精选推荐2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修4

学习 K12 教育资料 3.2 简单的三角恒等变换 1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行 简单的应用.(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三 角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错 点) [基础·初探] 教材整理 半角公式 阅读教材 P139~P140 例 2 以上内容,完成下列问题. α sin =± 2 α cos =± 2 α tan =± 2 sin 1-cos α , 2 1+cos α , 2 1-cos α , 1+cos α α α α sin ·2cos 2 2 2 α sin α tan = = = , 2 α α α 1+cos α cos cos ·2cos 2 2 2 α α α sin sin ·2sin 2 2 2 1-cos α α tan = = = . 2 α α α sin α cos cos ·2sin 2 2 2 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)cos α = 2 1+cos α .( 2 ) ) (2)存在 α ∈R,使得 cos α 1 = cos α .( 2 2 学习 K12 教育资料 学习 K12 教育资料 (3)对于任意 α ∈R,sin α 1 = sin α 都不成立.( 2 2 α = 2 1-cos α .( 1+cos α ) ) (4)若 α 是第一象限角,则 tan π α π 【解析】 (1)×.只有当- +2kπ ≤ ≤ +2kπ (k∈Z),即-π +4kπ ≤α ≤π + 2 2 2 4kπ (k∈Z)时,cos α = 2 1+cos α . 2 (2)√.当 cos α =- 3+1 时,上式成立,但一般情况下不成立. (3)×.当 α =2kπ (k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立. α α (4)√.若 α 是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时 tan = 2 2 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 1-cos α 成立. 1+cos α [小组合作型] 化简求值问题 3 θ (1)已知 cos θ =- ,且 180°<θ <270°,求 tan ; 5 2 +sin α +cos α (2)化简: ?sin α -cos α ? ? 2 2? ? ? 2+2cos α (180°<α <360°). 3 θ 【精彩点拨】 (1)①cos θ =- →tan = 5 2 ± 1-cos θ θ →tan 的值; 1+cos θ 2 3 θ 1-cos θ ②cos θ =- →tan = 5 2 sin θ 对于(1)的思考要注意符号的选择. ?或tan θ = sin θ ? 2 1+cos θ ? ?→tan θ 的值. ? 2 ? α α (2)化 α 为 ,消去数值 1,再升幂判断 的范围,然后化简得结论. 2 2 θ θ 【自主解答】 (1)法一:∵180°<θ <270°,∴90°< <135°,即 是第二象限角, 2 2 学习 K12 教育资料 学习 K12 教育资料 ∴tan θ <0, 2 ∴tan θ =- 2 1-cos θ =- 1+cos θ ? 3? 1-?- ? ? 5? =-2. 3? ? - 1+? ? ? 5? 法二:∵180°<θ <270°,即 θ 是第三象限角, ∴sin θ =- 1-cos θ =- 2 9 4 1- =- , 25 5 θ 1-cos θ ∴tan = = 2 sin θ (2)原式 ? 3? 1-?- ? ? 5? =-2. 4 - 5 = ?2cos2α +2sin α cos α ??sin α -cos α ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ?? ? 2·2cos 2cos 2 α 2 = α α ? α α α ? cos +sin ? sin -cos ? ? ? ? ? 2 2 ?? 2 2? 2? α ? ? 2?cos ? 2? ? -cos α . cos = α 2 ?cos α ? ? 2? ? ? α α ∵180°<α <360°,∴90°< <180°,∴cos <0, 2 2 α cos -cos α 2 ∴原式= α -cos 2 =cos α . 1.解决给值求值问题的方法及思路 (1)给值求值问题,其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异,经过适 当变换已知式或变换欲求式解题. (2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系,应注意“配角”方法的应 用. 2.三角函数化简的思路及原则: 学习 K12 教育资料 学习 K12 教育资料 (1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导 公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次. (2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面加以考虑: ①运用公式之后能否出现特殊角; ②运用公式之后能否进行提取公因式,能否约分,能否合并或消项; ③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选 用公式进行变换创造条件. (3)对于三角函数的和差化积,有时因为使用公式不同,或选择题的思路不同,化积结果 可能不一致. [再练一题] 1.(1)已知 sin α = A.2- 5 C. 5-2 3π (2)已知 π <α < ,化简: 2 1+sin α 1+cos α - 1-cos α + 1-sin α 1+cos α + 1-cos α 5 2 >0,cos α = 5>0, 5 5 . 【导学号:00680075】 5 2 α ,cos α = 5,则 tan 等于( 5 5 2 B.2+ 5 D.±( 5-2) ) 【解析】

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