高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式:第6节 一元二次不等式恒成立问题

第 6 节 一元二次不等式的恒成立问题 【基础知识】 由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
?a=b=0, ?a>0, ? ? ? (1)不等式 ax 2+bx+c ? 0 对任意实数 x 恒成立? 或? ?Δ<0. ?c>0, ? ? ?a=b=0, ? ? ?a<0, ? (2)不等式 ax 2+bx+c ? 0 对任意实数 x 恒成立? 或? ? ? ?Δ<0. ?c<0,

当定义域不是全体实数时,可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最 值.

【规律技巧】 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当 主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上 全部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方. 【典例讲解】 例 1、设函数 f(x)=mx -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 【解析】(1)要使 mx -mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0;
? ?m<0, 若 m≠0,则? 2 ?Δ =m +4m<0 ?
2 2

?-4<m<0.

所以-4<m≤0.

【特别提醒】 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下 方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是 主元,求谁的范围,谁就是参数. 【变式探究】 (1)若不等式 x -2x+5≥a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(
2 2

)

A.[-1,4]

B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.[-2,5]
2

C.(-∞,-1]∪[4,+∞)

(2)已知 a∈[-1,1]时不等式 x +(a-4) x+4-2a>0 恒成立, 则 x 的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) 【答案】(1)A (2)C B.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,3)

)

【针对训练】 1、若不等式 A. 【答案】A B. C. 的解集是 R,则 m 的范围是( D. )

2、若不等式 ( A. ) B.

对满足

的所有

都成立,则 x 的取值范围是

C.

D.

【答案】D 综合点评: 二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在 x 轴上方或者下方, 借助数形结合 思想或者分类讨论思想求解.

3、已知 f ( x) ? ?3 x ? a (5 ? a ) x ? b .
2

(1)当不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1, 3) 时, 求实数 a,

b 的值;

(2)若对任意实数 a , f (2) ? 0 恒成立, 求实数 b 的取值范围. 【解析】(Ⅰ) f ( x) ? 0 即 ? 3 x ? a (5 ? a ) x ? b ? 0
2

∴ 3 x ? a (5 ? a ) x ? b ? 0
2

∴?

?3 ? a (5 ? a ) ? b ? 0 ?27 ? 3a (5 ? a ) ? b ? 0

∴?

?a ? 2 ?a ? 3 或? ?b ? 9 ?b ? 9

(Ⅱ)由 f (2) ? 0 , 即 ? 12 ? 2a (5 ? a ) ? b ? 0 即 2a ? 10a ? (12 ? b) ? 0
2

8分

∴ ? ? 0 恒成立∴ b ? ?

1 1 故实数 b 的取值范围为 (??,? ) 2 2

4、 已知 f ? x ? ? ?

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0, 不等式 f ? x ? a ? ? f ?2a ? x ? 在 ?a, a ? 1? 上恒成立, ?? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0, ?

则实数 a 的取值范围是( ) A. ?? ?, ? 2 ? 【答案】D 【巩固提升】
? ?-2,x>0, 1.设函数 f(x)=? 2 ?x +bx+c,x≤0, ?

B.

?? ?, 0?

C. ?0, 2 ?

D. ?? 2, 0 ?

若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不

等式 f(x)≤1 的解集为(

). B.[-3,-1] D.[-3,+∞)
2

A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[-3,-1]∪(0,+∞)

【解析】当 x≤0 时,f(x)=x +bx+c 且 f(-4)=f(0),故其对称轴为 x=- =-2, 2 ∴b=4.又 f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,当 x≤0 时,令 x +4x+4≤1 有-3≤x≤-1;当
2

b

x>0 时,f(x)=-2≤1 显然成立,故不等式的解集为
[-3,-1]∪(0,+∞). 【答案】C

? 1 1? 2 2 2.已知关于 x 的不等式 ax +2x+c>0 的解集为?- , ?,则不等式-cx +2x-a>0 的 ? 3 2?
解集为________.

?x +1,x≥0, ? 3.已知函数 f(x)=? ?1,x<0, ?

2

则满足不等式 f(1-x )>f(2x)的 x 的取值范围是

2

________.

【答案】(-1, 2-1)

4.已知函数 f(x)=-x +2x+b -b+1(b∈R),若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立, 则 b 的取值范围是________. 【解析】依题意,f(x)的对称轴为 x=1,且开口向下, ∴当 x∈[-1,1]时,f(x)是增函数. 若 f(x)>0 恒成立,则 f(x)min=f(-1)=-1-2+b -b+1>0,即 b -b-2>0,∴(b- 2)(b+1)>0,∴b>2 或 b<-1. 【答案】(-∞,-1)∪(2,+∞)
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2

2


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