安徽省安庆一中2015-2016学年高二数学新课标人教A版必修二同步课件4.2.3直线与圆的方程的应用_图文

4.2.3 直线与圆的方程的应用

抗日战争时期,虎子担任我军的交通员,在一次 送情报中,遇上一个鬼子兵的追捕.当虎子跑到一个 大的圆形池塘边时,鬼子兵看着无路可走的虎子就猛 扑上去.虎子急中生智,纵身跳到池塘里.鬼子兵不 会游泳,只好盯住虎子沿塘边跟着虎子跑动,打算在 虎子爬上岸时抓住他.如果鬼子兵跑动的速度是虎子 游泳速度的2.5倍,问虎子用怎样的方法才能摆脱鬼 子兵的追捕?

通过直线与圆的方程,可以确定直线与圆、圆和 圆的位置关系,对于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题,我们可以建立直角坐标系, 通过直线与圆的方程,将其转化为代数问题来解决. 对此,我们必须掌握此类解决问题的基本思想和方法.

一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆 (x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为

| Aa ? Bb ? C |

d?



A2 ? B2

位置 d与r的大小关系

相离 d>r

相切 d=r

相交 d<r

图形

r d

dr

dr

交点个数

0个

1个

2个

判断直线和圆的位置关系

几何方法 求圆心坐标及半径r (配方法)
圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)

代数方法
?( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 ? ? Ax ? By ? C ? 0
消去y
px2 ? qx ? t ? 0

?d < r:相交 ??d = r:相切 ??d > r:相离

?Δ > 0:相交 ??Δ = 0:相切 ??Δ < 0:相离

1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.(重点) 2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系. (难点) 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.

知识探究:直线与圆的方程在实际生活中的应用
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气 象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处, 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知 港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不 改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

解:以台风中心为原点, 东西方向为x轴,建立 如图所示的直角坐标系,

.y 港口

(其中,取10 km为单位

长度)这样,受台风影响

O

的圆形区域所对应的圆

.
轮船 x

O方程为 x2 ? y2 ? 9

轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0问题归结

为圆O与直线L有无公共点的问题.

知识应用 例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个 圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间 隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度 (精确到0.01m).
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B

分析:建立如图所示

y
P2 P

的直角坐标系,把实

际问题转化为数学问

x

题——求出圆拱桥所 A A1 A2 O A3 A4 B

在的圆的方程;然后解决这个实际问题——利用圆

的方程求出点P2的坐标,从而求线段A2P2的长,解 释实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.

解:建立如图所示的 直角坐标系,使圆心

y
P2 P

在y轴上,设圆心的
x
坐标是(0,b),圆 A A1 A2 O A3 A4 B 的半径为r,那么圆的方程为:x2+(y-b)2=r2,

点P(0,4),B(10,0)在圆上,所以有

??02 +(4 ???102 + b2

b)2 = = r2,

r2

,解得:???br 2???1140.5.52,,

所以,圆的方程为:x2 ? ( y ?10.5)2 ? 14.52 把 P的2 横坐标 x ?代?2入 圆的方程得:
(?2)2 ? ( y ?10.5)2 ? 14.52
由题可知y>0,解得:y≈3.86(m) 答:支柱A2P2的高度约为3.86 m.

思考:不建立坐 标系,如何解决 这个问题?

B C

解法如下

P2H作? OP, 即

在Rt△COA中 CA 2 ? CO 2 ? OA 2
得 r ? 14.5.

在Rt△CP2H中,得 CH 2 ? r2 ? OA2 2 ? 206.25,

又 OC ?14.5 ? 4 ?10.5,

H

B
OH = CH - OC ? 3.86.

C
所以支柱A2P2的高度约是3.86m.

【变式练习】

某次生产中,一个圆形的零件损坏了,只剩下了如

图所示的一部分.现在陈师傅所在的车间准备重新做一

个这样的零件,为了获得这个圆形零件的半径,陈师傅

在零件上画了一条线段 AB,并作出了 AB 的垂直平分线

MN,而且测得 AB=8 cm,MN=2 cm.根据已有数据,试

帮陈师傅求出这个零件的半径.

N B

M A

解:以 AB 中点 M 为原点,建立如

图所示的平面直角坐标系,由已知有

y

A(-4,0),B(4,0),N(0,2).

N

设过 A,B,N 的圆的方程为 A



B

M

x

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

代入 A,B,N 的坐标,可得

?16 - 4D + F = 0,

? D = 0,

??16 + 4D + F = 0,解得

? ?

E = 6,

?? 4 + 2E + F = 0,

??F = -16.

因此所求圆的方程为 x2+y2+6y-16=0, A
化为标准方程是 x2+(y+3)2=52,
所以这个零件的半径为 5 cm.

y N

M

B x

例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.

探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”,首先
要考虑的问题是建立适当的直角坐标系,关键是
如何选取坐标系? y
如图所示

O

x

探究:如图所示,设四边形的四个顶点分别为A(a,

0),B(0,b),C(c,0), D(0,d),那么BC边的

长为多少?

y B

BC ? c2 ? b2

C

M

O

A x

E D

探究:四边形ABCD的外接圆圆心O′的坐标如何表示?

y B

C

M

O
N

O'

E

D

A x

过四边形外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂 线,垂足为M、N、E,则M、N、E分别为AC、BD、 AD的中点,由中点坐标公式,有:

xE

?

a 2

,

yE

?

d 2

,

a?c

b?d

xO' ? xM ? 2 , yO' ? yN ? 2

证明:以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所

在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系,

设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,

d),过四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD O? 的垂线,垂足为M、N、E,则M、N、E分别为AC、

BD、AD的中点,y B

C

M

O
N

O'

E

A x

第一步:建立坐 标系,用坐标 表示有关的量.

D

由中点坐标公式,有:

xE

=

a 2

,

xM

=

xO'

=

a+c 2

,

yE

=

d 2

,

yN

=

yO'

=

b

+ 2

d

.

第二步:进行 有关代数运算

由两点间的距离公式,有:

O'E = ( d - b + d )2 +( a - a + c )2 ? 1 b2 ? c2,

22

22

2

BC ? b2 ? c2,
所以 O ' E ? 1 BC , 2

第三步:把代数 运算结果翻译成
几何关系.

即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

【提升总结】
利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程
表示问题中的几何元素,将平面几何问题转 化为代数问题. 第二步:通过代数运算,解决代数问题. 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

【变式练习】
如图所示,已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7 m,高 为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道?

解析:如图所示,以截面半圆的圆心 O 为坐标原点, 半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,那 么半圆的方程为 x2+y2=16(y≥0). 将 x=2.7 代入, 得 y= 16-2.72= 8.71<3,
即在离中心线 2.7 m 处,隧道的高度低于货车的高 度.因此,货车不能驶入这个隧道.

1. 直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,

N两点,若|MN|≥2,则k的取范围是 ( A )

A. [- 3 ,0]
4
C. [- 3 , 3]
33

B.(-?,- 3] [0, ??)
4
D. [- 2 ,0]
3

2.若⊙O1:x2+y2=5与⊙O2:(x-5)2+y2=20(m∈R) 相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,

则线段AB的长度是( D )

A.1

B.2

C.3

D.4

解:选D.由题意作出图形
分析得:由圆的几何性质
两圆在点A处的切线互相垂
直,且过对方圆心C2,C1. 则在Rt△C2AC1中, |C1A|= 5,|C2A|= 2,0 斜边上的高为半弦, 用等积法易得:AB ? 5 ? 5 ? 20? AB ? 4.
2

3.(2012 ? 江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,圆C 的方程为x2 + y2 - 8x +15 = 0,若直线y = kx - 2上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点, 则k的最大值是多少?

分析:从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及

直线与圆的位置关系角度处理.

解:方法一:设直线上一点(t,kt- 2),则圆心距满足

(t - 4)2 +(kt - 2)2 ? 2对t?R有解.

即(1+ k2)t2 -(4k + 8)t + 16 ? 0有解,

所以有(4k + 8)2 - 4×16(1+ k2)? 0,

所以0

?

k

?

4,所以k的最大值为 3

4 3

.

方法二:由题意,C到直线的距离不大于2,

d=

4k - 2 k2 + 1

?

2所以0

?

k

?

4,所以k的最大值为 4

3

3

.

1.用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.

2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则 固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握 一些方法和技巧.


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