【高中数学】2018-2019学年度最新北师大版数学选修2-3教学案:第一章1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

§ 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 [对应学生用书P2] 分类加法计数原理 1.李娜为了备战 2014 年澳大利亚网球会开赛,需要从北京到 A 地进行封闭式训练, 每天有 7 次航班,5 列动车. 问题 1:李娜从北京到 A 城的方法可分几类? 提示:两类,即乘飞机、乘动车. 问题 2:这几类方法都能完成“从北京到 A 城”这件事吗? 提示:都能. 问题 3:李娜从北京到 A 城共有多少种不同的方法? 提示:7+5=12(种). 2.若你班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一名同学担任班长. 问题 4:不同的选法的种数为多少? 提示:26+24=50. 分类加法计数原理(加法原理) 完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方法,在第二类办法中有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种方法. 分步乘法计数原理 1.李娜从北京到 A 城需在 B 城停留,若从北京到 B 城有 7 次航班,从 B 城到 A 城有 5 列动车. 问题 1:李娜从北京到 A 城需要经历几个步骤? 提示:两个,即从北京到 B 城,从 B 城到 A 城. 问题 2:这几个步骤中的某一步能完成“从北京到 A 城”这件事吗? 提示:不能.必须“从北京到 B 城”“从 B 城到 A 城”这两步都完成后才能完成“从 北京到 A 城”这件事. 问题 3:李娜从北京到 A 城共有多少种不同的方法? 提示:7×5=35(种). 2.若你班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一名男生和一名女生担任班长. 问题 4:不同的选法的种数为多少? 提示:26×24=624. 分步乘法计数原理(乘法原理) 完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 m1 种方法,做第二步有 m2 种 方法,……,做第 n 步有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种方法. 1.分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情,而分步乘法计数原理的每 一个步骤都是完成这件事情的中间环节,都不能独立完成这件事情. 2.分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别,求各类方法之 和;而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤,求各步骤方法 之积. [对应学生用书P3] 分类加法计数原理 [例 1] 高二· 一班有学生 50 人,男生 30 人;高二· 二班有学生 60 人,女生 30 人;高 二· 三班有学生 55 人,男生 35 人. (1)从中选一名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高二· 一班、二班男生中,或从高二· 三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有 多少种不同的选法? [思路点拨] (1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席; (2)完成的一件 事是从一班、二班男生中,或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长,因而可按当选学 生来自不同班级分类,利用分类加法计数原理求解. [精解详析] (1)选一名学生任学生会主席有 3 类不同的选法: 第一类,从高二· 一班选一名,有 50 种不同的方法; 第二类,从高二· 二班选一名,有 60 种不同的方法; 第三类,从高二· 三班选一名,有 55 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50+60+55=165 种不同的方法. (2)选一名学生任学生会体育部长有 3 类不同的选法: 第一类,从高二· 一班男生中选,有 30 种不同的方法; 第二类,从高二· 二班男生中选,有 30 种不同的方法; 第三类,从高二· 三班女生中选,有 20 种不同的方法. 故选一名学生任学生会体育部长共有 30+30+20=80 种不同的方法. [一点通] 如果完成一件事有 n 类不同的办法,而且这 n 类办法是相互独立的,无论用 哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事, 那么求完成这件事的方法种数就用分类 加法计数原理.分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加 法计数原理求和,得到总种数. 1.上海世博会期间,一志愿者带一客人去预订房间,宾馆有上等房 10 间,中等房 20 间,一般房 25 间,则客人选一间房的选法有( ) A.500 种 C.55 种 解析:选法为 10+20+25=55 种. 答案:C B.5 000 种 D.10 种 2.(福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序 数对(a,b)的个数为( A.14 C.12 ) B.13 D.10 解析:因为 a,b∈{-1,0,1,2},可分为两类:①当 a=0 时,b 可能为-1 或 0 或 1 或 2, 即 b 有 4 种不同的选法;②当 a≠0 时,依题意得 Δ=4-4ab≥0,所以 ab≤1.当 a=-1 时, b 有 4 种不同的选法,当 a=1 时,b 可能为-1 或 0 或 1,即 b 有 3 种不同的选法,当 a=2 时,b 可能为-1 或 0,即 b 有 2 种不同的选法.根据分类加法计数原理,(a,b)的个数共有 4+4+3+2=13. 答案:B 3.在所有的两位数中,十位数字大于个位数字的两位数共有多少个? 解:依据“十位数字大于个位数字”进行分类,令十位数字为 m,个位数字为 n,则 有 当 m=1 时,n=0,有 1 个; 当 m=2 时,n=0,1,有 2 个;当 m=3 时,n=0,1,2,有 3 个;…… 当 m=9 时,n=0,1,2,3…8,有 9 个. 所有这样的两位数共有 1+2+3+…+9=45 个. 分步乘法计数原理 [例 2] (1)(山东高考)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( A.243 C.261 B.252 D.279 ) (2)有三个盒子,分别装有不同编号的

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