2017-2018学年人教A版高中数学必修一课件第二章2.22.2.1第二课时对数的运算_图文

第二课时

对数的运算

对数的运算性质
[提出问题] 问题1:我们知道am+n=am· an,那么loga(M· N)=logaM· logaN 正确吗?举例说明.

提示:不正确.例如log24=log2(2×2)=log22· log22=1×1 =1,而log24=2.

问题2:你能推出loga(MN)(M>0,N>0)的表达式吗?
提示:能.令am=M,an=N, ∴MN=am n.


由对数的定义知logaM=m,logaN=n,loga(MN) =m+n, ∴loga(MN)=logaM+logaN.

[导入新知] 对数的运算性质 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M· N)= logaM+logaN , M (2)loga N = logaM-logaN , (3)logaMn= nlogaM (n∈R).

[化解疑难] 巧记对数的运算性质 (1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和. (2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差. (3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.

换底公式
[提出问题] 问题1:(1)log28;(2)log232;(3)log832各为何值?
提示:(1)log28=3;(2)log232=5; 5 (3)log832=log88 = . 3
5 3

log232 问题2:log832= 成立吗? log28
提示:成立.

[导入新知] 换底公式

logcb 若 c>0 且 c≠1,则 logab= logca (a>0,且 a≠1,b>0).
[化解疑难] 1.换底公式的推导 设 x=logab,化为指数式为 ax=b,两边取以 c 为底的对数, 得 logcax=logcb,即 xlogca=logcb, logcb logcb 所以 x= ,即 logab= . logca logca

2.换底公式常用推论 loganbn=logab(a>0,a≠1,b>0,n≠0); n logamb =mlogab(a>0,a≠1,b>0,m≠0,n∈R);
n

logab· logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1); logab· logbc· logcd=logad(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0, c≠1,d>0).

对数运算性质的应用
[例1] (1)若a>0,且a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列各式:

①logax· logay=loga(x+y); ②logax-logay=loga(x-y); logax x ③loga(xy)=logax· logay;④ =logay ; logay 1 ⑤(logax) =logax ;⑥logax=-logax;
n n

x-y x+ y logax n ⑦ n =loga x;⑧loga =-loga . x+y x- y

其中式子成立的个数为 A.3 C.5 (2)计算下列各式的值: 1 ①4lg 2+3lg 5-lg ; 5 log5 2· log4981 ② ; 1 3 log25 · log7 4 3 32 ③2log32-log3 +log38-5 log5 3 ; 9 ④log2 8+4 3+log2 8-4 3. B.4 D.6

(

)

[解 ]

(1)选A

对于①,取x=4,y=2,a=2,

则log24· log22=2×1=2,而log2(4+2)=log26≠2, ∴logax· logay=loga(x+y)不成立; 对于②,取x=8,y=4,a=2,则log28-log24=1≠log2(8 -4)=2, ∴logax-logay=loga(x-y)不成立; 对于③,取x=4,y=2,a=2,则log2(4×2)=log28=3, 而log24· log22=2×1=2≠3, ∴loga(xy)=logax· logay不成立;

log24 4 对于④,取 x=4,y=2,a=2,则 =2≠log2 =1, log22 2 logax x ∴ =logay不成立; logay 对于⑤,取 x=4,a=2,n=3,则(log24)3=8≠log243=6, ∴(logax)n=logaxn 不成立; 1 ⑥成立,由于-logax=-logax-1=loga(x-1)-1=logax; ⑦成立,由于 loga n 1 x=logax =nlogax;
1 n

?x+y? x-y x+ y ? ?-1 ⑧成立,由于 loga =loga? ? =-logax-y. x - y x+y ? ?

24×53 (2)①原式=lg =lg 104=4. 1 5 1 log 2· ?2log73? 2 5 = ?2 ? =-3log32 1 ? log72? - log53· 2 ?3 ?

②原式=

×log23=-3. ③原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =5log32-(5log32-2log33)-3=-1. ④原式=log2( 8+4 3· 8-4 3)=log24=2.

[类题通法] 解决对数运算的常用方法 解决对数的运算问题,主要依据是对数的运算性质.常 用方法有: (1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积,再 展开; (2)将同底数的对数的和、差、倍合并; (3)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.

[活学活用] 求下列各式的值: (1)lg 52+lg 2×lg 50+(lg 2)2; (2)log2 7 1 +log212- log242; 48 2

lg 5· lg 8 000+?lg 2 3?2 (3) ; 1 1 lg 600- lg 0.036- lg 0.1 2 2 (4)lg( 3+ 5+ 3- 5).

解:(1)原式=2lg 5+lg 2×lg(5×10)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×lg 5+ lg 2+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×(lg 5+lg 2)+lg 2=2lg 5+lg 2+lg 2= 2(lg 5+lg 2)=2. 1 1 (2)法一:原式= (log27-log248)+log23+2log22- (log22+log23+ 2 2 1 1 1 1 1 1 1 log27)= log27- log23- log216+ log23+2- - log27=- . 2 2 2 2 2 2 2
? 法二:原式=log2? ?4 ?

7 1 ? 1 ? ×12× =- . 3 2 7× 6 ? ?

(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2 =3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2) =3lg 5+3lg 2=3(lg 5+lg 2)=3; 分母=(lg 6+2)-lg 3 ∴原式= . 4 1 1 2 (4)原式= lg( 3+ 5 + 3- 5) = lg(3+ 5 +3- 5 +2 9-5) 2 2 1 1 = lg 10= . 2 2 36 1 6 × =lg 6+2-lg =4. 1 000 10 100

换底公式的应用
[例2] (1)计算:(log2125+log425+log85)· (log52+log254+ log1258). (2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
[解] (1)法一:原式=
? log225 log25? log54 log58 3 ?log25 + ?· + log24 log28? log52+log525+log5125 ? ? 2log25 log25 ? 2log52 3log52 =?3log25+2log 2+3log 2?· log52+ + 2log 5 3log55 ? 2 2 ? 5 ? 1? log22 =?3+1+3?log25· (3log52)=13log25· =13. log 5 ? ? 2

?lg 125 lg 25 lg 法二:原式=? lg 2 + lg 4 +lg ?

5? lg 2 lg 4 lg 8 ?· + 8? lg 5 lg 25+lg 125

3lg 5 2lg 5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 ?13lg 5? ?3lg 2? ? ?=13. = + + · + + =? 3lg 2 ?· lg 2 2lg 2 3lg 2 lg 5 2lg 5 3lg 5 ? ? ? lg 5 ? (2)因为log189=a,18b=5,所以log185=b,于是 log189+log185 a+b log1845 log18?9×5? 法一:log3645= = = = . log1836 182 2log1818-log189 2-a log18 9 lg 9 法二:因为 =log189=a,所以lg 9=alg 18, lg 18 同理得lg 5=blg 18, lg 9+lg 5 alg 18+blg 18 a+b lg 45 lg?9×5? 所以log3645= = = = = . lg 36 182 2lg 18-lg 9 2lg 18-alg 18 2-a lg 9

[类题通法] 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的 对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运 算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式 进行互化,统一成一种形式.

[活学活用] 已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528.

log147+log144 a+2log142 log1428 解:log3528= = = = log1435 log147+log145 a+b 14 a+2log14 7 a+2?1-log147? a+2?1-a? 2-a = = = . a+b a+b a+ b a+ b

对数方程的求解
[例3] 解下列关于x的方程:

(1)log2(2x+1)=log2(3x); (2)log5(2x+1)=log5(x2-2); (3)(lg x)2+lg x3-10=0.

[解 ]

(1)由 log2(2x+1)=log2(3x),得 2x+1=3x,解得 x=1.

检验:当 x=1 时,2x+1>0,3x>0.故 x=1. (2)由 log5(2x+1)=log5(x2-2), 得 2x+1=x2-2, 即 x2-2x-3 =0,解得 x=-1 或 x=3.

检验:当x=-1时,2x+1<0,x2-2<0,不满足真数大于 0,舍去; 当x=3时,2x+1>0,x2-2>0.故x=3. (3)原方程整理得(lg x)2+3lg x-10=0, 即(lg x+5)(lg x-2)=0, 所以lg x=-5或lg x=2, 解得x=10-5或x=102. 经检验知:x=10-5,x=102都是原方程的解.

[类题通法] 解对数方程的方法 根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程: (1)等号两边为底数相同的对数式,则真数相等; (2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x)的一元二次方程, 再由对数式与指数式的互化解得x. [注意] 大于零. 在解方程时,需检验得到的x是否满足所有真数都

[活学活用] 解下列关于x的方程: (1)lg x-1=lg(x-1); (2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).
解:(1)原方程整理得 lg(x-1) =lg(x-1), 则(x-1) =x-1,解得 x=1 或 x=2. 检验:当 x=1 时,(x-1) =x-1=0,不满足真数大于 0, 舍去;当 x=2 时,满足所有真数都大于 0. 故方程的解是 x=2.
1 2 1 2 1 2

(2)因为0.25=4-1,所以原方程整理得 log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1), 3- x 1-x 3-x 1-x 即log4 =log4 ,则 = , 3+ x 2x+1 3+x 2x+1 解得x=7或x=0. 检验:当x=7时,3-x<0,1-x<0,不满足真数大于0,舍去; 当x=0时,满足所有真数都大于0. 故方程的解是x=0.

8.将对数形式化为代数形式时忽略范围限制

[典例]

a 设lg a+lg b=2lg(a-2b),则log4b的值为________.

[解析]

依题意,得a>0,b>0,a-2b>0,

原式可化为ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,
?a? ?a? a a 2 ? ? ? ? 则 b -5 b +4=0,∴b=4或b=1. ? ? ? ?

a a a ∵a-2b>0,b>2,∴b=4,∴log4b=1. [答案] 1

[易错防范] 1.在将对数式lg a+lg b=2lg(a-2b)化为代数式ab=(a- ?a>0, ? 2 2b) 时,易忽视隐含条件 ?b>0, ?a-2b>0, ? a 1,得出log4b=1或0的错误答案. 2.在将对数转化成其他形式时,一定要先考虑定义域的 限制,将字母的范围先确定出来. a a 从而误认为 b =4或 b =

[活学活用] x 已知2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y,则y =________.

解析:∵2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y, ∴lg(x+y)2=lg 4xy, ∴(x+y)2=4xy, 即(x-y)2=0. x ∴x=y,∴ y=1. 答案:1

[随堂即时演练]
1.求值:2log510+log50.25= A.0 C.2 B.1 D.4 ( )

解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2. 答案:C

2.求值:(log29)· (log34)= 1 A. 4 C.2 1 B. 2 D.4

(

)

解析:原式=(2log23)· (2log32)=4log23· log32=4. 答案:D

1 1 3.已知2 =5 =10,则a+b=________.
a b

解析:因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510.根据换底 1 1 1 1 公式得a= ,b= ,所以a+b=lg 2+lg 5=1. lg 2 lg 5 答案:1

4.方程lg x+lg(x+3)=1的解是x=________.

解析:原方程可化为lg(x2+3x)=1, ?x>0, ? ∴?x+3>0, ?x2+3x-10=0. ? 解得x=2. 答案:2

5.计算下列各式的值: (1)lg25+lg 2+lg 2· lg 5; (2)2(lg 2)2+lg 2· lg 5+ ?lg 2?2-lg 2+1; 7 (3)log535-2log5 +log57-log51.8. 3 解:(1)原式=lg 2+lg 5· (lg 5+lg 2)=lg 2+lg 5=1.
(2)原式=lg 2(2lg 2+lg 5)+ ?lg 2-1?2 =lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1. 9 (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2.


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