【创新设计】高中数学浙江专用人教版必修一练习:1.3.1 第1课时函数的单调性(含答案解析)

基 础 过 关 1.已知[0, 3]是函数 f(x)定义域内的一个区间, 若 f(1)<f(2), 则函数 f(x)在区间[0, 3]上( A.是增函数 C.既是增函数又是减函数 B.是减函数 D.单调性不确定 ) 解析 由于仅知道 f(1)<f(2)不明确其它数值间的关系,故不具备单调性的判断条件. 答案 D 2.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( A.递减函数 C.先递减再递增 ) B.递增函数 D.先递增再递减 解析 该函数图象的对称轴为 x=3,根据图象(图略)可知函数在(2,4)上是先递减再递增 的. 答案 C 3.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,则( A.f(a)>f(2a) C.f(a2+a)<f(a) ) B.f(a2)<f(6) D.f(a+1)<f(a-2) 解析 ∵y=f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,且 a+1>a-2,∴f(a+1)<f(a-2). 答案 D 4.函数 f(x)=1-|x|的单调递减区间是________. ?1-x,x≥0, ? 解析 f(x)=? 图象如图所示, 单调递减区间为[0, +∞). ?1+x,x<0, ? 答案 [0,+∞) 5.已知 f(x)是 R 上的减函数,则满足 f(2x-1)>f(1)的实数 x 的取值范围是________. 解析 因为 f(x)在 R 上是减函数,且 f(2x-1)>f(1),所以 2x-1<1,即 x<1. 答案 (-∞,1) 1 6.判断并证明函数 f(x)=- +1 在(0,+∞)上的单调性. x 1 解 函数 f(x)=- +1 在(0,+∞)上是增函数.证明如下:设 x1,x2 是(0,+∞)上的任意两 x 1 ? ? 1 ? x1-x2 个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=? ?-x1+1?-?-x2+1?= x1x2 ,由 x1,x2∈(0,+∞), 得 x1x2>0,又由 x1<x2,得 x1-x2<0. 于是 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 1 所以 f(x)=- +1 在(0,+∞)上是增函数. x 7.作出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,并根据函数的图象求出单调减区间. 解 2 ? ?-(x-1) +4,x≥0, ? y=-x +2|x|+3= 函数图象如图所示. 2 ?-(x+1) +4,x<0. ? 2 根据图象知,函数的单调减区间是[-1,0]和[1,+∞). 8.已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),求 x 的取值范围. ?-1≤x-2≤1, ? 解 由题意,得? 解得 1≤x≤2.① ? ?-1≤1-x≤1, 因为 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),所以 x-2<1-x,解得 3 x< .② 2 3? 3 由①②得 1≤x< ,所以实数 x 的取值范围是? ?1,2?. 2 能 力 提 升 9.(2016· 东莞中学月考)下列函数在区间(-∞,0)上为增函数的是( A.y=1 C.y=-x2-2x-1 1 B.y=- +2 x D.y=1+x2 ) 解析 函数 y=1 不具备单调性;函数 y=-x2-2x-1 在(-∞,-1)上单调递增;函数 y 1 =1+x2 在(-∞,0)单调递减;只有函数 y=- +2 在(-∞,0)上为增函数. x 答案 B 10.(2016· 郑州高一检测)函数 f(x)=x2-2(a-1)x+1 在区间[5,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.[6,+∞) C.(-∞,6] ) B.(6,+∞) D.(-∞,6) 解析 函数 f(x)=x2-2(a-1)x+1 的图象关于 x=a-1 对称.∴f(x)的增区间是[a-1, +∞), 又 f(x)在区间[5,+∞)上是增函数,∴a-1≤5,∴a≤6. 答案 C 11.(2016· 杭州高一检州)设函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈R 都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 则 f(-3)与 f(-π )的大小关系是________. 解析 由题设,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,又-3>-π ,因此 f(-3)> f(-π ). 答案 f(-3)>f(-π ) 12.已知函数 f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3,+∞),则实数 a 的值等于________. a 解析 当 x≥- 时,f(x)=2x+a 是增函数. 2 a 当 x<- 时,f(x)=-2x-a 是减函数. 2 a 因此- =3,∴a=-6. 2 答案 -6 m 13.已知函数 f(x)=x- ,且函数的图象过点(1,0). x (1)求实数 m 的值; (2)试证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (1)解 m ∵函数 f(x)=x- 的图象过点(1,0). x ∴f(1)=0,即 1-m=0,则 m=1. 1 (2)证明 由 m=1,知 f(x)=x- ,设任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2.则 f(x2)-f(x1)=x2 x 1 1 x1- ? - -? x1? x2 ? x2-x1 1 ? =(x2-x1)+ =(x2-x1)? ?1+x1x2? x1x2 ∵0<x1<x2, ∴x2-x1>0,x1x2>0,1+ 1 >0, x1x2 因此 f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 探 究 创 新 2 x ,x>1, ? ? 14.已知函数 f(x)=?? a? ??4-2?x-1,x≤1. ? (1)若 f(2)=f(1),求 a 的值; (2)若 f(x)是 R 上的增函数,求实数 a 的取值范围. a 解 (1)因为 f(2)=f(1),所以 22=4- -1,所以 a=-2. 2 a 4- ?x-1 在(-∞, (2)当

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