高中常见函数图像及基本性质

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常见函数性质汇总及简单评议对称变换

常数函数 f(x)=b (b∈R) 1) 、y=a 和 x=a 的图像和走势
2) 、图象及其性质:函数 f(x)的图象是平行于 x 轴或与 x 轴重合(垂直于 y 轴)的直线

y b O

f(x)=b x

一次函数

f(x)=kx+b (k≠0,b∈R)

y 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— f(x)=kx+b 点斜式—— 2) 、对斜截式而言,k、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势: x 3) 、|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓 O 4) 、定 义 域:R 值域:R 单调性:当 k>0 时 ;当 k<0 时 奇 偶 性:当 b=0 时,函数 f(x)为奇函数;当 b≠0 时,函数 f(x)没有奇偶性; 反 函 数:有反函数(特殊情况下:K=±1 并且 b=0 的时候) 。 补充:反函数定义:

例题:定义在 rR上的函数 y=f(x); y=g(x)都有反函数,且 f(x-1)和 g (x)函数的图像关于 y=x 对称,若 g(5)=2016,求 f(4)= 周 期 性:无 5) 、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法: 2)点关于直线(点)对称,求点的坐标

-1

2、与曲线函数的联合运用
1

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反比例函数

f(x)=

k (k≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远) x
y f(x)=

图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当 k>0 时,函数 f(x)的图象分别在第一、第三 象限;当 k<0 时,函数 f(x)的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线,x 轴与 y 轴分别是曲线的两条渐近线; 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域: (??,0) ? (0,??) 值 域: (??,0) ? (0,??) 周 期 性:无

ax ? b cx ? d
x

O

单 调 性:当 k> 0 时;当 k< 0 时 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身 补充:1、反比例函数的性质

2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——⑴直接带入, 利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此) 3、反函数变形(如右图) 1) 、y=1/(x-2)和 y=1/x-2 的图像移动比较 2) 、y=1/(-x)和 y=-(1/x)图像移动比较 3) 、f(x)=

ax ? b (c≠0 且 d≠0)(补充一下分离常数) cx ? d

(对比标准反比例函数,总结各项内容)

二次函数
一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

y

2 f(x)= ax ? bx ? c

顶点式: f ( x) ? a( x ? k ) ? h(a ? 0)
2

两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) 图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为 ,顶点坐标为 x ②当 a ? 0 时,开口向上,有最低点 当 a ? 0 时。 。 。 。 。 O ③当 = >0 时,函数图象与 x 轴有两个交点 ( ) ;当<0 时,函数图象与 x 轴有一个交点( ) ;当=0 时,函数图象与 x 轴没有交点。 ④ f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2
关系

f ( x) ? ax2 (a ? 0)


定 义 域:R 值 域:当 a ? 0 时,值域为( ) ;当 a ? 0 时,值域为( 单 调 性:当 a ? 0 时;当 a ? 0 时. 奇 偶 性:b=/≠0 反 函 数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数 周 期 性:无 补充: 1、a 的正/负;大/小与和函数图象的大致走向(所以,a 决定二次函数的 2、



2

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3、二次函数的对称问题:关于 x 轴对称;关于 y 轴对称;关于原点对称;关于(m,n)对称 4、二次函数常见入题考法:⑴交点(交点之间的距离) ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走 势(选择题)

指数函数

f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,系数只能为 1。
图象及其性质: 1、恒过 (0,1) ,无限靠近 x 轴;
x 2、 f ( x) ? a 与 f ( x ) ? ( ) ? a 关于 y 轴对称;但均不
x ?x

f(x)= a (0 ? a ? 1)
x

y

f(x)= a (a ? 1)
x

1 a

具有奇偶性。 3、在 y 轴右边“底大图高” ;在 y 轴左边“底大图低”—— 靠近关系 定 义 域:R 值 域: (0,??) 奇 偶 性:无 周 期 性:无

O

x

单 调 性:当 a ? 0 时;当 a ? 0 时。

反 函 数:对数函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 补充: 1、

2、图形变换 1/x - x Log2 和 Log2

ln(x-1)和 lnx - 1 y

对数函数(和指数函数互为反函数)

f(x)= loga x(a ? 1)

f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1)
图象及其性质:①恒过 (1,0) ,无限靠近 y 轴; ② f ( x) ? loga x 与 f ( x) ? log 1 x ? ? loga x 关于 x 轴对称;
a

O

x f(x)= loga x(0 ? a ? 1)

③x>1 时“底大图低” ;0<x<1 时“底大图高” (理解记忆) 值 域: (0,??) 奇 偶 性:无 周 期 性:无

定 义 域:R

单 调 性:当 a ? 0 时;当 a ? 0 时;
x

反 函 数:指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 补充: 1、

3

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双钩函数
f ( x) ? x ? 1 (变形式 x
值 ) ②最值计算: 域: 奇 偶 性:奇函数 周 期 性:无

图象及其性质:①两条渐近线: 定 义 域: 单 调 性: 反 函 数:定义域内无反函数

注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多,需特别注意最值得算法

幂函数(考察时,一般不会太难) 无论 n 取任何实数,幂函数图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
不需要背记,只要能够快速画出 n=±1, ±1/2,±3,,1/3,0,的图象就行 注意: 掌握 y=x 的图像; 3 2 掌握 y=ax +bx +cx+d 的图像(当 a>0,当 a<0 时); 补充: 利用数形结合,判断非常规方程的根的取值范围。 例:P393,例题 10
3

4

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函数 y ? f ( x) 图象变换
一.平移变换 二.对称变换
向左平移a个单位 y=f(x)+b 向上平移b个单位

y=f(x+a)

y=f(x)

向右a平移个单位

y=f(x-a)

①y=f(-x)与 y=f(x)关于 y 轴对称; 向下平移b个单位 ②y=-f(x)与 y=f(x)关于 x 轴对称; ③y=-f(-x)与 y=f(x)关于原点对称; y=f(x)-b ④y=f-1(x)与 y=f(x)关于直线 y=x 对称; ⑤y=|f(x)|的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,其 余部分不变. ⑥y=f(|x|)的图象:可将 y=f(x) ,x≥0 的部分作出,再利用偶函数关于 y 轴的对称性.

三、伸缩变换
①y=Af(x) (A>0)的图象,可将 y=f(x)图象上每一点的纵坐标伸(A>1)缩(0<A<1)到原 来的 A 倍,横坐标不变而得到. ②y=f(ax) (a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上每一点的横坐标伸(0<a<1)缩(a>1)到 原来的

1 ,纵坐标不变而得到. a

四、函数及图象(大致图象) 典型例题精讲 例 1:已知 y=f(x)的图象如图 2—7 所示,则下列式子中能作为 f(x)的解析式是( A


2 A. x ? 2 | x | ?1

B.x2-2|x|+1

C.|x2-1|

D. x 2 ? 2 x ? 1

解析:当 f(x)=
?x ? 1 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ?? ( x ? 1) ( x ? 1)

x 2 ? 2 | x | ?1 时, f ( x) ? (| x | ?1) 2 ?|| x | ?1 |?

(0 ? x ? 1) (?1 ? x ? 0) ( x ? ?1)

5

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其图象恰好是上图.

例 2:画出函数 y=lg|x+1|的图象. 解析:y=lg|x+1| ? ? ?
lg( x ? 1) ?lg( ? x ? 1) ( x ? ?1) . ( x ? ?1)

例 3:要将函数 y= 2 ? x 的图象通过平移变换得到 y= 1 的图象,需经过怎样的变换?
x ?1 x

解析:y=
到 y=

1 -1,先沿 x 轴方向向左平移 1 个单位,再沿 y 轴方向向上平移 1 个单位,即可得 x ?1

1 的图象. x
1 ? ( x ? 2) 2 有两个不相等的实根,求实数 k 的取值范围.
① ②

例 4:方程 kx= 解析:设 y =kx
1

y2= 1 ? ( x ? 2) 2

方程①表示过原点的直线,方程②表示半圆,其圆心(2,0) ,半径为 1,如图 2—9.易知当 OA 与半 圆相切时, k OA ? 个不相等的实根.

3 3 3 ,故当 0≤k< 时,直线与半圆有两个交点,即 0≤k< 时,原方程有两 3 3 3

例 5:作函数 f(x)=x+ 1 的图象.
x

分析:f(x)=x+ 1 不能由已知函数图象变换得到,故需对函数 f(x)的性质进行研究.
x

解析:函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ,
∵f(-x)=-f(x) ,
6

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∴f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 又|f(x)|=|x+

1 1 |=|x|+ ≥2,当且仅当|x|=1 时等号成立, x | x|

∴当 x>0 时 y≥2;当 x<0 时,y≤-2; 当 x∈(0,1)时函数为减函数,且急剧递减; 当 x∈[1,+∞)时函数为增函数,且缓慢递增,又 x≠0,y≠0, ∴图象与坐标轴无交点,且 y 轴是渐近线,作出第一象限的函数的图象, 再利用对称性可得函数在定义域上的图象,如图 2—10 所示.

评述:
(1)熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功;先研究函数的性质,再利用性质作 图则能减少作图的盲目性,提高图象的准确性. (2)与图象有关的“辅助线”要用虚线作,以起到定形、定性、定位、定量的作用.

例 6:f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示.
令 g(x)=af(x)+b,则下列关于函数 g(x)的叙述正确的是(

B



A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称 B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g(x)=0 有大于 2 的实根 C.若 a≠0,b=2,则方程 g(x)=0 有两个实根 D.若 a≥1,b<2,则方程 g(x)=0 有三个实根

解析:将 f(x)图象上每点的纵坐标变为原来的 a 倍,横坐标不变,再将所得图象向上(b>0)
或向下(b<0)平移|b|个单位,得 g(x)=af(x)+b 的图象. ? 例 6:(全国Ⅱ)把函数 y=ex 的图象按向量 a =(2,3)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)= (

C

) (B)ex+3-2 (C)ex-2+3 (D)ex+2-3
n

(A)ex-3+2

例 7:(菏泽模拟)如图为函数 y=m+ log
论正确的是 (

x 的图象,其中 m,n 为常数,

则下列结

D

)
7

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(A)m<0,n>1

(B)m>O,n>l

(C)m>O,0<n<1

(D)m<0,0<n<1

例 8:(安庆模拟)函数 y=e

-|x-1|的图象大致是(

D

)

例 9:在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0,y=0,2x+3y=30,
则△AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( A.95 B.91 C.88 D.75

B



解析:画出图象,补形做出长方形

AOBC,共有整点数 11×16=176,而六点(0,10) , (3,8) ,

(6,6) , (9,4) , (12,2) , (15,0)在长方形的对角线上,所以符合题意的点数为(176+6)× =91.

1 2

例 10:将函数 y=log 解析:C:y=log
=-1-2x.

1 2

x 的图象沿 x 轴方向向右平移一个单位,得到图象 C,图象 C1 与 C 关于原

点对称,图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称,那么 C2 对应的函数解析式是_____.
1 2

(x-1) ;由-y=log 1 (-x-1)得 C1:y=log2(-x-1) ;求 C1 的反函数得 y
2

例 11:若函数 y=|-x +4x-3|的图象 C 与直线 y=kx 相交于点 M(2,1) ,那么曲线 C 与该
2

直线有

个交点.
2

解析: (数形结合法)作 y=|-x +4x-3|的图象,知其顶点在 M(2,1) .过原点与点 M(2,1)
作直线 y=kx,如图.

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∴曲线 C 与直线 y=kx 有四个交点.

例 12:作函数 y=( 1 )
2

|x-1|

的图象.

?2 ? ( x ?1) 解析:(1)y= ? x ?1 ?2

( x ? 1), ( x ? 1).

故它在区间[1,+∞)上的图象,

可由 y=2-x(x≥0)的图象沿 x 轴方向向右平移 1 个单位得到 在区间(-∞,1)上的图象,可由 y=2x(x<0)的图象沿 x 轴方向 向右平移 1 个单位得到.

例 13:已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(a+x)=f(a-x) ,求证 y=f(x)的图象关于直线
x=a 对称.

证明:设 p(x ,y )是 y=f(x)图象上的任一点,则有 y =f(x ) ,
0 0 0 0

设点 P 关于直线 x=a 的对称点为 p′(x′,y′) ,则有 ?

? x ? ? 2a ? x0 , ? y? ? y0

即?

? x0 ? 2a ? x ? 由 y0=f(x0) ? y0 ? y?

? y ? ? f (2a ? x ?) ? f [a ? (a ? x ?)]? ]=f(x′) . ? ? y′=f[a-(a-x′) 又 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ?
即点 p′(x′,y′)也在 y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称.

例 14: 画出函数 y=

2 x ? 1 的图象,并利用此图象判定方程 2 x ? 1 =x+a 有两个不同的实数解
2 2 2

时,实数 a 所满足的条件.

解析:图象是抛物线 y =2x+1 在 y≥0 上的部分.把 y=x+a 代入 y =2x+1,得(x+a) =2x
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+1,即 x2+2(a-1)x+a2-1=0,由Δ =0 得 a=1, 此时直线与抛物线相切.又因抛物线顶点是(-

1 ,0) , 2

可知当直线过点(-

1 1 ,0)时,即 a= 时直线与抛物线有两交点, 2 2

故当

1 ≤a<1 时直线与此抛物线有两个交点,即原方程有两不同实数解. 2

10


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