2011届高三数学(理)一轮复习第8单元平面解析几何8-6随堂练习

8.6 椭 圆

一、选择题

1.椭圆2x52+y92=1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|

等于( )

A.2

B.4

C.8

3 D.2

解析:连接 MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,

|MF2|=10-|MF1|=8,如图,|ON|=12|MF2|=4.

答案:B

2.椭圆x92+4+y2 k=1 的离心率为45,则 k 的值为(

)

A.-21

B.21

C.-1295或 21

D.2159或 21

解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k,由ac=45即 53-k=45得 k=-2159;

若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5,由ac=45,即 4k-+5k=45,解得 k=21.

答案:C 3.已知如图,椭圆xa22+by22=1(a>b>0)上一点 P,F1、F2 为椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ,

则△PF1F2 的面积等于( ) A.a2tanθ2

B.a2cotθ2

C.b2tanθ2

D.b2cotθ2

解析:在△PF1F2 中,由余弦定理得:2|PF1|·|PF2|·cos θ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2= (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|F1F2|2=(2a)2-2|PF1|·|PF2|-(2c)2(其中 c2=a2-b2). ∴|PF1|·|PF2|·(1+cos θ)=2b2,∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin θ=12·1+2cbo2s θ·

sin θ=b2tanθ2. 答案:C 4.椭圆x52+y42=1 的右焦点为 F,设 A(- 25, 3),P 为椭圆上的动点,则|AP|+ 取得最小值时 P 点的坐标是( )

5|PF|

A.( 25, 3)

B.(5,0)

C.(0,2) D.(0,-2)或(0,2)

答案:A

二、填空题

5. 如图,已知点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆xa22+by22=1(a>b>0)上一点,若 PF1⊥PF2,

tan∠PF1F2=12,则此椭圆的离心率是________.

解析:本题考查椭圆离心率的求法.由题得△PF1F2 为直

角三

角形,设|PF1|=m,

则 tan∠PF1F2=12,∴|PF2|=m2 ,|F1F2|= 25m,∴e=ac=|PF|1F|+1F|2P| F2|= 35.

答案:

5 3

6.(2009·江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A1、A2、B1、B2 为椭圆xa22+by22=1(a>b>0)

的四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为________.

解析:直线 A1B2 的方程为-xa+by=1,即 bx-ay=-ab,① 直线 B1F 的方程为xc+-yb=1,即-bx+cy=-bc,②
??x=a2-acc, ??? 解①②联立方程组得 y=b(aa-+cc),
所以,T???a2-acc,b(aa-+cc)???,则 M???aa-cc,2b((aa-+cc))???.
由已知条件:a2(aa2-c2c)2+4b(2a(-a+c)c2)b22=1, 整理得 3a2-10ac-c2=0,即 e2+10e-3=0,又 0<e<1.解得 e=2 7-5. 答案:2 7-5 7.已知椭圆x32+y2=1 的左、右两个焦点分别为 F1 和 F2,点 P 为椭圆上任意一点,点 E 在椭圆的右准线上.给出下列命题:

则其中所有正确命题的序号为________.

解析:本题考查椭圆的定义,有关量的运算及位置关系.椭圆的标准方程为 (

x32)2+1y22=

1,

此时 cos∠F1QF2=(

3)2+( 2×

3)2-(2 3× 3

2)2<0,

∴∠F1QF2>90°,所以在椭圆上存在点 Q,使∠F1QF2=90°,③对;

答案:②③ 三、解答题 8.设 P 是椭圆xa22+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大 值.
解答:依题意可设 P(0,1),Q(x,y)则|PQ|= x2+(y-1)2. 又因为 Q 在椭圆上,所以 x2=a2(1-y2).|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1 =(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y-1-1a2)2-1-1 a2+1+a2.
因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2,则|1-1a2|≤1,
当 y=1-1a2时,|PQ|取最大值a2a2a-2-1 1;若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2.
9.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2,相应于焦点 F(c,0)(c>0)的准线 l 与 x 轴 相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率;

(2)若

,求直线 PQ 的方程;

解答:(1)由题意,可设椭圆的方程为xa22+y22=1(a> 2).

??a2-c2=2, 由已知得???c=2(ac2-c).

解得 a=

6,c=2.所以椭圆的方程为x62+y22=1,离心率

e=

6 3.

(2)由(1)可得 A(3,0).设直线 PQ 的方程为 y=k(x-3).由方程组
???x62+y22=1, ??y=k(x-3),

得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0.

依题意

Δ=12(2-3k2)>0,得-

6 3 <k<

6 3.

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=31k82+k21,①

x1x2=237kk22+-16,②

由直线 PQ 的方程得 y1=k(x1-3),y2=k(x2-3), 于是 y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③



,∴x1x2+y1y2=0.④

由①②③④得 5k2=1,从而 k=±55∈(- 36, 36).

所以直线 PQ 的方程为 x- 5y-3=0 或 x+ 5y-3=0.

10.在面积为 1 的△PMN 中,tan M=12,tan N=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、

N 为焦点且过点 P 的椭圆方程.

解答:建立如右图所示的直角坐标系,以 MN 所在的直线为 x 轴,线段 MN 的垂直平 分线为 y 轴.设所求椭圆的方程为xa22+by22=1(a>b>0).
分别设 M、N 和 P 点坐标为
(-c,0),(c,0)(c>0)和(x0,y0). ∵tan α=tan(π-N)=-tan N=2,

∴由题设知:???y0=12(x0+c), ??y0=2(x0-c).

?x0=53c,
解得:
??y0=34c.

即 P(53c,43c).

在△MNP

中,MN=2c,MN

上的高为43c,∴S△MNP=12×2c×43c=1,∴c=

3 2.

又|PM|= (x0+c)2+y20=2 315,|PN|= (x0-c)2+y20= 315.

∴a=12(|PM|+|PN|)= 215,从而 b2=a2-c2=3, 故所求椭圆方程为41x52+y32=1.

1.若动点(x,y)在曲线x42+by22=1(b>0)上变化,则 x2+2y 的最大值为(

)

A.???b42+4 ??2b

(0<b<4) (b≥4)

B.???b42+4 ??2b

(0<b<2) (b≥2)

C.b42+4 D.2b 解析:由x42+by22=1,得 x2=4(1-by22),-b≤y≤b, ∴x2+2y=4(1-by22)+2y=-b42y2+2y+4=-b42(y-b42)2+b42+4, 当-b≤b42<b,即 0<b<4 时,x2+2y 的最大值为b42+4; 当b42≥b,即 b≥4 时,x2+2y 的最大值为 2b.

答案:A 2.已知 F1、F2 分别为椭圆1x020+6y42 =1 的左、右焦点,椭圆内一点 M 的坐标为(2,-

6),P 为椭圆上的一个动点,试分别求:

(1)|PM|+53|PF2|的最小值; (2)|PM|+|PF2|的取值范围. 解答:(1)椭圆右准线 l:x=530,过点 P 作 PN⊥l 于点 N,如图所示则由椭圆的第二定 义知||PPFN2||=e=35,于是,|PN| =53|PF2| 所以,|PM|+53|PF2| = |PM| + |PN|≥d(M,l),

其中 d(M,l)表示点 M 到准线 l 的距离,易求得 d(M,l)=434,
所以,|PM|+53|PF2|的最小值为434(此时点 P 为过点 M 且垂直于 l 的线段与椭圆的交点). (2)由椭圆的定义知|PF2|+|PF1|=2a=20, 故|PM|+|PF2| = |PM|-|PF1|+20 ①|PM|-|PF1|≤|MF1| =10,

故|PM|+|PF2|≤30(当且仅当 P 为有向线段 ②|PF1|-|PM|≤|MF1| =10,

的延长线与椭圆的交点时取“=”);

故|PM|+|PF2|=20-(|PF1|-|PM|)≥10(当且仅当 P 为有向线段 的反向延长线与椭 圆的交点时取“=”). 综上可知,|PM|+|PF2|的取值范围为[10,30]. 3.已知椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 e.直线 l:y =ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点.P 是点

F1 关于直线 l 的对称点.设

.

(1)试证:λ=1-e2;

(2)确定 λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形.

解答:(1)证明:因为 A、B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B

的坐标分别是(-ae,0),(0,a).

??y=ex+a, 由???xa22+by22=1,

??x=-c, 得???y=ba2.

这里 c= a2-b2.所以点 M 的坐标是(-c,ba2).

??? 由 AM=λAB 得(-c+ae,ba2)=λ(ae,a).即

ae-c=λae, ba2=λa.

解得 λ=1-e2.

(2)因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必 有|PF1|=|F1F2|,即12|PF1|=c.设点 F1 到 l 的距离为 d, 由12|PF1|=d=|e(-c1)+ +e02+a|= |a1-+ece|2=c,得 11-+ee22=e.所以 e2=13,于是 λ=1-e2=23.

即当 λ=23时,△PF1F2 为等腰三角形.

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