2017-2018版高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1

2 导数的概念及其几何意义 学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数, 理 解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 知识点一 导数的概念 思考 1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系? 梳理 定义式 记法 实质 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是 y=f(x)在 x=x0 处的________________ x1→x0 lim f x1 -f x0 =____________________ x1-x0 知识点二 导数的几何意义 如图,Pn 的坐标为(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…),P 的坐标为(x0,y0),直线 PT 为过点 P 的 切线. 思考 1 割线 PPn 的斜率 kn 是多少? 1 思考 2 当点 Pn 无限趋近于点 P 时,割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? 梳理 (1)切线的定义:当 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的 直线 PT 称为________的切线. (2) 导数 f′(x0) 的几何意义:函数 f(x) 在 x = x0 处的导数就是切线的斜率 k ,即 k = ________________________________________________________________________. (3)切线方程:曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为________________________. 类型一 利用定义求导数 例 1 求函数 f(x)=3x -2x 在 x=1 处的导数. 2 反思与感悟 求一个函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤如下: (1)求函数值的变化量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0); Δy f (2)求平均变化率 = Δx x0+Δ x -f x0 ; Δx Δy . Δx 2 (3)取极限,得导数 f′(x0)=Δ lim x→0 跟踪训练 1 利用导数的定义求函数 f(x)=-x +3x 在 x=2 处的导数. 类型二 求切线方程 2 命题角度 1 求在某点处的切线方程 例 2 已知曲线 y=2x 上一点 A(1,2),求: (1)点 A 处的切线的斜率; (2)点 A 处的切线方程. 2 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤 跟踪训练 2 曲线 y=x +1 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是________. 命题角度 2 曲线过某点的切线方程 1 2 7 例 3 求抛物线 y= x 过点(4, )的切线方程. 4 4 2 反思与感悟 过点(x1,y1)的曲线 y=f(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0,y0); 3 (2)建立方程 f′(x0)= y1-y0 ; x1-x0 (3)解方程得 k=f′(x0),x0,y0,从而写出切线方程. 跟踪训练 3 求过点(-1,-2)且与曲线 y=2x-x 相切的直线方程. 3 类型三 导数的几何意义的综合应用 例 4 已知曲线 f(x)=x +1 与 g(x)=x +1 在 x=x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值. 2 3 引申探究 若将本例的条件“垂直”改为“平行”,则结果如何? 反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率,已知切点可以求斜率,反过来,已知斜 率也可以求切点,从而可以与解析几何等知识相联系. 跟踪训练 4 已知直线 l:y=4x+a 与曲线 C:y=x -2x +3 相切,求 a 的值及切点坐标. 3 2 4 1. 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 且有 f(x0+Δ x)-f(x0)=aΔ x+b(Δ x) (a, b 为常数), 则( ) B.f′(x)=b D.f′(x0)=b 2 A.f′(x)=a C.f′(x0)=a 9 2.曲线 f(x)= 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( x ) A.45° C.135° B.60° D.120° 3.如图,函数 y=f(x)的图像在点 P(2,y)处的切线是 l,则 f(2)+f′(2) 等于( A.-4 C.-2 2 ) B.3 D.1 4.已知函数 y=ax +b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则 =________. 1 ? 1? 5.求曲线 y= 在点?2, ?处的切线方程. x ? 2? b a 1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k=Δ lim x→0 f x0+Δ x -f x0 =f′(x0). Δx 5 2.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以 该点为切点的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0); 若已知点不在切线上, 则设出切点(x0, f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点. 6 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在 x0 Δy 点处变化的快慢;当 Δ x 趋于 0 时,平均变化率 趋于一个常数,这个常数即为函数在 x0 Δx 处的瞬时变化率,它是一个固定值. 梳理 Δ x→0 lim f x0+Δ x -f x0 Δx f′(x0)瞬时变化率 知识点二 思考 1 割线 PPn 的斜率 f xn -f x0 kn= . xn-x0 思考 2 kn 无限趋近于切线 PT 的斜率 k. 梳理 (1)点 P 处 (2)liΔ m x→0 f x0+Δ x -f x0 =f′(x0) Δx (3)y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 题型探究 例 1 解 ∵Δ y=3(1+Δ x) -2(1+Δ x)-(3×1 -2×1) =3(Δ x)

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