江苏省徐州市沛县中学2017届高三上学期第二次质量检测数学试题含答案_图文

2016-2017 学年度第一学期第二次质量检测 数学试卷 一、填空题: (每题 5 分,共计 70 分,请把答案写在答题卡相应位置) 1.已知集合 A= x y ? log 2 ? x ? 3? , B ? y y ? 3 ? 1 ,则 A
x

?

?

?

?

?? B? ?
R



ln x ? 0” ,则 ? p : . x 11? 7 i 3 . 已 知 实 数 a , b 满 足 a ? bi ? ( i 为虚数单位) , 则 复 数 z ? a ? bi 的 共 轭 复 数 1 ? 2i
2.已知命题 p : “ ?x ? 0, 是 .

? x ? y ? 1 ? 0, ? x?2 y 4.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, ,则 z ? 3 的取值范围为 ?x ? 0 ?



?? 1 ? x ?? ? ? 7 ? x ? 0 ? 5.设函数 f ? x ? ? ?? 2 ? ,若 f ? a ? ? 1 ,则实数 a 的取值范围为 ? ? x ? x ? 0?
6.已知



?

?? 3 ? ? ? ? ? ,若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2 6? 2 ?
2 2



y

7.若双曲线
2 2

x y ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 离 心 率 为 3 , 其 渐 近 线 与 圆 2 a b


3 O
1

P

x ? y ? 6 y ? m ? 0 相切,则 m ?
x

8.如图,已知函数 y ? a ? b ? a ? 0且a ? 1, b ? 0? 的图象经过点 P ?1,3? ,则

x

4 1 ? 的最小值为 a ?1 b
9.将函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 称,则正数 ? 的最小值为



(第 8 题)

? ?

??

? ? ? 1?? ? 0 ? 的图象向左平移 3 个单位,所得图象关于 y 轴对 6?


10 . 记 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 的 导 函 数 为 f ? ? x ? . 若 存 在 x0 ?? a , b ? ,使得 .那么 f ?b? ? f ? a ? ? f ? ? x0 ??b ? a ? 成立,则称 x0 为函数 f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的“中值点” 函数 f ? x ? ? x ? 3x 在区间 ? ?2, 2? 上的“中值点”的个数为
3



11 . 已 知 同 一 平 面内 的三 个 向 量 a , b , c , 满 足 a , b 是 互 相 垂 直 的 单 位向 量, 且

?a ? c? ? ?

3b ? c ? 1,则 c 的最大值为

?



12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A ? ?2,0? , B ? 4,0? ,若直线 y ? kx ? 3 上存在一点

P 使得 PA ? PB ? 26 成立,则实数 k 的取值范围是

2

2



x2 y 2 A ,线段 AF2 13.已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,上顶点为 a b
AB 上,则该椭圆的离心率为 的垂直平分线交椭圆于点 B ,若左焦点 F 1 在线段


2 ? ?2 x ? 3 x, x ? 0, 14.已知函数 f ? x ? ? ? x ,若不等式 f ? x ? ? kx 对任意 x ? R 恒成立,则实数 k 2 ? ?e ? e , x ? 0

的取值范围是



二、解答题: (共 6 小题,合计 90 分,请把答案写在答题卡的相应位置,并写出必要的文字 说明或演算步骤) 15 . 在 △ABC 中 , 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知

a ? ? s i nB ? s i C n , sC i? n
(1)求角 B 的大小;

, A in b ? ? sin B ? sin C,sin A? ,且 a⊥b . ?s

(2)若 b ? c cos A , △ABC 的外接圆的半径为 1 ,求 △ABC 的面积.

16.已知圆 O : x ? y ? 4 交 y 轴正半轴于点 A ,点 B , C 是圆上异于 A 的两个动点.
2 2

(1)若点 B 与 A 关于原点 O 对称,直线 AC 和直线 BC 分别交直线 y ? 4 与点 M , N ,求 线段 MN 长度的最小值;

(2)若直线 AC 和直线 AB 的斜率之积为 1 ,求证:直线 BC 与 x 轴垂直.

x ?x 17.设函数 f ? x ? ? a ? ka ( a ? 0 且 a ? 1 )是定义域为 R 的奇函数.

(1)求实数 k 的值;
2 (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 的单调性,并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成

?

?

立的实数 t 的取值范围.

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 P ?1, ? ,离心率 2 a b ? 2?



1 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. ①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点,记 △ ABP 三边所在直线的斜率之积为 t ,求 t 的最大值; ②若直线 l 的斜率为

3 2 2 ,试探究 OA ? OB 是否为定值,若是定值,求出此定值;若不 2

是定值,请说明理由.

19.经过多年的运作, “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴; 为迎接 2015 年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促 销;经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量 p (万件)与促销费用 x (万元)满足

p ? 3?

2 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数) , 已知生产该产品还需投入成本 10 ? 2 p 万元 (不 x ?1

含促销费用) ,每一件产品的销售价格定为 4 ? 销售需求.

20 元,假定厂家的生产能力完全能满足市场的 p

(1)将该产品的利润 y (万元)表示为促销费用 x (万元)的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.

20.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ? a ? b? x ? 3? a ? 0? 在 x ? 1 处取得极值. (1)求函数 f ? x ? 的单调区间;
2 (2)若函数 f ? x ? 在区间 ? ? e, e ? ? 上的图象恒不在函数 g ? x ? ? ? ? a ?1? x ? e ? 4 图象的上方,

e 是自然对数的底数,求实数 a 的取值范围.

2016-2017 学年度第一学期第二次质量检测 数学试卷 一、填空题: (每题 5 分,共计 70 分,请把答案写在答题卡相应位置) 1 . 已 知 集 合 .

A= x y ? log 2 ? x ? 3?

?

?



B ? y y ? 3x ? 1

?

?





A

?? B? ?
R

? ?3, ?1?

ln x ln x ? 0” ?0 ,则 ? p : . ?x ? 0, x x 11? 7 i 3 . 已 知 实 数 a , b 满 足 a ? bi ? ( i 为虚数单位) , 则 复 数 z ? a ? bi 的 共 轭 复 数 1 ? 2i
2.已知命题 p : “ ?x ? 0, 是 .

5 ? 3i

?x ? y ?1 ? 0 , ? x?2 y 4 . 若 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 0, , 则 z ?3 的 取 值 范 围 ?x ? 0 ?
为 .

? 0,

3? ?

?? 1 ? x ?? ? ? 7 ? x ? 0 ? 5 . 设 函 数 f ? x ? ? ?? 2 ? , 若 f ?a? ? 1 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ? ? x ? x ? 0?
为 .

? ?3,1?


6.已知

?

?? 3 ? ? ? ? ? ,若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2 6? 2 ?
2 2

?

3 2
y

7.若双曲线
2 2

x y ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 离 心 率 为 3 , 其 渐 近 线 与 圆 2 a b


3 O
1

P

x ? y ? 6 y ? m ? 0 相切,则 m ?
x

8

8.如图,已知函数 y ? a ? b ? a ? 0且a ? 1, b ? 0? 的图象经过点 P ?1,3? ,则

x

4 1 ? 的最小值为 a ?1 b
9.将函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 称,则正数 ? 的最小值为



9 2

(第 8 题)

? ?

??

? ? ? 1?? ? 0 ? 的图象向左平移 3 个单位,所得图象关于 y 轴对 6?


2

10 . 记 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 的 导 函 数 为 f ? ? x ? . 若 存 在 x0 ?? a , b ? ,使得

.那么 f ?b? ? f ? a ? ? f ? ? x0 ??b ? a ? 成立,则称 x0 为函数 f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的“中值点” 函数 f ? x ? ? x3 ? 3x 在区间 ? ?2, 2? 上的“中值点”的个数为 .

2

11 . 已 知 同 一 平 面内 的三 个 向 量 a , b , c , 满 足 a , b 是 互 相 垂 直 的 单 位向 量, 且

?a ? c? ? ?
P
是 使

3b ? c ? 1,则 c 的最大值为

?



2 ?1

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A ? ?2,0? , B ? 4,0? ,若直线 y ? kx ? 3 上存在一点 得

PA ? PB ? 26


2

2













k











? 3? 2 6 ? ? ? ? ??, 3 ? ?

?3 ? 2 6 ? , ?? ? ? ? ? 3 ?

13.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,线段 AF2 a 2 b2

AB 上 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 的垂直平分线交椭圆于点 B ,若左焦点 F 1 在线段
为 .

3 3

2 ? ?2 x ? 3 x, x ? 0, 14.已知函数 f ? x ? ? ? x ,若不等式 f ? x ? ? kx 对任意 x ? R 恒成立,则实数 k 2 ? ?e ? e , x ? 0

的取值范围是



2 ? ? ?3, e ? ?

二、解答题: (共 6 小题,合计 90 分,请把答案写在答题卡的相应位置,并写出必要的文字 说明或演算步骤) 15 . 在 △ABC 中 , 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知

a ? ? s i nB ? s i C n , sC i? n
(1)求角 B 的大小;

, A in b ? ? sin B ? sin C,sin A? ,且 a⊥b . ?s

(2)若 b ? c cos A , △ABC 的外接圆的半径为 1 ,求 △ABC 的面积.

x ?x 16.设函数 f ? x ? ? a ? ka ( a ? 0 且 a ? 1 )是定义域为 R 的奇函数.

(1)求实数 k 的值;
2 (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 的单调性,并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成

?

?

立的实数 t 的取值范围.

17.已知圆 O : x ? y ? 4 交 y 轴正半轴于点 A ,点 B , C 是圆上异于 A 的两个动点.
2 2

(1)若点 B 与 A 关于原点 O 对称,直线 AC 和直线 BC 分别交直线 y ? 4 与点 M , N ,求 线段 MN 长度的最小值;

(2)若直线 AC 和直线 AB 的斜率之积为 1 ,求证:直线 BC 与 x 轴垂直.

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 P ?1, ? ,离心率 2 a b ? 2?



1 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. ①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点,记 △ ABP 三边所在直线的斜率之积为 t ,求 t 的最大值; ②若直线 l 的斜率为

3 2 2 ,试探究 OA ? OB 是否为定值,若是定值,求出此定值;若不 2

是定值,请说明理由. 解: (1)

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)①由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,把 y ? k ?x ?1?





x2 y 2 ? ?1 4 3





y



3 x 2 ? 4k 2 ? x ? 1? ? 12
2







? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,

所以 x1 ? x2 ?

6k 8k 2 4k 2 ? 12 9k 2 y ? y ? ? x x ? y y ? ? , , , , 1 2 1 2 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

t ? k k AP k BP

3 3 3 9 2 y2 ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 3 3? 9 ? 2 2 2 2 4 ?k ?k ? ?k ? k ? ? ? k ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 4 8 ? 64 ? y1 ?

所以当 k ? ? 时, t max ?

3 8

9 64

②由题意可设直线 l 的方程为 y ?

3 3 x ? m , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,把 y ? x ?m 代 2 2



x2 y 2 ? ? 1 消去 y 得 6x2 ? 4 3mx ? 4m2 ?12 ? 0 , 4 3

其判别式为 △ ? 4 3m

?

?

2

? 24 ? 4m2 ?12? ? 48 ? 6 ? m2 ? ? 0 ,即 m2 ? 6

2m 2 ? 6 2 3m , x1 x2 ? , x1 ? x2 ? ? 3 3

x ? x2 ? ? x1 ? x2 ?
2 1 2

2

? 2 3m ? ? 2m 2 ? 6 ? ? 2 x1 x2 ? ? ? ? 2 ? 4? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ?

2

所以 OA2 ? OB2 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? 7 为定值.

19.经过多年的运作, “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴; 为迎接 2015 年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促 销;经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量 p (万件)与促销费用 x (万元)满足

p ? 3?

2 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数) , 已知生产该产品还需投入成本 10 ? 2 p 万元 (不 x ?1

含促销费用) ,每一件产品的销售价格定为 4 ? 销售需求.

20 元,假定厂家的生产能力完全能满足市场的 p

(1)将该产品的利润 y (万元)表示为促销费用 x (万元)的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.

20.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ? a ? b? x ? 3? a ? 0? 在 x ? 1 处取得极值. (1)求函数 f ? x ? 的单调区间;
2 (2)若函数 f ? x ? 在区间 ? ? e, e ? ? 上的图象恒不在函数 g ? x ? ? ? ? a ?1? x ? e ? 4 图象的上方,

e 是自然对数的底数,求实数 a 的取值范围.


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