2013版人教A版数学选修2-3课本例题习题改编

人教 A 版选修 2-3 课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com 1.原题(选修 2-3 第二十七页习题 1.2A 组第四题)改编 1 某节假日,附中校办公室要安排从一号至六号 由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天,但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任 丁 ( 也 不 能 相 邻 , 则 共 有 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法

)A.336

B.408

C.240

D.264

6 2 5 2 2 4 解:方法数为: A6 ? 2 A2 A5 ? A2 A2 A4 ? 336, 选 A.

改编 2 某地高考规定每一考场安排 24 名考生,编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同 时 排 在 “ ?? 考 点 ?? 考 场 ” , 那 么 他 们 两 人 前 后 左 右 均 不 相 邻 的 概 率 是 ( )A.

119 276

B.

119 272

C.

119 136

D.

119 138

解:若同学甲坐在四角的某一个位置,有 4 种坐法,此时同学乙的选择有 21 种;若同学甲坐在四边(不在 角上)的某一个位置,有 12 种坐法,此时同学乙的选择有 20 种;若同学甲坐在中间(不在四边、角上) 的某一个位置,有 8 种坐法,此时同学乙的选择有 19 种;故所求概率为 案选 D. 2. 原题(选修 2-3 第二十七页习题 1.2A 组第九题)改编 1 在正方体 任取 2 点连成 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点与各棱的中点共 20 个点中, 直线, 在这些直线中任取一条, 它与对角线 BD1 垂直的概率为_________. 解:如图, E, F , G, H , I , J , K , L, M , N , P, Q 分别为相应棱上的中点,容
2 易证明 BD1 ? 正六边形 EFGHIJ ,此时在正六边形上有 C6 ? 15 条,直

4 ? 21 ? 12 ? 20 ? 8 ?19 119 ? ,答 24 ? 23 138

图4

线与直线 BD1 垂直; 与直线 BD1 垂直的平面还有平面 ACB 、 平面 NPQ 、
2 平面 KLM 、平面 AC 1B 1C1D 1 的各个顶点与各棱的中点 1 1B ,共有直线 4 ? C3 ? 12 条.正方体 ABCD ? A 2 2 共 20 个点,任取 2 点连成直线数为 C20 ?12 ? (C3 ?1) ? 166 条直线(每条棱上如直线 AE , ED, AD 其实

为一条) ,故对角线 BD1 垂直的概率为

15 ? 12 27 ? . 166 166

改编 2 考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两 个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

1 (A) 75

2 (B) 75

3 (C) 75

4 (D) 75

?B ?
C

?F ?E ?A

解:如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意
1

?D

2 2 选两个点连成直线,共有 C6 C6 ? 15 ?15 ? 225 种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有

AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED 共 12 对,所以所求概率为 P ?
D.
3.原题(选修 2-3 第四十页复习参考题 A 组第三题)改编 1

12 4 ? ,选 225 75

设集合 S ? {1, 2,3, 4,5,6} ,定义集合对

( A, B) : A ? S , B ? S , A 中含有 3 个元素, B 中至少含有 2 个元素,且 B 中最小的元素不小于 A 中最大的
元素.记满足 A

B ? S 的集合对 ( A, B) 的总个数为 m ,满足 A

B ? ? 的集合对 ( A, B) 的总个数为 n ,

m 则 n 的值为
A. B. C. D.

解:根据题意, m 的个数可以这样取: A ? {1, 2,3}; B ? {4,5,6},{3, 4,5,6},故 m ? 2, 同样得 n 的个数为

22, 故选 A.
改编 2 把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可 以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为 n 的一个等差分拆.将这些正整数的不同排 列视为相同的分 拆.如: (1, 4, 7) 与 (7, 4,1) 为 12 的相同等差分拆.问正整数 30 的不同等差分拆有 个.

解:分类讨论,当三个数时,有 10 个;四个数时,有 2 个;5 个数时,有 3 个;6、10、15、30 个数时, 各有 1 个,共 19 个. 4.原题(选修 2-3 第四十一页复习参考题 B 组第 1 题(3) )改编 定 义 映 射 f : M ? N , 且 点 A?1 , f ( 1 B (2) C ?) , ? 2f, ? ?, ,则满足条件的映射有( DA? DC ? ? DB ?? ? ?R 个; 解:设 K 为 AC 的中点.由 DA ? DC ? ?DB?? ? R? ,知 D, B, K 三点共线,结合题意知 AB ? AC ,于
2 2 是 f (1) ? f (3) ? f (2) ,这样满足条件的映射有 C4 A2 ? 12 种.

已知集合 M ? ? 1,2,3 1,2,3,4? , ?, N ? ?

若 f 3? ,. (3 ) △ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 D , 且 A.12 个; B.10 个; C.6 个; D.16



5.原题(选修 2-3 第七十页例图)改编

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小

球将自由下落.小球在下落过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色 1 障碍物时向左、右两边下落的概率都是 . (Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A) ;(Ⅱ)在容器入口处依次 2
2

放入 4 个小球,记 X 为落入 A 袋中小球的个数,试求 X=3 的概率和 X 的数学期望 EX . 解: (Ⅰ)记小球落入 B 袋中的概率 P ( B ) ,则 P( A) ? P( B) ? 1 ,
A

由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落, 小球将落入 B 袋, 所以

B

1 3 1 1 1 P( B) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ? P ( A) ? 1 ? ? . 2 2 4 4 4 27 3 3 3 3 3 1 1 ) ( ) ? (Ⅱ)由题意, X ~ B(4, ), 所以有 P( X ? 3 )? C , ? EX ? 4 ? ? 3 4 ( 4 4 64 4 4
6.原题(选修 2-3 第九十五页例1)改编 甲乙两个学校高三年级分别有 1100 人,1000 人,为了了解两个 学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 105 名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀,甲校:

乙校:

(I )计算 x, y 的值; (II)由以上统计数据填写右面 2 ? 2 列联表,若按是否优秀来判 断,是否有 97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异. (III)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率;若把频率作为 概率,现从乙校学生中任取 3 人,求优秀学生人数 的分布列和数学 期望; 附: (I ) x ? 6, y ? 7 (II) K 2 ? 优秀 非优秀 总计 甲校 10 45 55 乙校 20 30 50 总计 30 75 105



105(10 ? 30 ? 20 ? 45)2 ? 6.109 ? 5.024 ,故有 30 ? 75 ? 50 ? 55

97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异. (III)甲校优秀率为

2 , 乙校优秀率为 11

3

2 2 2 2 27 2 54 1 2 1 , ? ? 0,1, 2,3, ? B(3, ) , P(? ? 0) ? C30 ( )0 (1 ? )3 ? ; P(? ? 1) ? C3 ( ) (1 ? ) 2 ? ; 5 5 5 5 125 5 5 125 2 2 36 2 8 3 2 3 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 (1 ? )1 ? ; P(? ? 3) ? C3 ( ) (1 ? ) 0 ? ; 5 5 125 5 5 125
分布列:

?
P

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125

期望: E (? ) ? 3 ?

2 6 ? . 5 5

4


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