[最新]人教A版高中数学必修5同步辅导与检测:第一章1.2第3课时三角形中的几何计算WORD版含答案解析


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第一章 1.2

解三角形 应用举例

第 3 课时三角形中的几何计算
A级 一、选择题 1.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,a=5,b 4 =4,cos C= ,则△ABC 的面积是( 5 A.8 B.6 C.4 D.2 4 解析:因为 cos C= ,C∈(0,π), 5 3 所以 sin C= , 5 1 1 3 所以 S△ABC= absin C= ×5×4× =6. 2 2 5 答案:B 2.在△ABC 中,三边 a,b,c 与面积 S 的关系式为 a2+4S=b2 +c2,则角 A 为( A.45° ) D.150° ) 基础巩固

B.60° C.120°

解析:4S=b2+c2-a2=2bccos A, 1 所以 4· bcsin A=2bccos A, 2 所以 tan A=1, 又因为 A∈(0°,180°), 所以 A=45°.
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答案:A 3. 在△ABC 中, A=60° , AB=1, AC=2, 则 S△ABC 的值为( 1 3 A. B. C. 3 2 2 D.2 3 )

1 3 解析:S△ABC= AB·AC·sin A= . 2 2 答案:B 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=1, π B= ,当△ABC 的面积等于 3时,tan C 等于( 3 A. 3 B.- 3 C.-2 3 D.-2 )

1 1 3 解析:S△ABC= acsin B= ·1·c· = 3,所以 c=4, 2 2 2 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=13, 所以 b= 13, a2+b2-c2 1 所以 cos C= =- , 2ab 13 所以 sin C= 所以 tan C= 答案:C 7 5.在△ABC 中,已知 b2-bc-2c2=0,且 a= 6,cos A= , 8 则△ABC 的面积等于( A. ) 12 , 13 sin C =- 12=-2 3. cos C

15 B. 15 C.2 D.3 2

解析:因为 b2-bc-2c2=0, 所以(b-2c)(b+c)=0,
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所以 b=2c. 由 a2=b2+c2-2bccos A,解得 c=2,b=4, 7 15 因为 cos A= ,所以 sin A= , 8 8 1 1 15 15 所以 S△ABC= bcsin A= ×4×2× = . 2 2 8 2 答案:A 二、填空题 6.△ABC 中,下述表达式:①sin(A+B)+sin C; ②cos(B+C)+cos A 表示常数的是________. 解析:①sin(A+B)+sin C=sin(π-C)+sin C=2sin C,不是常 数; ②cos(B+C)+cos A=cos(π-A)+cos A=0,是常数. 答案:② 7.在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120° , 则该三角形的周长为________. 解析:因为 a-b=4,所以 a>b, 又因为 a+c=2b,所以 b+4+c=2b, 所以 b=4+c,所以 a>b>c. 所以最大角为 A,所以 A=120° , b2+c2-a2 1 所以 cos A= =- , 2bc 2 所以 b2+c2-a2=-bc, 所以 b2+(b-4)2-(b+4)2=-b(b-4), 即 b2+b2+16-8b-b2-16-8b=-b2+4b, 所以 b=10,所以 a=14,c=6. 故周长为 30.
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答案:30 8. 在△ABC 中, 若 A=60°, b=16, 此三角形的面积 S=220 3, 则 a 的值为________. 1 解析:因为 bcsin A=220 3, 2 所以 c=55, 又 a2=b2+c2-2bccos A=2 401. 所以 a=49. 答案:49 三、解答题 9.某市在进行城市环境建设时,要把一个三角形的区域改造成 一个公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 70 m, 90 m,120 m,这个区域面积是多少? 解:设 a=70 m,b=90 m,c=120 m. 根据余弦定理的推论, a2+c2-b2 702+1202-902 2 cos B= = = , 2ac 3 2×70×120 sin B= 2 5 1-( )2= . 3 3

1 应用 S= casin B,得 2 1 5 S= ×120×70× =1 400 5 (m2), 2 3 即这个区域的面积为 1 400 5 m2. 10.在△ABC 中,c=2 2,a>b,tan A+tan B=5,tan A·tan B=6,试求 a,b 及△ABC 的面积. 解:因为 tan A+tan B=5,tan A·tan B=6,且 a>b,

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所以 A>B,tan A>tan B, 所以 tan A=3,tan B=2,A,B 都是锐角. 所以 sin A= cos B= 3 10 10 ,cos A= , 10 10

5 2 5 ,sin B= , 5 5

所以 sin C=sin(A+B)= sin Acos B+cos Asin B= 由正弦定理 a= 2 . 2

a b c = = 得, sin A sin B sin C

6 10 8 5 ,b= , 5 5

1 1 6 10 8 5 2 24 所以 S△ABC= absin C= × × × = . 2 2 5 5 2 5 B级 能力提升

1 sin C 15 1.在△ABC 中,若 cos B= , =2,且 S△ABC= ,则 b 4 sin A 4 等于( )

A.4 B.3 C.2 D.1 解析: 依题意得: c = 2a , b2 = a2+ c2 - 2accos B = a2+ (2a)2 - 1 2×a×2a× =4a2,所以 b=c=2a.因为 B∈(0,π),所以 sin B= 4 1-cos2 B= b=2. 答案:C 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a 15 1 1 b 15 15 ,又 S△ABC= acsin B= × ×b× = ,所以 4 2 2 2 4 4

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=2 3,c=2 2,1+

tan A 2c = ,则角 C 的值为________. tan B b

解析:由正弦定理得 1+ 即 sin A cos B 2sin C · = , cos A sin B sin B

sin(A+B) 2sin C = , sin Bcos A sin B

? π π? 1 所以 cos A= ,A∈?0, ?,A= , 2 3 2? ?

sin A=

3 , 2

2 a c 由 = 得 sin C= , sin A sin C 2 π 又 c<a,C<A,所以 C= . 4 答案: π 4

1 3.已知△ABC 的面积为 1,tan B= ,tan C=-2,求△ABC 2 的各边长以及△ABC 外接圆的面积. 1 解:因为 tan B= >0,所以 B 为锐角. 2 所以 sin B= 5 2 5 ,cos B= . 5 5

因为 tan C=-2<0,所以 C 为钝角. 所以 sin C= 2 5 5 ,cos C=- . 5 5

所以 sin A=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 5 ? 5? 2 5 2 5 3 ·?- ?+ · = . 5 ? 5? 5 5 5

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1 因为 S△ABC= absin C= 2 2R2 sin Asin Bsin C= 3 5 2 5 2R2× × × =1. 5 5 5 所以 R2= 25 5 3 ,R= . 12 6 25 25 π,即外接圆的面积为 π. 12 12 15 , 3

所以πR2=

所以 a=2Rsin A= 3,b=2Rsin B= c=2Rsin C= 2 15 . 3

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