2013-2014学年安微省黄山市屯溪一中高一下学期期中考试数学试卷(带解析)

2013-2014 学年安微省黄山市屯溪一中高一下学期期中考试数学试卷 (带解析)
一、选择题 1.已知 为第二象限角, A. B. C. ,则 D. ( ).

【答案】D. 【解析】 试题分析:由于 为第二象限角, . 考点:二倍角的正弦公式. 2.不等式 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:不等式 因此不等式 等价于 的解集 . ,由于 的根为 和 , 的解集为( ) ,因此

考点:一元二次不等式的解法. 3.设等差数列 A.60 B.45 的前 项和记为 C.36 D.18 ,若 ,则 等于( )

【答案】B. 【解析】

试题分析:由等差数列的性质得 式得 . 考点:等差数列的性质和前 项和公式. 4.若 A. B. ,则在 C. , , D. ,

,解得

,由等差数列的前 项和公

中最大值是( )

【答案】C 【解析】 试题分析:由指数函数的性质,得 的是 . 考点:指数函数和幂函数的性质. 5.在 A. 中, B.2 C. 则 D. =( ) , ;由幂函数 的性质得 ,因此最大

【答案】C. 【解析】 试题分析:由正弦定理得 . 考点:正弦定理和面积公式的应用. 6.各项不为零的等差数列 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 中, ,数列 是等比数列,且 ,则 , ,因此面积

【答案】D. 【解析】 试题分析:由等差数列的性质得 由等比数列的性质得 考点:等差数列和等比数列性质的应用. 7.设等比数列 A.3:4 【答案】A 的前 项和记为 C.1:2 ,若 ,则 ( ) ,由于各项不为零,因此 , ,

B.2:3

D.1:3

【解析】 试题分析:设 知 则 ,令 ,则 ,代入得 ,因此 , . ,由题意

成等比数列,因此

考点:等比数列前 项和的性质. 8.下列函数 ① ④ A.0 个 B.1 个 ② ③

,其中最小值为 2 的有( ) C.2 个 D.3 个

【答案】A 【解析】 试题分析:基本不等式使用条件一正,二定,三相等;① ,即 时等号成立,由于 ,因此①的最小值不是 2,②中 ,当且仅当 可能小于零,最小

值不是 2;③中

可能小于零,最小值不是 2;④中 ,当且仅当 ,即 时等号成立,

因此最小值不是 2. 考点:基本不等式的使用. 9.若不等式 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:当 时,不等式 恒成立,因此 满足,当 ,解得 时,不等式 B. C. 对一切 D. 恒成立,则 的取值范围是( )

恒成立,满足 综上, .

考点:不等式恒成立的问题. 10.设 是各项为正数的等比数列, 是其公比, ,则下列结论错误的是( ) 是其前 项的积,且

A. B. C.

D.



均为

的最大值

【答案】C 【解析】 试题分析:由于 均为 的最大值, , , ,因此 ,因此 . ,从第 8 项开始小于 1,

考点:等比数列的性质. 二、填空题 1.设等差数列 【答案】190. 【解析】 试题分析:由等差数列的性质得 考点:等差数列的性质和前 项和公式的应用. 2. 【答案】 【解析】 试题分析:由诱导公式得 . 考点:两角和的余弦公式的应用. 3.在 【答案】 【解析】 试题分析:由正弦定理得, , ,由于 考点:正弦定理的应用. 4.数列 【答案】 中,若 . ,则该数列的通项 = . , . ,化简得 , ,角 A、B、C 所对的边分别为 . ,若 ,则 = . ,代入原式得 = . . 的前 n 项和为 ,若 ,则 =______________.

【解析】 试题分析:由于 公比的等比数列, 考点:等比数列的通项公式. 5.若关于 的一元二次方程 【答案】 【解析】 试题分析:设方程的两根为 ,由根与系数的关系得 , ,列方程得 . 的两根均大于 5,则实数 的取值范围是 . , ,即 ,因此数列 . 构成是以 为首项,2 为

,解得

.

考点:一元二次方程根与系数的关系 三、解答题 1.已知函数 求 的值; 设 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)利用公式化简,要熟练掌握公式,不要把符号搞错,很多同学化简不正确;(2) 求解较复杂三角函数的时,寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;正确灵活运用公 式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值,注意题中角的范围;;(3)要 注意符号,有时正负都行,有时需要舍去一个;(4)三角函数的给值求值的问题一般是正 用公式将“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角三 角函数值,代入展开即可,注意角的范围. 试题解析:解:(1) (2) ,即 因为 ,所以 , . ,解得 ,即 8分 , . , 5分 , ;(2) , . ,求 的值. , ,且

所以 考点:(1)三角函数给值求值,(2)诱导公式的应用. 2.在△ ABC 中,内角 (1)求证: (2)若 所对的边分别为 ,已知

.

12 分

.

成等比数列; ,求△ 的面积 S.

【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】 试题分析:(1)证明 成等比数列,关键在于证明 ,这是证明三个数成等比数列的 常用方法;(2)在三角形中,注意 这个隐含条件的使用,理解正弦定理与余弦定 理的使用条件,不要搞混;(3)要注意符号,有时正负都行,有时需要舍去一个;(4)在解 决三角形的问题中,面积公式 角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 试题解析:解:(1)由已知得: , , 再由正弦定理可得: 所以 (2)若 ∴ 成等比数列. ,则 , , ∴△ 的面积 . 12 分 , , 6分 , 最常用,因为公式中既有边又有

考点:(1)证明三个数成等比数列;(2)求三角形的面积. 3.(本小题满分 12 分) 某工厂生产 、 两种产品,计划每种产品的生产量不少于 15 千克,已知生产 产品 1 千克 要用煤 9 吨,电力 4 千瓦,3 个工作日;生产 产品 1 千克要用煤 4 吨,电力 5 千瓦,10 个 工作日。又知生产出 产品 1 千克可获利 7 万元,生产出 产品 1 千克可获利 12 万元,现在 工厂只有煤 360 吨,电力 200 千瓦,300 个工作日, (1)列出满足题意的不等式组,并画图; (2)在这种情况下,生产 、B 产品各多少千克能获得最大经济效益.

【答案】(1) 428 万元 【解析】

,(2) 、 产品各生产 20 千克、24 千克时获得最大效益为

试题分析:(1)含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量,用 这两个变量建立可行域和目标函数,解题时要注意题目中的各种制约的关系,列出全面的制 约条件和正确的目标函数;(2)平面区域的画法:线定界、点定线(注意实虚线);(3)求 最值:求二元一次函数 的最值,将函数 转化为直线的点斜式 ,

通过求直线的截距 的最值间接求出 的最值,最优解在顶点或边界取得. 试题解析:解:(1)设 、 产品各 千克

3分

4分 作出以上不等式组的可行域,如图

x=15

x

30

90

90

60

o

60

30

y=15

8分
(2)由图知在 的交点 处取最大值 10 分

(万元) 答: 、 产品各生产 20 千克、24 千克时获得最大效益为 428 万元. 12 分 考点:线性规划在实际中的应用. 4.是否存在一个等比数列 ① ② ③至少存在一个 通项公式;若不存在,说明理由. 【答案】不存在这样的数列. 【解析】 试题分析:(1)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题,解决这类问题的关键在于 熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前 项 和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程;(2)与数 列有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关 系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反 思回顾,查看关键点. 试题解析:解:假设存在等比数列 由①可得 由②可知数列 是递增的,所以 且 ; ,使得 依次构成等差数列?若存在,求出 ; 同时满足下列三个条件:



3分

此时 由③可知

5分

7分 解得 ,与已知 矛盾 11 分 12 分

故这样的数列

不存在.

考点:探索数列存在性的问题. 5.数列 满足

(1)证明:数列 (3)设

是等差数列; ,求数列

(2)求数列 的前 项和 .

的通项公式 ;

【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】 试题分析:(1)根据等差数列的首项和公差求通项公式;根据等比数列的首项和公比求通项公 式;注意题中限制条件;(2)证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种:一是定义法: 证明 ;二是等差中项法,证明 ,若证明一个数列不是等差数列,则 只需举出反例即可;(3)一般地,如果数列 是等差数列, 是等比数列,求数列 的前 项的和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列 的公比,然后 做差求解. 试题解析:解: (1)取倒数得: 以 为首项,以 1 为公差的等差数列. 即 则前 n 项和为: 7分 ,两边同乘以 4分 得: 所以数列 是

(2) (3) 由题意知:

由错位相减得: 13 分

,

考点:(1)证明数列是等差数列;(2)求通项公式;(3)错位相减求和. 6.已知不等式 (1)若 ,求关于 不等式的解集; (2)若 ;(2)当 ,当 时,解集为 ,求关于 不等式的解集. ,当 时,解集

【答案】(1) 为

时,不等式的解集为 ,当

时,不等式的解集为

【解析】 试题分析:(1)三个二次间的关系,其实质是抓住二次函数 的图像与横坐 标的交点、二次不等式 解集的端点值、二次方程 的根是 同一个问题.解决与之相关的问题时,可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化,结 合二次函数的图象来解决;(2)把分式不等式转化成整式不等式,注意看清分子、分母的符号;

(3)解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据:一是二次项中若含有参数应讨论是小于 0, 等于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式,二是当不等式对应的方 程的根个数不确定时,讨论判别式 与 0 的关系,三是确定无根时可直接写出解集,确定方 程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集;(4)讨论时注意找临界条件. 试题解析:解:(1) 由 故不等式的解集为 (2)已知 ① 此时 ,则 5分 ,则 ,移项通分

时,可转化为 ,不等式的解集为 8分

② (i)当 (ii)当 (iii)当

时,可转化为 即 即 即 时,不等式的解集为 时,不等式的解集为 时,不等式的解集为 13 分

综上所述:当 当 当 当

时,解集为

时,解集为 时,不等式的解集为 时,不等式的解集为 14 分

考点:(1)一元二次不等式的解法;(2)含参数的一元二次不等式的解法.


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