数列复习基本知识点及经典结论总结(教师版)

数列复习基本知识点及经典结论总结
1、数列的概念:数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为 正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n} )的特殊函数,如果数列 ?a n? 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个 公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 递推关系式:已知数列 ?a n? 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a 与它的前一项 a (前 n 项)间的关系可以用一个 n n ?1 式子来表示,则这个式子就叫数列的递推关系式。 数列的分类:①按项数多少,分为有穷数列、无穷数列; ②按项的增减,分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。 ③按项有无界限,分为有界数列、无界数列。 数列的前 n 项和:

s n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an .

?s , (n ? 1) ? 1 已知 s n 求 a n 的方法(只有一种) :即利用公式 a = ? n ?s ? s , (n ? 2) n ?1 ? n

注意:一定不要忘记对 n 取值的讨论!最后,还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n ? 2 的关系式,从而决定能否 将其合并。

1、在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?中,x 的值是 A、19 B、 20 C、 、 21 D 、22 10 13 16 2、数列 4,-1, ,- , ,?的一个通项公式是 17 31 49 2n ? 1 3n ? 1 2n ? 1 3n ? 1 A、 (?1) n ?1 2 B、 (?1) n ?1 2 C、 (?1) n ?1 2 D、 (?1) n ?1 2 、 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 3、 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? log2 (3 ? n2 ) ? 2 ,那么 log 2 3 是这个数列的 A.、第 3 项 B.第 4 项 C.第 5 项 D.第 6 项 n (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为___1/25_________. 4、已知 an ? 2 n ? 156 1 5、在数列 {an } 中, a n ? ,且 Sn=9,则 n=____9_________. n ? n ?1 例1.(1)已知数列 {an } 的前 n 项和公式,求 {an } 的通项公式 ① S n ? 2n 2 ? 3n ; ② S n ? 2 ? 3n ? 1 ③数列{an}中, a1 ? 1 ,对所有的 n≥2 都有 a1 ? a2 ? a3 ? ??a n ? n
2

变 题 : 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)a n?1(n ? 2) , 则 数 列 {an } 的 通 项

an ?

.
an ( n ? N * ),写出这个数列的前 4 项,并根据规律,写出这 1 ? 2 an

例 2 (1)已知数列 {an } , a1 ? 1 , an ?1 ? 个数列的一个通项公式,

(2). 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式. n(n ? 1)

1

n2 (3). 已知数列的通项公式为 a n ? 2 ( n? N *) n ?1

①0.98 是否是它的项?②判断此数列的增减性与有界性.
2.等差数列的有关概念: 1、 等差数列的定义: 如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列叫做等差数列, 这个常数叫等差数列的公差。即 a n ? an?1 ? d (n ? N * , 且n ? 2) .(或 a n ? 1 ? an ? d (n ? N *) ). (1) 等差数列的判断方法:①定义法: a n ? 1 ? an ? d (常数) ? ?a n?为等差数列。 ② 中项法: 2 a n ?1?a n ? a n ? 2 ? ?a n?为等差数列。③通项公式法: a n ? an ? b (a,b 为常数) ? ?a n?为等差数列。 ④前 n 项和公式法: s n ? A n 2 ? Bn (A,B 为常数) ? ?a n?为等差数列。 如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=

? ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。 n

(2)等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。公式变形为: a n ? an ? b . 其中 a=d, b= a1 -d. 如(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (答: 2 n ? 10 );

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:

8 ? d ?3) 3
d

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? A n 2 ? Bn d 。公式变形为: s n (3)等差数列的前 n 和: S n ? , S n ? na1 ? ,其中 A= 2 , 2 2

B= a 1 ?

d .注意:已知 n,d, a1 , a n , s n 中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。 2 3 1 15 * a a 如 (1) 数列 {an } 中, n ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N ) , n ? , n 项和 S n ? ? 前 , a1 =_, =_ 则 (答: 1 ? ?3 , a n 2 2 2

n ? 10 );(2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答:

?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? Tn ? ? 2 ). * ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N ) ?
(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差 为d ) ;偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d ) 3.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ;
2

前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。
(3)对称性:若 ?a n?是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 m ? n ? p ? q 时,则有

am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2ap .
如(1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27) ; (2) 在等差数列 ?an ? 中, 10 ? 0, a11 ? 0 , a1 ?|0a | ,S n 是其前 n 项和, A、 1 , S2 ?S10 都小于 0, 11 , S12 ? 且 则 a S S 1 都大于 0 B、 S1 , S2 ?S19 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于 0 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0 D、

S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 都大于 0 (答:B)
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 a k , a k ? m , a k ? 2m ,...( k , m? N *) 成等差.若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则

{kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{ap?nq }( p, q ? N * ) 、 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an }
成等比数列;若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 (5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, 。 (答:225)

s n ? n(a n ? a n ?1) ; s 偶? s 奇 ? nd ;


s 偶 a n ?1 . ? s 奇 an

项数为奇数 2n ? 1 时,

s 2n ?1?(2n ?1) a n ; s 偶? s 奇? ? a1

s 偶 n ?1 。 ? s奇 n

如(1)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). (6)单调性:设 d 为等差数列 ?a n?的公差,则 d>0 ? ?a n?是递增数列;d<0 ? ?a n?是递减数列;d=0 ? ?a n?是常数数列 (7)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且

An a (2n ? 1)an A2 n ?1 ? f ( n) ,则 n ? ? ? f (2n ? 1) . Bn bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 (答:

a Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ___________ ? bn Tn 4n ? 3

6n ? 2 ) 8n ? 7

(8)已知 ?a n?成等差数列,求 s n 的最值问题:

3

① 若 a1 ? 0 ,d<0 且满足 ?an ?

?

? 0,

?an ?1 ? 0 ?

,则 s n 最大;

? ②若 a1 ? 0 ,d>0 且满足 ?a n ? 0, ,则 s n 最小. ? ?a n ?1 ? 0 ?

“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小 值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ?an ? 0 ? 或?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列 ? ? ? ?
? ?an ?1 ? 0? ? ?an ?1 ? 0 ?

前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。上述两种方法是运用了
*

哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:前 13 项和最大, 最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) (9)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两 等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm . 练习题 2 1.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n ,则{an}是 数列 (等差) (105) 项 (13 )

2.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? 3.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有 4.设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 (2) 5 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

S3 1 S 3 = ,则 6 =( ) 10 S6 3 S12
2

S n ? 9n 6. {an} 设 为等差数列, n 为数列 an} S { 的前 n 项和, 已知 S7=7, 15=75, n 为数列 S T { n } 的前 n 项和, Tn。 求 ( ) 4 n
7 设{an} n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( c ) ( .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 8.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 例 1. 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=10,a45=90,求 a60; (2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.
82 ? ?a 1 ? ? 3 ?a15 ?a1 ?14d ? 10 ? ?? 解:(1)方法一: ? ?a 45 ?a1 ?44d ? 90 ?d ? 8 ? 3 ?
*

(210)

∴a60=a1+59d=130.

方法二: d ?

a n ?a m a 45 ?a15 8 8 ? ? ,由 an=am+(n-m)d ? a60=a45+(60-45)d=90+15× =130. n?m 45 ? 15 3 3

4

(2)不妨 设 Sn=An2+Bn, ∴? ?
?12 2 A ? 12B ? 84
2

?A ? 2 ?? ?20 A ? 20B ? 460 ?B ? ?17 ?

∴Sn=2n2-17n

∴S28=2× 2-17× 28 28=1092
6(a1 ?10) 即 a1=-5 2

(3)∵S6=S5+a6=5+10=15, 而 d=
a 6 ?a1 ?3 6 ?1

又 S6=

6(a1 ? a 6 ) 6(a1 ?10) ? 2 2

∴15=

∴a8=a6+2 d=16

S8=

8(a1 ?a 8 ) ? 44 2

变式训练 1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= 解:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10=
7(a 4 ?a10 ) ? 7(a 5 ?2d ) ? ?49 2



例 2. 已知数列{an}满足 a1=2a,an=2a- ⑴ 求证:数列{bn}是等差数列. ⑵ 求数列{an}的通项公式. 解:∵ ⑴ an=2a-
a2 an ?1

a2 1 (n≥2) .其中 a 是不为 0 的常数,令 bn= . an ?1 an ? a

(n≥2)

∴ bn=

1 ? an ? a

1 a? a an ?1
2

?

an ?1 a (an ?1 ? a )

(n≥2)

∴ bn-bn-1= ⑵ ∵ b1= 即:

an ?1 1 1 ? ? a(an ?1 ? a) an ?1 ? a a

(n≥2)

∴ 数列{bn}是公差为
1 1 n +(n-1)× = a a a

1 的等差数列. a

1 1 = a a1 ? a

故由⑴得:bn=
1 ) n

n 1 = a an ? a

得:an=a(1+

变式训练 2.已知公比为 3 的等比数列 ?bn ? 与数列 ?an ? 满足 bn ? 3 n , n ? N * ,且 a1 ? 1 , (1)判断 ?an ? 是何种数列,
a

并给出证明;

(2)若 C n ?

1 ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 a n a n ?1

解:1)

bn ?1 3an?1 ? a ? 3an?1 ? an ? 3,? an ?1 ? an ? 1 ,即 bn 3n

?an ? 为等差数列。

(2) Cn ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ,? S n ? ? ? 1? ? 。 an an ?1 an an ?1 a1 an ?1 an ?1 n ? 1
Sn }前 n 项和。求 Tn. n

例 3. 已知{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 解:设{an}首项为 a1 公差为 d,由
7?6 ? ? S 7 ? 7a1 ? 2 d ? 7 ? a1 ? ?2 ? ?? ? 15 ?14 ? d ?1 ? S ? 15a ? d ? 75 1 ? 15 2 ?

∴ Sn= n 2 ? n

1 2

5 2

Sn 1 5 ?? n? n 2 2



S1 ? ?3 1

∴Tn= ? n 2 ?

1 4

11 n 4

变式训练 3.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和的比 A.

S n 5n ? 3 a ? ,则 5 的值是 ' S n 2n ? 7 b5





28 17

B.

48 25

C.

53 27

D.

23 15
5

9 (a1 ? a9 ) ? a5 2a5 2 ? S9 ? 48 。 解:B 解析: ? ? b5 2b5 (b ? b ) ? 9 S9 25 1 9 2

4.等比数列的有关概念:如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比

? ?

a 数列,这个常数叫等比数列的公比。即 a n ? q(n ? * , n ? 2) (或 n ?1 ? q(n ? N *) N an a n ?1
(1)等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n (n ? 2) 。 ? q(q为常数) an an an?1

如(1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____(答:

5 ) ; 6

(2)数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列。 (2)等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 如设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答: n ? 6 , q ? (3)等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ?

1 或 2) 2

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) 特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由

q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。
(4)等比中项:如果 a、G、b 三个数成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,即 G= ? ab . 提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。如已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B) 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 项和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技 巧,如奇数个数成等比,可设为?,

a a , , a, aq, aq 2 ? ( 公 比 为 q ) 但 偶 数 个 数 成 等 比 时 , 不 能 设 为 ? ; 2 q q

a a , , aq, aq3 ,?,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q2 。 q3 q
如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三 个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 5.等比数列的性质: (1)对称性:若 ?a n?是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当 m ? n ? p ? q 时,则有

am .an ? a p .aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am .an ? a p .
2

6

如(1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答:512) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? (答:10) 。

(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {ap?nq }( p, q ? N * ) 、 {kan } 成等比数列;若 {an }、 n } 成等比数列,则 {anbn } 、 {b

a { n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列, 且公比 q ? ?1 , 则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ?也是等比数列。 q ? ?1 , 当 bn
且 n 为偶数时,数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列. 若 ?a n?是等比数列,且各项均为正 数,则 loga a n 成等差数列。 如 ( 1 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 l o g x n?1 ? 1 l oax n(n ? N * ), 且 x1 ? x 2 ? ? ? x ? g a
100

?

?

? 100 , 则

x1 0 1? x

102

?? ? x

200

?

. (答: 100a

100

) ;

(2)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值为______(答:40) (3) 单调性:若 a1 ? 0, q ? 1 ,或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 ,或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 则 {an } 为递减数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,这是等比数列前 n 项和公式 1? q 1? q

的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比数列。 如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm . 如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 . (7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此数列既成等 差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若 a n ? a n?1 , (答:-1)

(n ? N) ,则 ? an ? 既
n

是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比 b 数列。这些命题中,真命题的序号是 (答:②③) ⑧等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn; 练习题 1.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? 12, q ? 3 2 ,则 a19 ? _____. (192)
7

2. 2 ? 3 和 2 ? 3 的等比中项为

(+1,-1)

3. 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 ,(-1458) 4.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,则 a4 ? a7 ?
2

1 2

5. 在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 .(20) 6 设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) 等于

2 ( 8n ? 4 -1) 7
3

7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q;(-

1 ) 2
(84)

8.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5= 6.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 如已知数列 3

1 1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________(答: an ? 2n ? 1 ? n ?1 ) 2 4 8 16 32

⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ?

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1



如①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an (答: an ?

?

3, n ? 1 ) ; 2n , n ? 2

②数列 {an } 满足

1 1 1 14, n ? 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) 2 ,n ? 2 2 2 2

?

⑶已知 a1 ? 2 ? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 a ?? ,(n ? 2)

? f (1),(n ? 1) ? ? f (n ? 1) ?

如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______(答:

61 ) 16

⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________(答: an ? n ? 1 ? 2 ? 1)

⑸已知

an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1
4 ) n(n ? 1)

如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an (答: an ? ⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地,

(1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比

8

数列后,再求 an 。 如①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2? n?1 ?1 ) ; 3 ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an (答: an ? 5? n?1 ? 2n?1 ) ; 3 (2)形如 an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b
1 an ?1 ,求 an (答: an ? ) ; 3n ? 2 3an ?1 ? 1

如①已知 a1 ? 1, an ?

②已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ?

an an?1 ,求 an (答: an ?

1 ) n2

注意:1) an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时, ( 用 你注意到此等式成立的条件了吗? n ? 2 , n ? 1 时, 1 ? S1 ) ( 当 ; a (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 ,先将已知条件转化为 只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解。 如数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 4, n ? 1 an ?1 ,求 an (答: an ? ) 3?4n ?1 , n ? 2 3

?

7.数列求和的常用方法: (1)公式法:直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;常用公式:

n(n ? 1) 2 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ]. 2 6 2
2 2 2 2 如(1)等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an =_____(答:


4n ? 1 ) ; 3

(2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ,如 (1101 2 表示二进制数,将它转换成 )
3 2 1 0 十进制形式是 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 13,那么将二进制 (111?11) 2 转换成十进制数是_______(答: 2

2005

?? ? ? ?
2005 个1

?1 )

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转 化成等差或等比数列,然后利用公式求和。如求: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? (?1)n (2n ?1) (答: (?1) ? n )
n

(3)倒序相加法:倒序相加法:数列特点:与首末等距离的两项之和等于首末两项之和,则采用此法。 (联系:等 差数列的前 n 项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题) ). 如已知 f ( x) ?

1 1 1 7 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______(答: ) 2 2 3 4 2 1? x

(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,即数列是一个“差·比” 数列,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,
9

①求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.(答:① a1 ? 1 , q ? 2 ;② Tn ? 2n?1 ? n ? 2 ) ; (5)裂项相消法:裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时一些正负抵消,从而前 n 项化成首尾若干 少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用 裂项形式有:①

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), ? ? ? 2? ? ? ; 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k



1 1 1 1 1 ? ( ? )⑤ ( 2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 n(n ? 1)(n ? 2) 1 n?k ? n ?

1 1 1 ? [ ? ] ; 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)



n 1 1 1 ; ( n ? k ? n)⑦ ? ? k (n ? 1)! n! (n ? 1)!
(答:

1 1 1 ? ??? ? 如 (1) 求和: 1? 4 4 ? 7 (3 n ? 2) ? (3 n ?1)

n ) ; 在数列 {an } 中,a n ? (2) 3n ? 1

1 n ? n ?1



且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ; (6) 通项转换法: 先对通项进行变形, 发现其内在特征, 再运用分组求和法求和。 如①求数列 1×4, 2×5, 3×6, ?,

n ? (n ? 3) ,?前 n 项和 Sn =
(答:

(答:

n( n ? 1)(n ? 5) 1 1 1 ) ;②求和: 1 ? ? ?? ? ? 3 1 ? 2 1? 2 ? 3 1? 2? 3? ? ? n

2n ) n ?1

专题研究:数列的求和·例题解析
【例 1】 求下列数列的前 n 项和 Sn:

1 1 1 1 (1)1 , 2 , 3 ,?,( n ? n ) ,?; 2 4 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (2) ? 2 , 3 ? 4 , 5 ? 6 ,?, 2 n ?1 ? 2 n ,?; 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 (3)1,1+ ,1+ ? ,?,1+ + +?+ n ?1 ,?. 2 2 4 2 4 2
【例 2】 求和:

1 1 1 1 + + +?? 1· 2 2 · 3 3· 4 n( n ? 1) 1 1 1 1 (2) ? ? ??? 1·5 3· 7 5· 9 (2 n ? 1)(2 n ? 3) 1 1 1 1 (3) ? ? ??? 2 ·5 5·8 8·11 (3n ? 1)(3n ? 2) (1)
【例 3】 求下面数列的前 n 项和:

1 1 1 1+1, + 4 , 2 + 7 ,?, n?1 + (3n- 2) ,? a a a 1 分析 将数列中的每一项拆成两个数,一个数组成以 为公比的等 a
10

比数列,另一个数组成以 3n-2 为通项的等差数列,分别求和后再合并.

【例4】 设a k =12 +2 2 +?+k 2 (k∈N*),则数列
?的前 n 项之和是

3 5 7 , , , a1 a2 a3
[ ]

A.

6n n ?1

B.

3n n ?1

C.

6( n ? 1) n

D.

6( n ? 1) n?2

【例 6】 求下列数列的前 n 项和 Sn: (1)a,2a2,3a3,?,nan,?,(a≠0、1); (2)1,4,9,?,n2,?; (3)1,3x,5x2,?,(2n-1)xn-1,?,(x≠1)

1 2 3 n (4) , , ,?, n ,?. 2 4 8 2

11


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