安徽省安庆一中高二数学人教A版选修1-1课件:2.2.2 反证法(共26ppt)_图文

2.2.2 反证法 路 边 苦 李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李 树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎 站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小 伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法? 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在 “道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多 李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李. 1.反证法的定义. 2.反证法的一般步骤. (重点) 3.运用反证法的注意事项. (难点) 探究点1 反证法的定义 引例: 证明:在一个三角形中至少有一个角不小 于60°. 已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°. 证明: 假设? A BC 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°, 则有∠ A <60°,∠B < 60°, ∠C <60° 所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. 所以假设不成立,所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑推 理,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相 矛盾,说明假设不成立,从而得到原结论正确. 这种证明方法就是——反证法 反证法 一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条 件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾.因此说明假设错误,从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法. 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明. 注:反证法是最常见的间接证法. 反证法的证明过程 否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤:反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理, 得出矛盾; 存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而 肯定原结论成立. 归谬矛盾: (1)与已知条件矛盾. (2)与假设矛盾或自相矛盾. (3)与已有公理、定理、定义、事实矛盾. 反证法的思维方法:正难则反. 探究点2 反证法的应用 万事开头难,让我们走好第一步! 你能说出下列结论的反面吗? 1. a⊥b a不垂直于b 2.d是正数 3.a≥0 d不是正数,即d≤0 a< 0 4.a∥b a不平行b 常用的互为否定的表述方式: 至少有三个—— 最多有一个—— 至多有两个 至少有两个 准确地作出反设 ( 即否定结论 ) 是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式. 原词语 等于 是 否定词 不等于 不是 原词语 任意的 至少有一个 否定词 某个 一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 都是 不大于 大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 成立 不成立 例1 已知直线a,b和平面 ? ,如果 a 且 a // b ,求证: ? ? ,b ? ? a , a // ? . ? 证明:因为a ∥b 所以经过直线a,b确定一个平 面 ?. ? b P ? ? ,而 a ? ? , 所以 ? 与 ?是两个不同的平面. 因为 a 因为 b ? ? , 且 b ? ? , 所以 ? ? ? ? b . 下面用反证法证明直线a与平面 ? 没有公共点,假设 直线a与平面 ? 有公共点P,则P ? ? ?? ? b ,即点P是 直线a与b的公共点,这与a∥b矛盾,所以a∥? . 例 2 求 证 2是 无 理 数 . 分析:直接证明一个数是无理数比较困难,我 们采用反证法. m 知道,任一有理数都可以写成形如 (m,n互质, n m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛 盾. 证明:假设 2 不是无理数,那么它就是有理数. 假设 2 不是无理数,那么它就是有理数.我们 m 于是,存在互质的正整数m,n使得 2 ? ,从而有 n m ? 2n, 因此 m 2 = 2n 2 , 4k 2 ? 2n 2 , 所 以 m 为 偶 数 .于 是 可 设 m = 2k(k是 正 整 数 ), 从 而 有 即 n = 2k , 2 2 所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 ! 由 上 述 矛 盾 可 知 假 设 错 误 , 从 而 2是 无 理 数 . 【总结提升】 反证法的一般步骤 分清条件和结论 先假设命题的结论不成立 从假设出发,经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 宜用反证法证明的题型 (1)以否定性判断作为结论的命题. (2)某些定理的逆命题. (3)以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈 述的命题. (4)关于“唯一性”结论的命题. (5)解决整除性问题. (6)一些不等量命题的证明. (7)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段. (8)涉及各种“无限”结论的命题等. 1.“a<b”的反面应是( D ) A. a≠b或a>b B. a >b C. a=b D. a=b或a>b 2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角” 时,应假设 三角形中有两个或三个角是直角 ____________ . 3.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正 确的反设为( D ) A.a,b,c都是奇数 B. a,b,c都是偶数 C. a,b,c中至少有两个偶数 D. a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数 4.如图,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是 锐角. 证明:假设结论不成立,则∠B是直角或钝角. 当∠B是直角时,则∠B+ ∠C= 180°, 这与三角形的三个内角和等于180°矛盾; 当∠B是钝角时,则∠B+ ∠C>180°, 这与三角形的三个内角和等于180

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