2



……1 分

①若 a ? 0 ,则 f ?(x) ? 0 , f ? x? 在 (0, e] 上单调递增;

……2 分

②若 0 ? a ? e ,当 x ??0, a? 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f ? x? 在区间 ?0, a? 上单调递减,

当 x ??a,e? 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f ? x? 在区间 ?a, e?上单调递增,

……4 分

③若 a ? e ,则 f ?(x) ? 0 ,函数 f ? x? 在区间 ?0, e? 上单调递减. ……5 分

(2)解:∵ g(x) ? ?ln x ?1?ex ? x , x ? (0,??) ,

? ? g?(x) ? ?ln x ?1?? ex ? ?ln x ?1?

ex

? ?1 ?

ex x

? ?ln x ?1? ex

?

1

?

? ??

1 x

?

ln

x

?

1???

e

x

?1,

……6 分

由(1)易知,当 a ?1时,

f ( x) ?

1 x

? ln x ? 1在 (0,??) 上的最小值:

f (x)min

?

f (1) ? 0 ,即

x0

? (0,??) 时,

1 x0

? ln

x0

?1?

0.

……8 分

又 ex0

?

? 0 ,∴ g?(x0 ) ? ?
?

1 x0

? ln x0

?

? 1?

e

x0

?

?1?1? 0.

……9 分

曲线 y ? g(x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g?(x0 ) ? 0 有实数解.

而 g?? x0 ? ? 0 ,即方程 g?(x0 ) ? 0 无实数解.故不存在.

……10 分

(3)证明: nnem ? mnen ? ( n )n ? en?m ? n ln n ? n ? m ? ln n ? 1? m

m

m

mn

,由(2)知 1 ? ln x ?1 ? 0 ,令 x ? n 得 m ? ln n ?1? 0 .……15 分

x

mn m

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