2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东B卷)

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东 B 卷) 数学(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∪N=( A.{-1,0,1} C.{-1,0,2} A.3-4i C.-3-4i B.{-1,0,1,2} D.{0,1} ) B.3+4i D.-3+4i )

2.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=(

y≤x ? ? 3. 若变量 x, y 满足约束条件?x+y≤1 ? ?y≥-1 则 m-n=( A.8 C.6 ) B.7 D.5

, 且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,

x2 y2 x2 y2 4.若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 5.已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60° 夹角的是( A.(-1,1,0) C.(0,-1,1) B.(1,-1,0) D.(-1,0,1) )

)

6. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示. 为了解该地区中小学生 的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生 近视人数分别为( )

A.100,10 C.100,20

B.200,10 D.200,20

7.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论

一定正确的是( A.l1⊥l4 B.l1∥l4

)

C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定

8.设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合 A 中满足条 件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( A.130 C.90 B.120 D.60 )

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为________. 10.曲线 y=e
-5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.

11 .从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为 ________. 12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则 a =________. b 13.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+?+ln a20 =________. (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中, 曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ=cos θ 和 ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为________. 15.(几何证明选讲)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE △CDF的面积 交于点 F,则 =________. △AEF的面积

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. π? ?5π? 3 16.(12 分)已知函数 f(x)=Asin? ?x+4?,x∈R,且 f?12?=2.

(1)求 A 的值; π? 3 ?3π ? (2)若 f(θ)+f(-θ)= ,θ∈? ?0,2?,求 f? 4 -θ?. 2 17.(13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获得 数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 [25,30] (30,35] (35,40] (40,45] (45,50] 频数 3 5 8 n1 n2 频率 0.12 0.20 0.32 f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1 和 f2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35]的概率. 18.(13 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30° ,AF⊥PC 于 点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E.

(1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 DAFE 的余弦值. 19.(14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. x2 y2 5 20.(14 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 . a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的 轨迹方程. 1 ,其中 k<-2. ?x +2x+k? +2?x2+2x+k?-3
2 2

21.(本题 14 分)设函数 f(x)=

(1)求函数 f(x)的定义域 D(用区间表示); (2)讨论函数 f(x)在 D 上的单调性; (3)若 k<-6,求 D 上满足条件 f(x)>f(1)的 x 的集合(用区间表示).

答案

答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 解析: 选 B M∪N 表示属于 M 或属于 N 的元素构成的集合, 故 M∪N={-1,0,1,2}. 2.解析:选 A (3+4i)z=25?z= 25?3-4i? 25 = =3-4i. 3+4i ?3+4i??3-4i?

3.解析:选 C 作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线 y=
? ? ?y=-1 ?x=2, -2x+z 经过点 A 时,z 的值最大,由? ?? 则 m=zmax=2×2-1=3.当直 ?x+y=1 ?y=-1, ? ? ? ? ?y=-1 ?x=-1, 线 y=-2x+z 经过点 B 时,z 的值最小,由? ?? 则 n=zmin=2×(-1)-1 ?y=x ?y=-1, ? ?

=-3,故 m-n=6.

4.解析:选 D 由 0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上,由 25+9-k= 25-k+9,得两双曲线的焦距相等. 5 . 解析: 选 B 设选项中的向量与 a 的夹角为 θ ,对于选项 A ,由于 cos θ = 1×?-1?+0×1+?-1?×0 1 +02+?-1?2× ?-1?2+12+02 于 cos θ=
2 2 2 2 2

1 =- ,此时夹角 θ 为 120° ,不满足题意;对于选项 B,由 2
2 2 =2,此时夹角

1×1+0×?-1?+?-1?×0 1 +0 +?-1? × 1 +?-1? +0

1

θ 为 60° ,满足题意.故选 B.

6.解析:选 D 易知(3 500+4 500+2 000)×2%=200,即样本容量;抽取的高中生人 数为 2 000×2%=40,由于其近视率为 50%,所以近视的人数为 40×50%=20. 7.解析:选 D 构造如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1,取 l1 为 AD,l2 为 AA1,l3 为 A1B1,当取 l4 为 B1C1 时,l1∥l4,当取 l4 为 BB1 时,l1⊥l4,故排除 A、B、C,选 D.

8.解析:选 A 易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1 或 2 或 3,下面分三种情况讨论.其一: |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取一个让其等于 1 或-1,其余
1 等于 0,于是有 C1 5C2=10 种情况;其二:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从 x1,x2,x3,

x4,x5 中任取两个让其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1,其余等于 0,于
2 1 是有 2C2 5+C5C2=40 种情况;其三:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从 x1,x2,x3,x4,

x5 中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、另
3 1 3 2 一个等于 1,其余等于 0,于是有 2C3 5+C5C3+C5C3=80 种情况.由于 10+40+80=130,故

答案为 A. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 解析: 当 x<-2 时, 原不等式即 1-x-x-2≥5?x≤-3, 此时得到 x≤-3; 当-2≤x≤1 时,原不等式即 1-x+x+2≥5,此时无解;当 x>1 时,原不等式即 x-1+x+2≥5?x≥2, 此时得到 x≥2.于是原不等式的解集为{x≤-3 或 x≥2}. 答案:{x|x≤-3 或 x≥2} 10.解析:由 y=e
-5x

+2?y′=-5e

-5x

?切线的斜率 k=y′|x=0=-5,于是切线方程为

y-3=-5(x-0)?5x+y-3=0. 答案:5x+y-3=0
7 11.解析:十个数中任取七个不同的数共有 C10 种情况,七个数的中位数为 6,那么 6 只

有处在中间位置,有 C3 6种情况,于是所求概率 P= 1 答案: 6

C3 1 6 = . C7 6 10

a2+b2-c2 a2+c2-b2 a 12.解析:由已知及余弦定理得 b· +c· =2b,化简得 a=2b,则 = 2ab 2ac b 2. 答案:2 13.解析:由等比数列的性质可知 a10a11+a9a12=2e5?a1a20=e5,于是 a1a2?a20=(e5)10 =e50,ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1a2?a20)=ln e50=50. 答案:50 (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题)
2 ? ?y =x ? 14. 解析: 由 ρsin θ=cos θ?ρ sin θ=ρcos θ?y =x, 又由 ρsin θ=1?y=1, 联立 ?y=1 ? 2 2 2 2

? ?x=1, ?? 故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1). ?y=1. ?

答案:(1,1) △CDF的面积 ?CD?2 ?AB?2 15.解析:由 CD∥AE,得△CDF∽△AEF,于是 = = =9. △AEF的面积 ? AE ? ?AE? 答案:9 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 5π? 3 2π 3 16.解:(1)由 f? ?12?=2,得 Asin 3 =2, 又 sin 2π 3 = ,∴A= 3. 3 2

π? (2)由(1)得 f(x)= 3sin? ?x+4?, 3 由 f(θ)+f(-θ)= , 2 π? π? 3 ? 得 3sin? ?θ+4?+ 3sin?-θ+4?=2,

化简得 cos θ= π? ∵θ∈? ?0,2?,

6 , 4

∴sin θ= 1-cos2θ=

1-?

10 6?2 = , 4 ?4?

3π ? π? 10 30 ?3π 故 f? ? 4 -θ?= 3sin? 4 -θ+4?= 3sin θ= 3× 4 = 4 . 17.解:(1)根据已知数据统计出 n1=7,n2=2; 计算得 f1=0.28,f2=0.08. 频率 (2)由于组距为 5,用 得各组的纵坐标分别为 0.024,0.040,0.064,0.056,0.016. 组距 不妨以 0.008 为纵坐标的一个单位长、 5 为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图 如下:

(3)根据样本频率分布直方图,以频率估计概率,则在该厂任取 1 人,其日加工零件数落 在区间(30,35]的频率为 0.2,估计其概率为 0.2. 所以在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率 P=1-C0 4 (0.2)0(1-0.2)4=0.590 4. 18.解:(1)由题意可知 DA⊥DC,DA⊥DP,DC⊥DP,故可以 D 为原点,DP 所在直线 为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DA 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系, 设正方形 ABCD 的边长为 a,则 C(0,a,0),A(0,0,a), 由平面几何知识可求得 F? 3 3 ?, ? 4 a,4a,0?

故 CF⊥DF,CF⊥DA.又 DF∩DA=D,所以 CF⊥平面 ADF.

2 57 由图可知二面角 DAFE 为锐二面角,所以其余弦值为 . 19 注:本题可以过 E 作 EH⊥DF 于 H,再过 H 作 HG⊥AF 于 G,连接 EG,则可证∠EGH 为二面角 DAFE 的平面角,再利用平面几何知识可求解. 19.解:(1)由 Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,
? ?a1=2a2-7, 取 n=1,2 得? ?a1+a2=4a3-20, ?



又 S3=15,∴a1+a2+a3=15, ∴a3=15-(a1+a2). ② 联立①②解得 a1=3,a2=5,a3=7. (2)当 n>1 时,由已知得
2 ? ?Sn=2nan+1-3n -4n, ? 2 ? ?Sn-1=2?n-1?an-3?n-1? -4?n-1?,

两式相减得 2nan+1=(2n-1)an+6n+1,即 2nan+1-4n2-6n=(2n-1)an-4n2+1, 即 2n[an+1-(2n+3)]=(2n-1)[an-(2n+1)], 令 bn=an-(2n+1),则 2nbn+1=(2n-1)bn, ③ 由(1)知 b1=b2=0,则由③知 bn=0,∴an=2n+1,且 n=1 时也成立, 故 an=2n+1,n∈N*. 注:本题也可由第一小题结论 a1=3,a2=5,a3=7,猜想出 an=2n+1,n∈N*,再用数 学归纳法证明.

c 5 20.解:(1)依题意得,c= 5,e= = ,因此 a=3,b2=a2-c2=4, a 3 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程是 + =1. 9 4 (2)若两切线的斜率均存在,设过点 P(x0,y0)的切线方程是 y=k(x-x0)+y0,

?y=k?x-x0?+y0, 2 x2 [k?x-x0?+y0] 则由?x2 y2 得 + =1, 9 4 ? + =1, ?9 4
即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-36(9k2+4)[(y0-
2 2 kx0)2-4]=0,整理得(x2 0-9)k -2x0y0k+y0-4=0. 2 y0 -4 又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为 k1,k2,于是有 k1k2=-1,即 2 x0-9 2 =-1,即 x0 +y2 3). 0=13(x0≠±

? ? ? ? ?x0=3 ?x0=-3 ?x0=3 ?x0=-3, 若两切线中有一条斜率不存在,则易得? 或? 或? 或? ?y0=2 ? ? ? ? ?y0=2 ?y0=-2 ?y0=-2,
2 经检验知均满足 x2 0+y0=13.

因此,动点 P(x0,y0)的轨迹方程是 x2+y2=13. 21.解:(1)由题意知(x2+2x+k+3)(x2+2x+k-1)>0,
?x2+2x+k+3>0, ?x2+2x+k+3<0, ? ? 因此? 2 或? 2 ? ? ?x +2x+k-1>0, ?x +2x+k-1<0,

设 y1=x2+2x+k+3,y2=x2+2x+k-1,则这两个二次函数的对称轴均为 x=-1, 且方程 x2+2x+k+3=0 的判别式 Δ1=4-4(k+3)=-4k-8, 方程 x2+2x+k-1=0 的判别式 Δ2=4-4(k-1)=8-4k, 因为 k<-2,所以 Δ2>Δ1>0, 因此对应的两根分别为 x1,2= -2± Δ1 -2± Δ2 =-1± -k-2,x3,4= =-1± 2-k, 2 2

且有-1- 2-k<-1- -k-2<-1+ -k-2<-1+ 2-k, 因此函数 f(x)的定义域 D 为(-∞,-1- 2-k)∪(-1- -k-2,-1+ -k-2)∪(- 1+ 2-k,+∞). (2)由(1)中两个二次函数的单调性,且对称轴都为 x=-1,易知函数 f(x)在(-∞,-1- 2-k)上单调递增,在(-1- -k-2,-1)上单调递减,在(-1,-1+ -k-2)上单调递 增,在(-1+ 2-k,+∞)上单调递减. (3)由于 k<-6,故-1- 2-k<-1- -k-2<-3<-1<1<-1+ -k-2<-1+ 2-k. 利用函数图象的对称性可知 f(1)=f(-3), 再利用函数 f(x)的单调性可知在(-1- -k-2,-1)上 f(x)>f(1)=f(-3)的解集为(-1- -k-2,-3),在(-1,-1+ -k-2)上 f(x)>f(1)的解集为(1,-1+ -k-2). 再在其余两个区间(-∞,-1- 2-k)和(-1+ 2-k,+∞)上讨论. 令 x=1,则(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3=k2+8k+12, 令(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3=k2+8k+12, 则(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-(k2+8k+15)=0, 即(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-(k+5)(k+3)=0, 即[x2+2x+k+(k+5)][x2+2x+k-(k+3)]=0,

化简得(x2+2x+2k+5)(x2+2x-3)=0, 解得除了-3,1 的另外两个根为-1± -2k-4, 因此利用函数 f(x) 的单调性可知在 ( - ∞ ,- 1 - 2-k ) 上 f(x)>f(1) 的解集为 ( - 1 - -2k-4,-1- 2-k), 在(-1+ 2-k,+∞)上 f(x)>f(1)的解集为(-1+ 2-k,-1+ -2k-4), 综上所述,k<-6 时,在 D 上 f(x)>f(1)的解集为(-1- -2k-4,-1- 2-k)∪(-1- -k-2,-3)∪(1,-1+ -k-2)∪(-1+ 2-k,-1+ -2k-4).


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