高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质检测含解析新人教A版选修2_3

1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1.(1+x) 2n+1 (n∈N )的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是( B.n-1,n D.n+2,n+3 * ) A.n,n+1 C.n+1,n+2 解析:因为 2n+1 为奇数,所以展开式中间两项的二项式系数最大,中间两项的项数是 n+1,n+2. 答案:C 2.设 (x +1)(2x+1) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +…+a11(x+2) ,则 a0+a1+a2+… +a11 的值为( A.-2 ) B.-1 C.1 D.2 9 2 9 2 11 解析:令等式中 x=-1 可得 a0+a1+a2+…+a11=(1+1)×(-1) =-2,故选 A. 答案:A n ? 2 1? 3.已知?x + ? 的展开式的二项式系数之和为 32,则展开式中含 x 项的系数是( ? x? ) A.5 B.20 C.10 D.40 解析:根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为 32, 则有 2 =32,可得 n=5, 2(5-r) -r r 10-3r Tr+1=Cr ·x =C5x , 5x n 令 10-3r=1,解得 r=3, 所以展开式中含 x 项的系数是 C5=10,故选 C. 答案:C 4.已知 Cn+2Cn+2 Cn+…+2 Cn=729,则 Cn+Cn+Cn的值等于 ( A.64 B.32 C.63 D.31 0 1 2 2 3 n n 1 3 5 ) 1 n n 1 3 5 1 3 5 6 解析:由已知(1+2) =3 =729,解得 n=6,则 Cn+Cn+Cn=C6+C6+C6= ×2 =32. 2 答案:B ? x+ 3 ?n ? 5.已知? 3 ? 的展开式中,各项系数的和与各二项式系数的和之比为 64,则 n 等 ? x? ? 于( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4 n n 解析:令 x=1,得各项系数的和为 4 ,又各二项式系数的和为 2 ,故 n=64.所以 n= 2 n 6. 答案:C 二、填空题 6.(a+ a) 的展开式中奇数项系数和为 512,则展开式的第八项 T8=________. 13 n 解析:Cn+Cn+Cn+…=2 13 0 2 4 n-1 =512=2 ,所以 n=10,所以 T8=C a ( a) =120a 2 . 9 7 3 10 7 答案:120a 2 7.(1+ x) 展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32,则系数最大的项是________. 解析:因为 8<Cn+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn<32,即 8<2 <32.所以 n=4.所以展开式 共有 5 项,系数最大的项为 T3=C4( x) =6x. 答案:6x ①第 n 行首尾两数均为 n; ②表中的递推关系类似“杨辉三角”. 则第 10 行的第 2 个数是________,第 n 行的第 2 个数是________. 1 2 2 3 4 5 4 3 7 7 4 2 2 0 1 2 n r n n 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 … 解析:由图表可知第 10 行的第 2 个数为: (1+2+3+…+9)+1=46, 第 n 行的第 2 个数为: [1+2+3+…+(n-1)]+1= 答案:46 n(n-1) 2 +1= n2-n+2 2 . n2-n+2 2 三、解答题 9.已知(2x-3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,求: 4 2 3 4 (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)(a0+a2+a4) -(a1+a3) . 解:(1)由(2x-3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x , 令 x=1 得(2-3) =a0+a1+a2+a3+a4, 所以 a0+a1+a2+a3+a4=1. (2)在(2x-3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x 中, 令 x=1 得(2-3) =a0+a1+a2+a3+a4,① 令 x=-1 得 (-2-3) =a0-a1+a2-a3+a4.② 所以(a0+a2+a4) -(a1+a3) =(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)=(-2-3) (2 -3) =(2+3) (2-3) =625. 10.(1+2x) 的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项 和系数最大的项. 解:T6=Cn(2x) ,T7=Cn(2x) ,依题意有 Cn2 =Cn2 , 解得 n=8. 所以(1+2x) 的展开式中,二项式系数最大的项为 4 4 T5=C4 8(2x) =1 120x . 5 5 6 6 5 5 6 6 4 4 4 2 2 4 4 4 4 2 3 4 4 4 2 3 4 2 2 n n ?C82 ≥C8 2 , ? 设第(k+1)项系数最大,则有? k k k+1 k+1 ?C82 ≥C8 2 , ? k k k-1 k-1 解得 5≤k≤6. 又因为 k∈{0,1,2,…,8},所以 k=5 或 k=6. 所以系数最大的项为 T6=1 792x ,T7=1 792x . B 级 能力提升 1.若 9 +Cn+1·9 A.奇数 C.3 的倍数 解析:9 +Cn+1·9 n 1 5 6 n 1 n-1 +…+C n-1 n+1 ·9+Cn+1是 11 的倍数,则自然数 n 为( B.偶数 D.被 3 除余 1 的数 n ) n-1 1 n+1 n-1 n 1 n n-1 2 n n+1 +…+Cn+1·9+Cn+1= (9 +Cn+1·9 +…+Cn+1·9 +Cn+1+Cn+1) 9 1 1 1 1 n+1 n+1 - = (9+1) - = (10 -1)是 11 的倍数,所以 n+1

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