高中数学论文解析几何直线方程中四类对称问题及应用

四类对称问题及其应用
我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种:点关于点对称;点关于线对 称;线关于点对称;线关于线对称。 一、点关于点的对称
如果点 P (x0,y0 ) 与 P? 关于点 M(a,b)对称,则 M 是线段 P P? 的中点,

P (x0,y0 ) ?关?于?点M?(a,?b)?的对?称?点? P? ( 2a ? x0,2b ? y0 ) ( 依据中点坐标公式)特别的

P (x0,y0 ) ?关?于?坐标?原点?对?称? P? ( ? x0,? y0 )

二、点关于直线对称

求一点P0(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P的坐标的问题。 (1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x、y=-x、

x轴、y轴、x=a、y=b时,对称点的坐标分别为P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,-y0)、 P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。
(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时,可设P1的坐标为(x1,y1),则PP1的中点 满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可 以得到关于x1、y1的一个二元一次方程组,从而可以解出x1、y1。
(3)公式法. 设P1的坐标为(x1,y1),由公式

? ?

x1

?

? ?

y1

? ?

x0 y0

? ?

2A( Ax0 ? By0
A2 ? B2 2B( Ax0 ? By0
A2 ? B2

? C) ? C)

求出x1、y1的值。 三、直线和直线关于点对称

求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。根据对称性,只需将直 线方程A1x+B1y+C1=0中的x换为2x0-x、y换为2y0-y,即可求出要求直线的方程。 四、直线关于直线对称

求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。 (1) 直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x轴、y轴、y=x、y=-x时,直线A1x+B1y+C1=0 关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、 A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。 (2) 直线A0x+B0y+C0=0为一般直线时: 1>直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0平行时,则只需用两平行直线距离公 式即可求出要求直线。

2>若直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0相交于一A点时,利用到角公式就 可以求得直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线的斜率k,再利用直 线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。

关于这四类对称的应用常见的有这样几种类型: 一、角平分线问题
已知 ?ABC的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线 A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。
根据角平分线的性质,点A分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线 A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、 D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。 例 1:已知 △ABC 的顶点 A(-1,-4),内角 B、C 的平分线所在直线分别为 l1:y+1=0,l2:x+y+1=0 ,求 BC 边所在的直线方程。
, 解:A 关于 l1:y+1=0 对称点 A1(-1,2) A(-1,-4)关于 l2:x+y+1=0 的对
称点 A2(3,0)。 l1 和 l2 分别是内角 B、C 的平分线,∴A1,A2 在 BC 上, ∴BC 的直线方程由两点式的 x+2y-3=0。二、入射光线和反射光线问题 关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),
求反射线所在直线方程的有关问题。 根据光学性质,点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线
上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。这样,就知道了 反射光线BD上两点的坐标,由两点式就得到反射线所在直线方程。 例 2:光线从点 M(-2,3)射到 x 轴上一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光 线所在的直线的方程. 解:设 M′是 M(-2,3)关于 x 轴的对称点,则 M′的坐标为(-2,-3).又 反射线所在直线就是过点 M′、P 的直线,所以反射线所在的直线方程为 y ? 3 ? x ? 2 ,即:x-y-1=0 0?3 1?2 三、线段之和最小问题
例 3 求 y= (x ? 3)2 ? (x ? 3)2 + (x ?1)2 ? (x ? 5)2 的最小值
原式可转化为点(x,x)到 A(-3,3),B(1,5)两点的距离之和. ∴此题即为直线 y=x 上求一点 P,使 P 与两点 A(-3,3),B(1,5)的距离之 和最小,B(1,5)关于 y=x 的对称点 B1(5,1),连 AB1 交直线 y=x 于点 P, 设 P1 为 y=x 上不同于 p 的点, 则∣P1A∣+∣P1B∣=∣P1A∣+∣P1B1∣>∣AB1∣=∣PA∣+∣PB∣,P 为所求,最
小值为∣AB1∣= (?3 ? 5)2 ? (3 ?1)2 =2 17


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