安徽省安庆一中高二数学人教A版选修1-1课件:2.3 数学归纳法(共28ppt)_图文

2.3 数学归纳法 我是 一毛 我是 二毛 我是 三毛 我不是 猜:四 四毛! 毛! 我是小 明! 我是 谁? 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (重点、难点) 探究点 数学归纳法的原理与定义 完全归纳法 问题1:口袋中有4个吃的东西,如何证明它们都是 糖? 把研究对象一一都考察到,而推出结论的归纳法. an 问题2:对于数列?an ? , 若a1 ? 1, an?1 ? . 1 ? an (1)求出数列前4项,你能得到什么猜想? (2)你的猜想一定是正确的吗? 解: a1 ? 1 1 猜想数列的通项公式为:an ? n 验证: 1 1 1 a6 = a7 = a5 = 6 7 5 1 1 ??? a8 = a9 = 9 8 逐一验证,不可能!!! 1 a2 ? 2 1 a3 ? 3 1 a4 = 4 (n ? N *) 不完全归纳法 从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法 能否通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都 成立? 多米诺骨牌 数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢? 数学归纳法的第一步:先证明n取第一个值时命题成 立. 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. 数学归纳法的第二步:假设当n=k时命题成立, 并证明当n=k+1时命题也成立. 相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒. 多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗? 相似性体现在哪些方面呢? 1.第几块骨牌,数列第几项都是与正整数有关的 问题. 2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个 的情况. 上述2,事实上给出了一个递推关系,换言之就 是假设第k块倒下,则相邻的第k+1块也倒下. 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件,证明上 述问题2猜想的结论吗? 证明: (1)当 n = 1 时, a1 = 1 = , 猜想成立. 1 1 (2) 假设当n ? k时, 猜想成立, 即ak ? . k 1 猜想数列的通项公式为 an ? . n 1 ak = 那么,当 n = k + 1时, ak +1 = 1 + ak 即当n ? k ? 1时, 猜想也成立. 1 1+ k 1 k = 1 k +1 根据(1)和(2),猜想对于任何 n ∈ N * 都成立. 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可 按下列步骤进行: 1.(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0?N*)时命题 成立. 2.(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k?N*)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数n都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. 数学归纳法: 验证n=n0时 命题成立. 若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立. 归纳递推 两个步骤 一个结论 缺一不可 归纳奠基 命题对从n0开始所有 的正整数n 都成立. 例1 2 用数学归纳法证明 2 2 2 证明: (1)当n=1时, 左边=12=1, 右边=1 等式成立 (2)假设当n=k( k ? N* )时等式成立,即 k (k ? 1)( 2k ? 1) 2 2 2 2 1 ? 2 ? 3 ? ???? k ? . 6 那么,当n=k+1时 k (k ? 1)( 2k ? 1) ? ? (k ? 1) 2 6 2 k (k + 1)( 2k + 1) + 6(k + 1) = 6 n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ???? n ? (n ∈ N * ). 6 1 + 2 + 3 + ? ? ? + k + (k + 1) 2 2 2 2 2 (k + 1)( 2k 2 + 7k + 6) = 6 (k + 1)( k + 2)( 2k + 3) = 6 (k ? 1)[( k ? 1) ? 1][ 2(k ? 1) ? 1] ? . 6 即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立. * 【总结提升】 问题1:甲同学猜想 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ?2n ? 1? ? n 2 ? 1 用数学归纳法证明步骤如下: 证明:假设n=k时等式成立,即 1 ? 3 ? 5 ? ?????? ?(2k ? 3) ? (2k ? 1) ? k ? 1 2 那么 1 ? 3 ? 5 ? ?????? ?(2k ? 1) ? (2k ? 1) ? k 2 ? 1 ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 2 ? 1 即n=k+1时等式成立. 所以等式对一切自然数 n ? N ? 均成立. 上述证法是正确的吗?为什么? 上述证明是错误的,事实上命题 1 ? 3 ? 5 ? ?????? ? (2n ? 3) ? (2n ? 1) ? n 2 ? 1 本身是错误的 当n = 1时,左边 = 1,右边 = 0 左边 ≠ 右边 结论1:第一步是递推的基础,缺少了第一步就失 去了保证,不要误认为第一步是一个简单的验证, 可有可无. 问题2:乙同学用数学归纳法证明 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ?2n ? 1? ? n 2 如采用下面证法,对吗?为什么? 证明:(1)当n ? 1时, 左边 ? 1 ? 右边. (2)假设当n ? k时,等式成立,即 1? 3 ? ?? ? 2k ? 1? ? k 2 . 上述证明没有用到 n=k命题成立这一归纳假设 则n ? k ? 1时, 1 ? ? 2k ? 1? ? ? k ? 1? ? 2 正解: ? ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2k ? 1? ? ? ? k ? 1? 1 ? 3 ? 5 ? ?????? ? (2k ? 1) ? (2k ? 2 1) 即n ? k ? 1时等

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