2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件:3.3.2 函数的极值与导数_图文

3.3.2

函数的极值与导数

[提出问题] 如图是函数 y=f(x)的图象.

问题 1:y=f(x)在 x=a 处的导数 f′(a)等于多少?
提示:f′(a)=0.

问题 2:当 x=a 时,f(x)取最大值吗?
提示:不是,但 f(a)比 x=a 附近的函数值都大.

问题 3:在 x=a 附近两侧导数 f′(x)的符号有什么特点?
提示:在 x=a 附近左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.

问题 4:当 x=d 时,请回答以上问题.
提示:①f′(d)=0;②不是,但 f(d)比 x=d 附近的函数值 都小;③在 x=d 附近左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.

[导入新知] 1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在 点 x=a 附近其
他点 的函数值都小,f′(a)= 0 ,而且在点 x=a 附近的左侧

f′(x) < 0,右侧 f′(x) > 0,就把 点 a 叫做函数 y=f(x)的极小 值点, f(a) 叫做函数 y=f(x)的极小值.

(2)极大值点与极大值 若函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在 点 x=b 附近其
他点 的函数值都大,f′(b)= 0 ,而且在点 x=b 附近的左侧

f′(x) > 0,右侧 f′(x) < 0,就把 点 b 叫做函数 y=f(x)的极大 值点, f(b) 叫做函数 y=f(x)的极大值. (3)极大值点和极小值点统称为 极值点 ,极大值和极小值统 称为函数的 极值 .

2.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0) 是 极大值 ; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0) 是 极小值 .

[化解疑难] 1.对极值概念的理解 (1)函数的极值是一个局部概念, 是某个点的函数值与它附近的 函数值比较是最大的或是最小的. (2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一, 也可能极 值不存在,并且极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.极值与极值点辨析 (1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标, 而不是 点;极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应 点的纵坐标. (2)极值点一定在区间的内部,端点不可能为极值点.

利用导数求函数的极值
[例 1] 求下列函数的极值:

1 ln x (1)f(x)= x3-x2-3x+3;(2)f(x)= x . 3
[解 ] (1)f′(x)=x2-2x-3.

令 f′(x)=0,得 x1=3,x2=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
f′(x)

(-∞,-1)


-1
0
14 3

(-1,3)
- 单调递减 ?

3
0

(3,+∞)


f(x)

单调递增?

-6

单调递增?

14 故当 x=-1 时,函数取得极大值,且极大值为 f(-1)= ; 3 当 x=3 时,函数取得极小值,且极小值为 f(3)=-6.

ln x (2)函数 f(x)= x 的定义域为(0,+∞), 1-ln x 且 f′(x)= .令 f′(x)=0,得 x=e. x2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f ′ ( x) f(x)

(0,e) + 单调递增?

e 0
1 e

(e,+∞) - 单调递减?

1 故当 x=e 时,函数取得极大值,且极大值为 f(e)= .无极小值. e

[类题通法] (1)求函数极值的步骤: ①求方程 f′(x)=0 在函数定义域内的所有根; ②用 f′(x)=0 的根将定义域分成若干小区间,列表; ③由 f′(x)在各个小区间内的符号,判断 f′(x)=0 的根处的 极值情况. (2)表格给出了当 x 变化时 y′, y 的变化情况, 表格直观清楚, 容易看出具体的变化情况, 并且能判断出是极大值还是极小值, 最 后得出函数的极大值、极小值.

[活学活用] 求下列函数的极值: 2x (1)f(x)=-x +12x+6;(2)f(x)= 2 -2. x +1
3

解:(1)f′(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2). 令 f′(x)=0, 解得 x1=-2,x2=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f ′ ( x) f(x)

(-∞,-2) - 单调递减?

-2 0 -10

(-2,2) + 单调递增 ?

2 0 22

(2,+∞) - 单调递减 ?

当 x=-2 时,f(x)有极小值,并且极小值为 f(-2)=-10; 当 x=2 时,f(x)有极大值,并且极大值为 f(2)=22.

(2)函数 f(x)的定义域为 R. 2?x2+1?-4x2 2?x-1??x+1? f′(x)= =- . ?x2+1?2 ?x2+1?2 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
f′(x) f ( x)

(-∞,-1)
- 单调递减?

-1
0 -3

(-1,1)
+ 单调递增 ?

1
0

(1,+∞)


-1 单调递减?

由上表可以看出,当 x=-1 时,函数取极小值-3;当 x=1 时,函数取极大值-1.

已知函数极值求参数
[例 2] 已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在点 x=1 处的极小值为

-1,试确定 a,b 的值,并求 f(x)的单调区间.

[解] 由已知 f′(x)=3x2-6ax+2b, ∴f′(1)=3-6a+2b=0.① 又∵f(1)=1-3a+2b=-1,② 1 1 由①②解得 a= ,b=- , 3 2 ∴f(x)=x3-x2-x. 由此得 f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),

1 令 f′(x)>0,得 x<- 或 x>1; 3 1 令 f′(x)<0,得- <x<1, 3 ∴f(x)在 x=1 的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 即 f(x)在 x=1 处取得极小值, 1 1 故 a= ,b=- ,且 f(x)=x3-x2-x. 3 2
? 1? 它的单调递增区间是?-∞,-3?和(1,+∞); ? ? ? 1 ? 单调递减区间是?-3,1?. ? ?

[类题通法] 已知函数极值,确定函数的解析式中的参数时,注 意以下两点: (1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组,利用待 定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用 待定系数法求解后必须验证充分性.

[活学活用] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且当 x=-1 时取得极大值 7, 当 x=3 时取得极小值,试求函数 f(x)的极小值,并求 a,b,c 的值.
解:f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b. ∵x=-1 时函数取得极大值,x=3 时函数取得极小值, ∴-1,3 是方程 f′(x)=0 的根,即为方程 3x2+2ax+b=0 的两根.

2a ? ?-1+3=- 3 ,? 故? ??-1?×3=b, 3 ? ∴f(x)=x3-3x2-9x+c.

? ?a=-3,? 解得? ? ?b=-9.

∵x=-1 时取得极大值 7, ∴(-1)3-3(-1)2-9(-1)+c=7. ∴c=2. ∴函数 f(x)的极小值为 f(3)=33-3×32-9×3+2=-25.

函数极值的综合应用
[例 3] 已知 a 为实数,函数 f(x)=-x3+3x+a. (1)求函数 f(x)的极值,并画出其图象(草图); (2)当 a 为何值时,方程 f(x)=0 恰好有两个实数根?
[解 ] (1)由 f(x)=-x3+3x+a, 得 f′(x)=-3x2+3,令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0; 当 x∈(-1,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 所以函数 f(x)的极小值为 f(-1)=a-2; 极大值为 f(1)=a+2.

由单调性、极值可画出函数 f(x)的大致图象,如图所示. (2)结合图象,当极大值 a+2=0 时,有极小 值小于 0, 此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点, 即方程 f(x)=0 恰有两个实数根, 所以 a=-2 满足条件; 当极小值 a-2=0 时,有极大值大于 0, 此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点, 即方程 f(x)=0 恰好有两个实数根, 所以 a=2 满足条件. 综上,当 a=± 2 时,方程恰有两个实数根.

[类题通法] 用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法.它通 过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图象与 x 轴的交 点个数,从而判断方程根的个数.

[活学活用] a 为何值时, 方程 x3-3x2-a=0 恰有一个实根、 两个不等实根、 三个不等实根?有没有可能无实根?

解:令 f(x)=x3-3x2,则 f(x)的定义域为 R, 由 f′(x)=3x2-6x=0, 得 x=0 或 x=2, 所以当 x<0 或 x>2 时,f′(x)>0; 当 0<x<2 时,f′(x)<0.

函数 f(x)在 x=0 处有极大值 0,在 x=2 处有 极小值-4. 如图所示, 故当 a>0 或 a<-4 时,原方程有一个根; 当 a=0 或 a=-4 时,原方程有两个不等实根; 当-4<a<0 时,原方程有三个不等实根; 由图象可知,原方程不可能无实根.

5.求含参数的函数的极值

2 3 [典例] (12 分)若 a≠0,试求函数 f(x)=- ax -x2+a2x2 3 +2ax 的单调区间与极值.

[解题流程]

[规范解答] 2 ∵f(x)=- ax3-x2+a2x2+2ax, 3 ∴f′(x)=-2ax2-2x+2a2x+2a=-2(ax2+x-a2x-a) =-2(x-a)(ax+1).(2分) [名师批注] 当a>0时, 1 令f′(x)=0可得x=- 或x=a. 参数时,应对参数进行讨论 a 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: ? ? ? 1 1? 1 ? ? ? ? x a (a,+∞) - ?-∞,- ? ?- ,a? a a? a ? ? ? 0 0 f′ (x ) - + - f(x ) 单调递减? 极小值 单调递增? 极大值 单调递减? (5分)

易忽视对a的讨论,凡涉及

[名师批注]

列表是初学函数极值的重要步骤,列表正确 与否对判断函数的单调性与极值有很大关系.

? ? 1? 1 ? ? 所以f(x)在区间 -∞,-a? ,(a,+∞)内为减函数,在区间 ?-a,a? ? 内为 ? ? ? 增函数. ? 1? 1 1 ? 函数f(x)在x=- 处取得极小值f?-a? =- 1 - , ? a 3a2 ? ? 1 在x=a处取得极大值f(a)=a2+ a4.(7分) 3 [名师批注] 当a<0时, 易忽视对a的讨论,凡涉及 1 令f′(x)=0,得到x=a或x=- . 参数时,应对参数进行讨论 a 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: ? ? ? 1 1? 1 ? ? ? ? x a (-∞,a) - ?a,- ? ?- ,+∞? a a? a ? ? ? 0 0 f′ (x ) + - +

? ? ? ?

f(x )

单调递增? 极大值 单调递减? 极小值
[名师批注]

单调递增? (10分)

列表是初学函数极值的重要步骤,列表正确 与否对判断函数的单调性与极值有很大关系.

[活学活用] 1 3 设函数f(x)=- x +x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0,求 3 函数的单调区间与极值.
解:f′(x)=-x2+2x+m2-1. 令f′(x)=0, 得到x=1-m或x=1+m. 因为m>0, 所以1+m>1-m. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(- ∞ , 1-m)

1-m

(1-m, 1+m)

1+m

(1+m, +∞)

f′(x)
f ( x)



0



0



单调递减? 极小值 单调递增? 极大值 单调递减?

所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-m)和(1+m,+∞), 单调递增区间为(1-m,1+m). 2 3 1 2 函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m)=- m +m - ; 3 3 2 3 1 2 函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)= m +m - . 3 3

[随堂即时演练]
1.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是 ①y=x3;②y=x2+1;③y=cos x-1;④y=2x A.①② C.③④ B.②③ D.①③ ( )

解析:①④为单调函数,不存在极值. 答案:B

2 2.(陕西高考)设函数f(x)=x+ln x,则 1 A.x= 为f(x)的极大值点 2 C.x=2为f(x)的极大值点

(

)

1 B.x= 为f(x)的极小值点 2 D.x=2为f(x)的极小值点

解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞), 2 1 x-2 f′(x)=- 2+x= 2 . x x 当x=2时,f′(x)=0;当x>2时,f′(x)>0, 函数f(x)为增函数; 当0<x<2时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数, 所以x=2为函数f(x)的极小值点. 答案:D

3.函数y=3x3-9x+5的极大值为________.
解析:y′=9x2-9.令y′=0,得x=± 1. 当x变化时,y′,y的变化情况如下表:

x y′ y

(-∞,-1) + 单调递增?

-1 0

(-1,1) -

1 0

(1,+∞) +

极大值 单调递减? 极小值

单调递增 ?

从上表可以看出,当x=-1时,函数y有极大值3×(-1)3 -9×(-1)+5=11. 答案:11

4.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若f(x)在x=-3时取得极值, 则a=________.

解析:f′(x)=3x2+2ax+3, 由题意知-3是3x2+2ax+3=0的根, 解3×(-3)2+2a×(-3)+3=0, 得a=5,经检验a=5时符合题意. 答案:5

5.求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-12x; 1 (2)f(x)=sin x+ x,x∈(0,2π). 2
解:(1)函数的定义域为R, f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2), 令f′(x)=0,得x=-2或x=2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + 单调递增?

-2 0 16

(-2,2) - 单调递减?

2 0 -16

(2,+∞) + 单调递增?

从表中可以看出,当x=-2时,函数有极大值f(-2)=16; 当x=2时,函数有极小值f(2)=-16.

1 (2)f′(x)=cos x+ , 2 1 令f′(x)=cos x+ =0, 2 1 得cos x=- . 2 又∵x∈(0,2π), 2π 4π ∴x= 或x= . 3 3 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
f ′ ( x)

? 2π? ?0, ? 3? ?

2π 3

?2π 4π? ? , ? 3? ?3

4π 3

?4π ? ? ,2π? ?3 ?



0



0



f(x)

单调递增?



单调递减?

- 单调递增?

2π 3 π ∴当x= 时,f(x)取极大值 + ; 3 2 3 4π 2π 3 当x= 时,f(x)取极小值 - . 3 3 2

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