苏教版高中数学必修1学案全套


§ 1.1 集合的含义及其表示(1)
【教学目标】 1.初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法. 2.理解集合的三个特征,能判断集合与元素之间的关系,正确使用符号 ? . 3.能根据集合中元素的特点,使用适当的方法和准确的语言将其表示出来,并从中体会到用 数学抽象符号刻画客观事物的优越性. 【考纲要求】 1. 知道常用数集的概念及其记法. 2. 理解集合的三个特征,能判断集合与元素之间的关系,正确使用符号 ? . 【课前导学】 1.集合的含义: (1)集合中的元素及其表示: (2)集合中的元素的特性: (3)元素与集合的关系: 构成一个集合. . .

(i)如果 a 是集合 A 的元素,就记作__________读作“___________________”; (ii)如果 a 不是集合 A 的元素,就记作______或______读作“_______________”. 【思考】构成集合的元素是不是只能是数或点? 【答】 2.常用数集及其记法: 一般地,自然数集记作____________,正整数集记作__________或___________, 整数集记作________,有理数记作_______,实数集记作________. 3.集合的分类: 按它的元素个数多少来分: (1)________________________叫做有限集; (2)___________________ _____叫做无限集; (3)______________ 4.集合的表示方法: (1)______ __________________叫做列举法; (2)________________ ________叫做描述法. (3)______ _________叫做文氏图 【例题讲解】 例1、 下列每组对象能否构成一个集合? (1) 高一年级所有高个子的学生;(2)平面上到原点的距离等于 2 的点的全体; (3)所有正三角形的全体; (4)方程 x ? 2 的实数解;(5)不等式 x ? 1 ? 2 的所有实数解.
2

_叫做空集,记为_____________

例 2、用适当的方法表示下列集合 ① 由所有大于 10 且小于 20 的整数组成的集合记作 A ; ② 直线 y ? x 上点的集合记作 B ;
-1-

③ 不等式 4 x ? 5 ? 3 的解组成的集合记作 C ; ④ 方程组 ?

?x ? y ? 2 的解组成的集合记作 D ; x ? y ? 0 ?

⑤ 第一象限的点组成的集合记作 E ; ⑥ 坐标轴上的点的集合记作 F .
2 例 3、 已知集合 A ? x | ax ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R ,若 A 中至多只有一个元素, 求实数 a 的取值范

?

?

围.

【课堂检测】 1.下列对象组成的集体:① 不超过 45 的正整数;② 鲜艳的颜色;③ 中国的大城市;④ 绝对值最 小的实数;⑤ 高一(2)班中考 500 分以上的学生,其中为集合的是____________ 2.已知 2a∈ A,a2-a∈ A,若 A 含 2 个元素,则下列说法中正确的是 ① a 取全体实数; ② a 取除去 0 以外的所有实数; ③ a 取除去 3 以外的所有实数;④ a 取除去 0 和 3 以外的所有实数 3.已知集合 A ? {0,1, x ? 2} ,则满足条件的实数 x 组成的集合 B ?

【教学反思】

-2-

§ 1.1 集合的含义及其表示(2)
【教学目标】 1.进一步加深对集合的概念理解; 2.认真理解集合中元素的特性; 3. 熟练掌握集合的表示方法,逐渐培养使用数学符号的规范性. 【考纲要求】 3. 知道常用数集的概念及其记法. 4. 理解集合的三个特征,能判断集合与元素之间的关系,正确使用符号 ? . 【课前导学】 1.集合 A ? ??0,1?, ?2,3??,则集合 A 中的元素有 2.若集合 ?x | ax ? 0, x ? R? 为无限集,则 a ? 3. 已知 x2∈ {1,0,x},则实数 x 的值 4. 集合 A ? ? x | x ? N , 个. . . .

? ?

12 ? ? N ? ,则集合 A = 6? x ?

【例题讲解】 例1、 观察下面三个集合,它们表示的意义是否相同?

2 2 2 (1) A ? x | y ? x ? 1 (2) B ? y | y ? x ? 1 (3) C ? ( x, y ) | y ? x ? 1

?

?

?

?

?

?

例 2、含有三个实数的集合可表示为 ? a,

? b ? ,1? ,也可表示为 ?a 2 , a ? b, 0? ,求 a2011 ? b2011 . a ? ?

-3-

2 2 例 3、已知集合 A ? a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3 ,若 1 ? A ,求 a 的值.

?

?

【课堂检测】 1. 用适当符号填空:
2 (1) A ? x | x ? x , ?1_____ A

22, x ? R ,2 5 ___C ? b ? 2.设 a, b ? R ,集合 ?1, a ? b, a? ? ?0, , b ? ,则 b ? a ? ? a ?
3.将下列集合用列举法表示出来:

?3?C ? ?x | x ?

?

?

?

2 (2) B ? x | x ? x ? 6 ? 0 ,

?

?

3 ____ B

.

?1?

A ? ?m | m ? N且6 ? m ? N?;

?2?

9 ? ? B ? ?x | ? N, x ? N ? ? 9? x ?

【教学反思】

-4-

§ 1.2 子集· 全集· 补集(1)
【教学目标】 1.理解子集、真子集概念,会判断和证明两个集合包含关系,会判断简单集合的相等关系; 2.通过概念教学,提高学生逻辑思维能力,渗透等价转化思想;渗透问题相对论观点. 【考纲要求】 1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集. 2.清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. 【课前导学】 1. 子集的概念及记法: 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素( ) ,则称 集合 A 为集合 B 的子集,记为_________或_________读作“_________”或“______________”用符 号语言可表示为:________________ ,如右图所示:________________. 2.子集的性质:① A A ② ?____ A ③ A ? B, B ? C ,则 A ___ C

【思考】: A ? B 与 B ? A 能否同时成立? 【答】 3.真子集的概念及记法: 如果 A ? B ,并且 A ? B ,这时集合 A 称为集合 B 的真子集,记为_________或_________读 作“____________________”或“__________________” 4.真子集的性质: ①? 是任何 的真子集 符号表示为___________________ ② 真子集具备传递性 符号表示为___________________ 【例题讲解】 例 1、下列说法正确的是_________ (1) 若集合 A 是集合 B 的子集,则 A 中的元素都属于 B ; (2) 若集合 A 不是集合 B 的子集,则 A 中的元素都不属于 B ; (3) 若集合 A 是集合 B 的子集,则 B 中一定有不属于 A 的元素; (4) 空集没有子集. 例 2.以下六个关系,其中正确的是_________ (1) ? ? {?} ; (2) ? ?{?} (3) ? ? {0} (4) 0 ?? (5) ? ? {0} (6) ? ? {?}

-5-

例 3. (1)写出集合{a,b}的所有子集,并指出子集的个数; (2)写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出子集的个数.

【思考】 含有 n 个不同元素的集合有 非空真子集. 例 4.集合 A ? {x | x ? 1} ,集合 B ? {x | x ? a} .

个子集, 有

个真子集, 有



(1) 若 A ? B ,求 a 的取值范围;(2)若 A ? B ,求 a 的取值范围. ?

【课堂检测】 1.下列关系一定成立的是________

?1? 3 ? ? x | x ? 10? ?

? } ? 2? {1, 2

?3???1,2??? ??x, y ? | x ? y ? 3? { 2 , 1}
个.

2.集合 A ? ?x | x( x ? 1)(x ? 2) ? 0?, 则集合 A 的非空子集有

3.若 A ? ?a | a ? 3n ? 1, n ? Z ? , B ? ?b | b ? 3n ? 2, n ? Z ?, C ? ?c | c ? 6n ? 1, n ? Z ?, 则集合 A,B,C 的包含关系为 .

【教学反思】

-6-

§ 1.2 子集· 全集· 补集(2)
【教学目标】 1.理解全集、补集概念,会进行简单集合的运算; 2.通过概念教学,提高学生逻辑思维能力,渗透等价转化思想;渗透问题相对论观点. 【考纲要求】 1. 理解全集、补集概念,会进行简单集合的运算; 2. 通过概念教学,提高学生逻辑思维能力. 【课前导学】 1.全集的概念: 如果集合 U 包含我们所要研究的各个集合,这时 U 可以看做一个全集.全集通常记作_____ 2.补集的概念: 设____________,由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 U 的子集 A 的补集 , 记为 _____读作“__________________________”即: CU A =_______________________

CU A 可用右图阴影部分来表示:_______________________
3.补集的性质: ① CU ? =__________________ ② CU U =__________________ ③ CU (CU A) =______________ 【例题讲解】 例 1 已知全集 U ? {2,3, a2 ? 2a ? 3}, A ? {| 2a ?1|, 2}, CU A ? {5} ,求实数 a 的值.

例 2 设 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 6}, B ? {x | a ? 2 ? x ? 2a} ,若 B ? CU A ,求实数 a 的取值范 围.

-7-

例 3 若方程 x ? x ? a ? 0 至少有一个非负实数根,求 a 的取值范围.
2

【课堂检测】 1.全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1,5? , B ? CU A, 则集合 B 有 2.全集 U ? R, A ? x | x ? 3 2 , a ?

?

?3??a? ? A 3. (1)已知全集 U ? ?x | x ? ?3?, 集合 A ? ?x | x ? 1?, 则 CU A = (2)设全集 U ? Z , A ? ?x | x ? 3k ?1, k ? Z?, 则 CU A 为
CU A ?1? a ? ?

2? 3 ? 2? a ? CU A

?

?

个.

1

, 则下面正确的有
CU A ? 4 ??a? ? ?
. .

【教学反思】

-8-

§ 1.3 交集· 并集(1)
【教学目标】 1. 理解交集和并集的概念,会求两个集合的交集和并集; 2. 提高学生的逻辑思维能力,培养学生数形结合的能力; 3. 渗透由具体到抽象的过程; 【考纲要求】 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系. 【课前导学】 1.交集: 记作 2.并集: 记作 ,即: ,即: 叫做 A 与 B 的交集. . 叫做 A 与 B 的并集, .

3.设集合 A ? ?x | x ? 2n, n ? N ?, B ? ?x | x ? 3n, n ? N ?, 则 A ? B ? ________ 4.设 M ? 1,2, m 2 ? 3m ? 1 , P ? ?? 1,3? , M ? P ? ?3?, 则 m 的值为 【例题讲解】 例 1.设 A ? {?1,0,1}, B ? {0,1, 2,3}, 求 A B 及 A B .

?

?

.

例 2.设 A ? {x | 2x ? px ? q ? 0}, B ? {x | 6x ? ( p ? 2) x ? 5 ? q ? 0}, 若 A
2 2

1 B ? { } ,求 A B . 2

-9-

例 3. 设集合 A ? {x ?2 ? x ? 4}, B ? {x x ? a} . (1)若 A

B ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 A

B ? ? ,求 a 的取值范围.

【课堂检测】 1.设集合 A ? ? 1,2?, B ? ? 1,2,3?, C ? ?2,3,4?, 则 ? A

B? C ? __________.
.

2.若集合 S ? x | x ? 2或x ? 3 , T ? ?x | 2 ? x ? 3?, 则 S

T ? _________ . 2 1? ? 3. 设集合 U ? R, A ? ? x | 0 ? x ? 2.5? , B ? ? x | x ? 或x ? ? ? , 则 (CU A) (CU B) = 3 2? ? 2 2 4.已知 A ? ? 1, a ? 1, a ? 3 , B ? ?a ? 3, a ? 1, a ? 1? , 则 A B ? ??2? , 则a ? ______ .

?

?

?

?

【教学反思】

- 10 -

§ 1.3 交集· 并集(2)
【教学目标】 、 (1)掌握集合交集及并集有关性质;运用性质解决一些简单问题; (2)掌握集合的有关术语和符号;使学生树立创新意识. 【考纲要求】集合的交、并运算及正确地表示一些简单集合. 【课前导学】 1.有关性质:

A A

A= A=

A ?= A ?=

A B A B

B B

A A

2.区间: 设 a, b ? R, 且a ? b, 规定

[ a, b] ? (a, b) ? [ a, b) ? ( a, b] ? (a, ??) ? (??, b] ? (??, ??) ?

, , , , , , .

3. U ? {1,2,3,4,5,6}, A ? {2,3,5}, B ? {1,4}, 求CU ( A B)与(CU A) (CU B), 并探求 CU ( A

B),

CU A, CU B 三者之间的关系.
Q ? {1, 2} 的集合 P, Q 共有多少组?

4.求满足 P

【例题讲解】
2 例 1 设 A ? 2,?1, x ? x ? 1 , B ? ?2 y,?4, x ? 4?, C ? ?? 1,7?, 且 A ? B ? C ,求 x, y 的值及 A ? B .

?

?

例 2 设 A ? {| a ? 1|,3,5}, B ? {2a ?1, a ? 2a, a ? 2a ?1}, 若 A
2 2

B ? {2,3} ,求 A B .

- 11 -

例 3 设 A ? {x | x2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ?1 ? 0}. (1)若 A

B ? B ,求 a 的值; (2)若 A B ? B ,求 a 的值.

例 4 设全集 U ? {( x, y ) | x ? R, y ? R}, M ? {( x, y ) |

y ?3 ? 1}, P ? {( x, y) | y ? x ? 1} ,求 CU (M x?2

P).

【课堂检测】

1.设集合 I ? x | x ? 3, x ? Z , A ? ? 1,2?, B ? ?? 2,?1,2?, 则 A 2.若 A ? 非负整数 , B ? 非正整数 , 则 A ? B ? 4.已知集合 A, B, C 满足 A ? B ? B ? C ,则 A ____C .

?

?

?

?

?

?

?CU B ? 等于
.

.

, A? B ?

3.设 U ? R , A ? ?x | 0 ? x ? 5,?, B ? ?x | x ? 1?, 则 ?CU A? ? ?CU B? ?

.

【教学反思】

- 12 -

§ 2.1.1 函数的概念与图像(1)
【教学目标】 1. 通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型,理解函数概念; 2. 了解构成函数的三要素:定义域、对应法则、值域,会求一些简单函数的定义域并能说出 他们的值域 . 【考纲要求】 了解构成函数的三要素; 【课前导学】 1.函数的定义:设 A , B 是两个 中的 的 一个数 x , 在集合 B 中 ,其中 x 叫 ,与 x 的值相对应的 y 的值叫 数集,如果按照某种确定的 ,使对于集合 A 和它对应, 那么这样的对应叫做从 A 到 , x 的取值范围叫做函数 ; , y 的取值范围叫做函数的

B 的一个函数,记为

2.在对应法则 f : x ? y, y ? x ? b, x ? R, y ? R 中,若 2 ? 5 ,则 ? 2 ?



3.下列图象中不能 作为函数 y ? f ( x) 的图象的是: .. y y y y

O ① ② 【例题讲解】 ③ 例1 ④ (1) x ?

x

O ②

O x ③

x

O ④

x

x , x ? N ; (2) x ?

1 ,x?R; x ?1

? (3) x ? y , 其中 y ? x ? 1, x ? N , y ? N ;

(4) x ? y ,其中 y ? 1 ? 2 x, x ? ?? 1,0,1?, y ? ?? 1,0,1,2,3? 以上 4 个对应中,为函数的有 .
- 13 -

变式:下列各组函数中,为同一函数的是 (1) f ?x ? ? x ? 3 与 g ?x ? ? (3) f ( x) ?



x 2 ? 6 x ? 9 (2) f ?x? ? x ? 1 与 g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1

x2 ? 4 与 g ( x) ? x ? 2 (4) f ( x) ? ?x 2 与圆面积 y 是半径 x 的函数 x?2

例 2 求下列函数的定义域: (1) f ( x) ?

1 1? x

(2) y ? 1 ? x ?

2 x?2

*变式:若 y ? f ( x) 的定义域为 ?1,4? , f ( x ? 2) 的定义域为



2 例 3 已知函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 ,求 f (0), f (1), f ( ), f ( n) ? f ( n ? 1) .

1 2

变式 1 :函数 y ? ? x ?2 x ?3, ( ?3 ? x ? 2)的值域是
2

函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 ,
2

- 14 -

x ? ?? 2,?1,0,1,2?的值域是

.

变式 2:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”, 那么函数 y ? x 2 ,值域为 ? 1,4? 的“同族函数”共有 个;

【课堂检测】 1. 对 于 集 合 A ? {x | 0 ? x ? 6} , B ? { y | 0 ? y ? 3} , 有 下 列 从 A 到 B 的 三 个 对 应 : ①x ? y ? 为

1 1 x ;② x ? y ? x ;③ x ? y ? x ;其中是从 A 到 B 的函数的对应的序号 2 3


2. 函数 f ( x) ?

3 的定义域为 ____________ | x ? 1| ?2

2 3. 若 f ( x) ? ( x ?1) ? 1, x ?{?1,0,1, 2,3} ,则 f ( f (0)) ?



【教学反思】

- 15 -

§ 2.1.1 函数的概念与图像(2)
【教学目标】 通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型,理解函数概念;了解 构成函数的三要素:定义域、对应法则、值域,会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值 域 . 【考纲要求】 了解构成函数的三要素; 【课前导学】 1. 求下列函数的定义域: (1) y ?

x?2? x?2

(2) y ?

2? x 2x ? 3

2. 函数 y ? f ( x) 的定义域为 ?? 1,4? ,则函数 y ? f (2 x) 的定义域为



3.求下列函数的值域: (1) y ? 1 ? x(0 ? x ? 2) (2) y ?

2 x

(3) y ? x ? 2 x ? 3(0 ? x ? 3)
2

- 16 -

【例题讲解】 例 1.求下列函数的定义域: (1)

? x ? 1? y?

0

x ?x

(2) y ?

2x ? 3 ?

1 1 ? 2? x x

例 2.求下列函数的值域: (1) y ?

3 x?2

(2) y ? x2 ? 4x ? 6, x ??1,5?

(3) y ?

8 x ? 4x ? 5
2

(4) y ? x ? x ? 1

- 17 -

例 3(1)已知函数 y ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围; (2)设 A ? ?1, b ?(b ?1) ,函数 f ( x ) ?

1 ( x ? 1) 2 ? 1,当 x ? A , f ( x) 的值域也是 A ,求 2

b 的值.

【课堂检测】 1.函数 y ?

x ?1 ? x ? 2 的定义域为
1 的值域为 x ?1
2

,y?

1 1 1? x

的定义域为

.

2.函数 y ?

.

3.函数 y ? x ? x ? 2 的值域为

.

【教学反思】

- 18 -

§ 2.1.1 函数的概念与图像(3)
【教学目标】 1.理解函数图象的意义; 2.能正确画出一些常见函数的图象; 3.会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势; 4.从“形”的角度加深对函数的理解. 【课前导学】 1.函数的图象:将函数 f ( x ) 自变量的一个值 x0 作为 就得到坐标平面上的一个点 ( x0 , f ( x0 )) ,当自变量 形就是函数 y ? f ( x) 的图象. 2.函数 y ? f ( x) 的图象与其定义域、值域的对应关系:函数 y ? f ( x) 的图象在 x 轴上的射影 构成的集合对应着函数的 3. 函数 f ( x) ? x 与 g ( x) ? ,在 y 轴上的射影构成的集合对应着函数的 . 坐标,相应的函数值作为 坐标,

,所有这些点组成的图

x2 x2 的图象相同吗?并画出函数 g ( x) ? 的图像. x x

4.画出下列函数的图象: (1) f ( x) ? x ? 1 ; (2) f ( x) ? ( x ?1) ? 1, x ?[1,3) ;
2

(3) y ? 5 x , x ?{1, 2,3, 4} ;

(4) f ( x) ?

x.

- 19 -

【例题讲解】 例 1. 画出函数 f ( x) ? x2 ? 1 的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较 f (?2), f (1), f (3) 的大小; (2)若 0 ? x1 ? x2 (或 x1 ? x2 ? 0 ,或

| x1 |?| x2 | )比较 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小;
(3)分别写出函数 f ( x) ? x2 ? 1 ( x ? (?1, 2] ) ,
2 ( x ? (1, 2] )的值域. f ( x)? x ? 1

( x ? ?1) ?2 x ? 3, ? 2 例 2. 已知函数 f ( x ) = ? x , (-1 ? x ? 1) ? x, ( x ? 1) ?
(1)画出函数图象; (2)求 f ( f ( f (?2))) 的值 (3)求当 f ( x) ? ?7 时,求 x 的值;

- 20 -

例 3 作出下列函数的图像;
2 (1) y ? x ? 3 x ? 4

(2) y ? x2 ? 2 x ?1

【课堂检测】 1.函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?2,3? ,则 y ? f ( x) 的图像与直线 x ? 2 的交点个数为 2. 函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,填空: (1) f (0) ? ______; (2) f (1) ? ______; (3) f (2) ? _________; ( 4 ) 若 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 , 则 f ( x1 )与f ( x2 ) 的 大 小 关 系 是 _______________. 3.画出函数 f ( x) ? x ? y 3 2 1 -1 o 1 2 x .

x 的图像. x

【教学反思】

- 21 -

§ 2.1.2 函数的表示方法(1)
【教学目标】 1. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法) ,理解同一个函数可以用不同的方法 来表示; 2. 了解分段函数,会作其图,并简单地应用; 3. 会用待定系数法、换元法求函数的解析式. 【考纲要求】 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 【课前导学】 1.一次函数一般形式为 . 2.二次函数的形式: (1)一般式: ; (2)交点式: ; (3)顶点式: . , 3.已知 f ( x) ? 3x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? 3 ,则 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] ? . 4.已知函数 f ( x ) 是二次函数,且满足 f (0) ? 1, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,求 f ( x ) .

【例题讲解】 例 1.下表所示为 x 与 y 间的函数关系:

x
y
那么它的解析式为

0 100

1 90 .

2 70

3 40

4 0

- 22 -

例 2. 函数 f ( x ) 在闭区间 [?1, 2] 上的图象如下图所示,则求此函数的解析式.

y

1
?1
?1

0

2 x

例 3. (1)已知一次函数 f ( x) 满足 f ? f ( x)? ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) . (2)已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,求 f ( x ) .

- 23 -

【课堂检测】

? x 2 ? 1, x ? 0 1.已知 f ( x ) ? ? , f (?2) = ? 2 x ? 1, x ? 0
2.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f ( x) ?

; f (a2 ? 1) =

.

. ,顶点

3.若二次函数 y ? ? x2 ? 2mx ? m2 ? 3 的图像对称轴为 x ? 2 ? 0 ,则 m = 坐标为 【教学反思】 .

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- 24 -

§ 2.1.2 函数的表示方法(2)
【教学目标】 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法) ,会根据不同的需要选择恰当的方法表 示函数;会用待定系数法、换元法求函数的饿解析式;通过实际问题体会数学知识的广泛应用 性,培养抽象概括能力和解决问题的能力. 【考纲要求】 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 【课前导学】 1.函数 f ( x) ?

x ?x ? 0? ,则 f ( 1 ) 是 x x ?1
2

; ;

2.已知 f ( x ? 1) ? x ? 1,那么 f ( x) 的解析式为
2

3.一个面积为 100m 的等腰梯形,上底长为 xm ,下底长为上底长的 3 倍,则高 y 与 x 的解 析式为 ;

4.某种笔记本每本 5 元,买 x ( x ? ? ,则以 x 为自变 1,2,3,4?)个笔记本的钱数记为 y (元) 量 的函数 y 的解析式为 【例题讲解】 例 1. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发,顺次经过 B 、C 、D 再回到 A ,设 x 表示点 P 的行程, y 表示线段 PA 的长,求 y 关于 x 的函数解析式. ;

- 25 -

变式:如图所示,梯形 ABCD 中, AB // CD , AD ? BC ? 5 , AB ? 10, CD ? 4 ,动 点 P 自 B 点出发沿 BC ? CD ? DA 路线运动,最后到达 A 点,设点 P 的运动路程 为 x , ?ABP 的面积为 y ,试求 y ? f ( x) 的解析式并作出图像.

例 2 已知函数满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? ax , (1)求 f (1), f (2) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式.

1 x

- 26 -

【课堂检测】 1.周长为定值 l 的矩形,它的面积 S 是此矩形的长为 x 的函数,则该函数的解析式 为 ; 2.若函数 f ( x ) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f (2) =

1 x



【教学反思】

- 27 -

§ 2.1.3 函数的单调性(1)
【教学目标】 1. 会运用函数图象判断函数是递增还是递减; 2. 理解函数的单调性,能判别或证明一些简单函数的单调性; 3. 注意必须在函数的定义域内或其子集内讨论函数的单调性. 【考纲要求】 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性,学会运用函数图象理解和研究函数的 性质 【课前导学】 1.下列函数中,在区间 ?0,2? 上为增函数的是 (1) y ? ; (4) y ? (2x ? 1) 2 ;

1 x

(2) y ? 2 x ? 1

(3) y ? 1 ? x

2.若 f ( x) ? (2k ? 1) x ? b 在 ?? ?,??? 上是减函数,则 k 的取值范围是 3.函数 y ? 2 x 2 ? x ? 1 的单调递增区间为 4.画出函数 y ? 2 x ? 1 的图象,并写出单调区间. ;

【例题讲解】 例 1:画出下列函数图象,并写出单调区间. (1) y ? ? x ? 2 ;
2

(2) y ?

1 ; x

(3) f ( x) ? ?

? x 2 ? 1,

x?0

??2 x ? 2, x ? 0



- 28 -

例 2.求证函数 f ( x ) ?

1 ? 1 在 ? 0, ??? 上是减函数. x

思考:在 ? ??,0? 是

函数,在定义域内是减函数吗?

例 3.求证函数 f ( x) ? x3 ? x 在 ? ??, ??? 上是增函数.

【课堂检测】 1.函数 y ? x ? 6x ? 10 在单调增区间是
2

; ;

2.函数 y ?

1 ? 1 的单调递减区间为 x

3.函数 y ? ?

?x 2 ?x

( x ? 0) 的单调递增区间为 ( x ? 0)

,单调递减区间为



- 29 -

4.求证:函数 f ( x) ? ? x 2 ? x 在 ? ? ?, ? 上是单调增函数.

? ?

1? 2?

【教学反思】

- 30 -

§ 2.1.3 函数的单调性(2)
【教学目标】 1.理解函数的单调性、最大(小)值极其几何意义; 2.会用配方法、函数的单调性求函数的最值; 3.培养识图能力与数形语言转换的能力. 【课前导学】 1.函数 y ? ?2 x ? 1 在 ?? 1,2? 上的最大值与最小值分别是 2.函数 y ? ? x 2 ? x 在 ?? 3,0? 上的最大值与最小值分别是 3.函数 y ? ? ; ;

2 ? 1 在 ?1,3? 上最大值与最小值分别是 ; x a 4.设函数 f ( x) ? (a ? 0) ,若 f ( x) 在 ?? ?,0? 上是减函数,则 a 的取值范围为 x

.

【例题讲解】 例 1. (1)若函数 f ( x) ? 4x ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数,则实数
2

m 的值为



(2) 若函数 f ( x) ? 4x ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上是增函数, 则实数 m 的取值范围为
2



(3) 若函数 f ( x) ? 4x ? mx ? 5 ? m 的单调递增区间为 [?2, ??) , 则实数 m 的值为
2



- 31 -

例 2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域是 [ a, b] , a ? c ? b .当 x ? [a, c] 时, f ( x) 是单调增函数; 当 x ? [c, b] 时, f ( x) 是单调减函数,试证明 f ( x) 在 x ? c 时取得最大值.

例 3.(1)求函数 f ( x) ? x ? (2)求函数 f ( x) ?

1 的单调区间; x

x2 ? 2x ? 1 ?1 ? , x ? ? , 4 ? 的值域. x ?4 ?

- 32 -

【课堂检测】 1. 函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? 1 在 ?? ?,??? 上是减函数实数 a 的取值范围是 2. 函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 4(m ? 0) 在 (??, 0] 上的最小值是 3. 函数 f ( x) ? ? x 2 ? x ? 2 的最小值是 ,最大值是 . . .

【教学反思】

- 33 -

§ 2.1.3 函数的奇偶性(1)
【教学目标】 3. 了解函数奇偶性的含义; 4. 掌握判断函数奇偶性的方法,能证明一些简单函数的奇偶性; 5. 初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 【课前导学】 1.偶函数的定义: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 ,那么称函数

y ? f ( x) 是偶函数.
注意:(1)“任意”、“都有”等关键词; (2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; 2.奇函数的定义: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 ,那么称函数

y ? f ( x) 是奇函数.
3.函数图像与奇偶性: 奇函数的图像关于 偶函数的图像关于 【例题讲解】 例 1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x3 ? x (3) f ( x) ? x ? x ? 8 , x ? [?2, 2)
6 4

对称; 对称.

(2) f ( x) ? 3x ? 1 (5) f ( x) ? 2 x ? 3x
4 2

(4) f ( x) ? 0

- 34 -

例 2.已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x2 ? (m ?1) x ? 3 是偶函数,求实数 m 的值.

例 3.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,求 f (0) 的值.

*变式:已知函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 若 f (?2) ? 10 ,求 f (2) 的值。

【课堂检测】 1. 给定四个函数 y ? x3 ? 3 x ; y ? 数是 .

1 x2 ? 1 ( x ? 0) ; y ? x3 ? 1 ; y ? ;其中是奇函数的个 x x

( A) 1个

( B ) 2个

(C ) 3个

( D) 4个


2 2. 如果二次函数 y ? ax ? (b ? 3) x ? c(a ? 0) 是偶函数,则 b ?

3. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)

(1 ? x)2 1 ? x2

(2) f ( x) ?

1 ? x2 2? | x ? 2 |

(3) f ( x) ? 1 ? x 2 ?

x2 ?1

【教学反思】
- 35 -

§ 2.1.3 函数的奇偶性(2)
【教学目标】 1.熟练掌握判断函数奇偶性的方法; 2.熟练函数单调性与奇偶性讨论函数的性质; 3.能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题. 【课前导学】 1.作出函数 y=x 2 -2|x|-3 的图象,指出单调区间及单调性.

2.如何从函数图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值?

3.奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ;奇函数在关于原点对称的区间上单调 性 )

【例题讲解】 例1. 已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0, 试问:F(x)=

1 在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论. f ( x)

例 2.已知 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的解析式.

- 36 -

例 3.定义在(-2,2)上的奇函数 f ( x) 在整个定义域上是减函数,若 f(m-1)+f(2m-1)>0, 求实数 m 的取值范围.

【课堂检测】 1. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,则 f(- ( a ? R )的大小关系是 ( )

3 )与 f(a2-a+1) 4

3 )<f(a2-a+1) 4 3 B. f(- )≥f(a2-a+1) 4 3 C. f(- )>f(a2-a+1) 4
A. f(- D.与 a 的取值无关 2. 定义在 ? ?1,1? 上的奇函数 f ? x ? ? 3.

x?m ,则常数 m ? x ? nx ? 1
2

,n ?



函数 f ( x ) 是定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,且为增函数,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实

数 a 的范围。

【教学反思】

- 37 -

§ 2.1.4 映射的概念
【教学目标】 1.了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射; 2.通过对映射特殊化的分析,揭示出映射与函数之间的内在联系。 【课前导学】 1.对应是两个 之间的一种关系,对应关系可用图示或文字描述来表示。 的 .

2. 一般地设 A、 B 两个集合, 如果按某种对应法则 f, 对于 A 中的每一个元素, 在B中 元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作:

3.由映射的概念可以看出,映射是 集。

概念的推广,特殊在函数概念中,A、B 为两个

【例题讲解】 例 1.下列集合 M 到 P 的对应 f 是映射的是( ) A.M={-2,0,2},P={-1,0,4}, f:M 中数的平方 B.M={0,1},P={-1,0,1},f:M 中数的平方根 C.M=Z,P=Q,f:M 中数的倒数。 D.M=R,P=R+,f:M 中数的平方

例 2.已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈ R},f:A→B 是从 A 到 B 的映射,f:x→(x+1,x2+1),求 A 中的 元素 2 在 B 中的象和 B 中元素(

3 5 , )在 A 中的原象。 2 4

*变式:已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},映射 f:A→B 满足 f(a)+f(b)=f(c),求映射 f: A→B 的个数。

- 38 -

例 3.给出下列四个对应的关系 ① A=N*,B=Z, f:x→y=2x-3; ② A={1,2,3,4,5,6},B={y|y∈ N*,y≤5},f:x→y=|x-1|; 2 ③ A={x|x≥2},B={y|y=x -4x+3},f:x→y=x-3; ④ A=N,B={y∈ N*|y=2x-1,x∈ N*},f:x→y=2x-1。 上述四个对应中是函数的有

【课堂检测】 1. 下列对应是 A 到 B 上的映射的是( A.A=N*,B=N*, f:x→|x-3| B.A=N*,B={-1,1, -2},f:x→(-1)x C.A=Z,B=Q, f:x→

)

3 x

D.A=N*,B=R,f:x→x 的平方根

2. 设 f:A→B 是集合 A 到 B 的映射,下列命题中是真命题的是( A.A 中不同元素必有不同的象 B.B 中每一个元素在 A 中必有原象 C.A 中每一个元素在 B 中必有象 D.B 中每一个元素在 A 中的原象唯一

)

3. 已知映射 f: A→B,下面命题: (1)A 中的每一个元素在 B 中有且仅有一个象; (2)A 中不同的元素在 B 中的象必不相同; (3)B 中的元素在 A 中都有原象 (4)B 中的元素在 A 中可以有两个以上的原象也可以没有原象。 假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

【教学反思】
- 39 -

§ 2.2.1 分数指数幂(1)
【教学目标】 1.理解 n 次方根及根式的概念; 2.掌握 n 次根式的性质,并能运用它进行化简,求值; 3.提高观察、抽象的能力. 【课前导学】 1.如果 x ? a ,则 x 称为 a 的
2

; . ; 0 的 n 次实数方根等于 .

如果 x ? a ,则 x 称为 a 的
3

2. 如果 x ? a(n ? 1, n ? N ) ,则 x 称为 a 的
n *

3. 若 n 是奇数, 则 a 的 n 次实数方根记作 n a ; 若 a ? 0 则 n a 为 数;若 n 是偶数,且 a ? 0 ,则 a 的 n 次实数方根为 根.
? 4. 式子 n a n ? 1, n ? N 叫

数, 若a ? o则 n a 为 ;负数没有 次实数方

?

?

,n叫

,a叫 .



? a?
n

n

?



5. 若 n 是奇数,则 n an ? 【例题讲解】 例 1.求下列各式的值: (1) ( 5)2 (2) ( 3 ?2)3

;若 n 是偶数,则 n an ?

4 (3) 4 (?2)

(4)

?3 ? ? ?

2

*变式:解下列方程(1) 2 x ? ?16 ;
3

(2) x ? 2 x ? 24 ? 0
4 2

- 40 -

例 2.设-3<x<3,化简 x 2 ? 2x ? 1 ? x 2 ? 6x ? 9

例 3.计算: 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6

【课堂检测】 1. 27 的平方根与立方根分别是 ( A ) 3 3,3 ( C ) 3 3, ?3 ( B ) ?3 3 , 3 ( D ) ?3 3 ? , 3





2. 求值:

5 9 ? ? 5. 2 4

3. 化简
8

b 8 ? 8 ?a ? b ? ? 7 ?a ? b ? ?a ? 0, b ? 0?
8 7

【教学反思】

- 41 -

§ 2.2.1 分数指数幂(2)
【教学目标】 1.能熟练地进行分数指数幂与根式的互化; 2.熟练地掌握有理指数幂的运算法则,并能进行运算和化简. 3.会对根式、分数指数幂进行互化; 4.培养学生用联系观点看问题. 【课前导学】 1.正数的分数指数幂的意义:
m

(1)正数的正分数指数幂的意义是 a n ? (2)正数的负分数指数幂的意义 a 2.分数指数幂的运算性质: 即 ?1? ar as ?
r s
m ?n

? a ? 0, m, n ? N
? a ? 0, m, n ? N
?

?

, n ? 1? ;

?

, n ? 1? .

? 2? ? a ? ? r ? 3?? ab ? ?

? a ? 0, r, s ?Q? , ? a ? 0, r, s ?Q? , ? a ? 0, b ? 0, r ?Q? .
指数幂同样适用.

3.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 4. 0 的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例 1.求值(1) 100 ,
1 2

(2) 8 ,

2 3

(3) ? 9 ?

?

3 2

? 1 ? 4 , (4) ? ? . ? 81 ?

?

3

例 2.用分数指数幂表示下列各式 (a ? 0) : (1) a
2

(2) a ;

a
5

a3

; (3) a a .

- 42 -

1

例 3.已知 a+a 1=3,求下列各式的值: (1) a 2 - a


?

1 2

3

; (2) a 2 - a

?

3 2

*变式:利用指数的运算法则,解下列方程: - (1)43x+2=256× 81 x - (2)2x+2-6× 2x 1-8=0

【课堂检测】 1. 计算下列各式的值(式中字母都是正数) .

x · (1)(xy · y

2

1 2

?1 2

) · ( xy)

1 3

1 2

(2) (

3 6

a9 )2 · (6

3

a9 )2

2. 已知 x ? x

1 2

?

1 2

? 3 ,求

x ? x ?3 的值. x 2 ? x ?2 ? 2

3 2

?

3 2

3. 已知 a

2x

? 2 ? 1 ,求

a 3 x ? a ?3 x 的值. a x ? a? x

【教学反思】
- 43 -

§ 2.1.3 指数函数(1)
【教学目标】 1.理解指数函数的概念;掌握指数函数的图象、性质; 2.初步了解函数图象之间最基本的初等变换。 3.能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小. 【课前导学】 1.形如 ________________ 定义域是 ,值域是 的函数叫做指数函数,其中自变量是 . ,函数

2. 下列函数是为指数函数有______________________ . ①y ? x ⑤y ? ?
2

②y ? 8

x

③ y ? (2a ? 1) ( a ?
x
2

1 x 且 a ? 1 )④ y ? (?4) 2
x

x

⑥ y ? 52 x
x

?1

⑦y ? x

x

⑧ y ? ?10 . .

3.指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 0) 恒经过点
x 4.当 a ? 1 时,函数 y ? a 单调性为



当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a 单调性为
x



【例题讲解】 例 1.比较大小: (1) 1.5 ,1.5 ; (2) 0.5
2.5 3.2 ?1.2

,0.5?1.5 ; (3) 1.50.3 ,0.81.2 .

例 2. (1)已知 3 ? 3 ,求实数 x 的取值范围;
x 0.5

(2)已知 0.2 ? 25 ,求实数 x 的取值范围.
x

- 44 -

例 3.设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)求 a 的值,使函数 f ( x ) 为奇函数 (2)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数;

*变式:求函数 y ? ( )

1 2

x 2 ? 6 x ?17

的定义域、值域、单调区间.

【课堂检测】 1.若函数 y ? (1 ? a) 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是
x





( A ) (1, ??)
x

( B ) (0,1)

( C ) (??,1)

( D ) (?1,1)

2.已知函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 在区间 [?1,1] 上的最大值与最小值的差是 1,求实数 a 的值;

3. 解不等式:(1) 9 ? 3
x

x ?2

(2) 3 ? 4 ? 2 ? 6 ? 0
x x

【教学反思】

- 45 -

§ 2.1.3 指数函数(2)
【教学目标】 1.进一步掌握指数函数的图象、性质; 2.初步掌握函数图象之间最基本的初等变换。 【课前导学】 1.已知 a ? 0, a ? 1 , y ? ?a x 与 y ? a x 的图象关于 对称; 对称. 得到 y ? a x?h 的图象;

y ? a ? x 与 y ? a x 的图象关于
2. 已知 a ? 0, a ? 1, h ? 0 ,由 y ? a x 的图象 得到 y ? a x?h 的图象; 得到 y ? a x ? h 的图象; 得到 y ? a x ? h 的图象. 【例题讲解】

例 1.说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2 的图象的关系,并画出它们的示意图:
x

(1) y ? 2

x ?1



(2) y ? 2

x ?2



例 2.说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2 的图象的关系,并画出它们的示意图:
x

(1) y ? 2 ? 1 ;
x

(2) y ? 2 ? 2 .
x

- 46 -

例 3.画出函数的图象并根据图象求它的单调区间: (1) y ?| 2x ? 2 | ; (2) y ? 2?|x|

*变式: (1)求方程 2 ? x ? 4 的近似解(精确到 0.1 ) ; (2)求不等式 2 ? x ? 4 的解集.
x x

【课堂检测】 1. (1)函数 y ? a
x ?2

? 1(a ? 0, a ? 1) 恒过定点为___
x ?1

______.

(2)已知函数 y ? 3

? a 的图象不经过第二象限,则 a 的取值范围是_____________.
1 2
4?2 x

x 2. 怎样由 y ? 4 的图象,得到函数 y ? ( )

? 2 的图象?

3. 说出函数 y ? 3 与 y ? 3

?x

? x?a

(a ? 0) 图象之间的关系:

【教学反思】

- 47 -

§ 2.1.3 指数函数(3)
【教学目标】 1.熟练掌握指数函数的图象和性质; 2.能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题,体会指数函数是一类重要的函数模型; 3.培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力. 【课前导学】 1.在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为 N ,平均增长 率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,可以用公式 y ? 表示.

【例题讲解】 例 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年, 这种物质剩留的质量是原来的 84%. 写 出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.

例 2.某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r ,设存期是 x ,本利和(本金 加上利息)为

y 元. y 随存期 x 变化的函数关系式;

(1)写出本利和

(2)如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和.

- 48 -

例 3. 2000 2002 年,我国国内生产总值年平均增长 7.8%左右.按照这个增长速度,画出从 2000 年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象,并通过图象观察到 2010 年我国国内生产 总值约为 2000 年的多少倍(结果取整数) .

【课堂检测】 1.(1) 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件 a 个,计划从今年开始的 m 年内,每年生产此 种规格电子元件的产量比上一年增长 p% ,则此种规格电子元件的年产量 y 随年数 x 变化的 函数关系式为 _______________. (2) 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是 a 元/个, 计划从今年开始的 m 年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降 p% ,则此种规格电子元件的单件成本 y 随年数 x 变化的函数关系式是____________________________________. 2. 2000 年 10 月 18 日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息 :”市政委员会今天宣布 : 本市垃圾的体积达到 50000m ”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾 体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积 V (m ) 与垃圾体积的加倍 的周期( 3 年)数 n 的关系的表格,并回答下列问题: (1) 设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问 24 年后该市垃圾的体积是 多少? (2) 根据报纸所述的信息,你估计 3 年前垃圾的体积是多少? (3) 如果 n ? ?2 ,这时的 n,V 表示什么信息? (4) 写出 n 与 V 的函数关系式,并画出函数图象(横轴取 n 轴); (5) 曲线可能与横轴相交吗?为什么?
3
3

周期 数n

体积

V ? m3 ?

0
1 2


50000 ? 20

50000 ? 21
50000 ? 22


n
【教学反思】
- 49 -

50000 ? 2n

§ 2.3.1 对数的概念
【教学目标】 1. 通过具体实例了解对数的概念,理解指数式与对数式的相互关系,并能熟练地进行指数式 与对数式的互化. 2. 了解常用对数和自然对数以及这两种对数符号的记法. 3. 了解对数恒等式,并能运用它进行计算. 【考纲要求】 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通 过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 【课前导学】 1.对数式 logb a ? N (a ? 0, b ? 0, b ? 1) 对应的指数式是 2.把下列指数式写成对数式: ⑴? ? ?

?1? ? 2?

3

1 ; 8

⑵3

?2

?

1 9

3.把下列对数式写成指数式: ⑴log2 8 ? 3 ; ⑵log 1
2

1 ?2 4

【例题讲解】 例 1.把下列指数式与对数式进行互化:

?1? ⑴? ? ? 3 ?3?

x

⑵4 ? 64
x

⑶log 3

1 ? ?3 27

变式:1.设 log x 3 ? 3 ,则 x ?

- 50 -

例 2.求下列各式的值: ⑴log3 9 ; ⑵log 1 9 ;
3

⑶log32 8

变式:1.已知 2log x 8 ? 4 ,求 x 的值

2m?n 例 3. 已知 a ? 0 且 a ? 1 , loga 2 ? m,log a 3 ? n ,求 a 的值

【课堂检测】 1.若 log3 (a ? 1) 有意义,则 a 的取值范围是 2.已知 log 5 ? ?log 2 ? lg x ? ? ? ? 0 ,求 x 的值

【教学反思】

- 51 -

§ 2.3.1 对数的运算性质
【教学目标】 1. 通过具体实例了解对数的运算性质; 2. 知道对数运算性质成立的条件,并能灵活地运用对数的性质进行化简和求值。 【考纲要求】 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通 过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 【课前导学】 1. loga ?MN ? ? 2. loga M n = 3. lg 4 ? 2 lg 5 = ,

log a

M ? N

(M ? 0, N ? 0) ;


, logam b n = ;

【例题讲解】 例 1.计算下列各式 ⑴lg 5 ? lg 20 ? lg 2 lg 50 ? lg 25 ⑵lg 14 ? 2 lg

7 1 ? lg 49 ? lg 72 ? 8 lg 1 6 2

练:计算下列各式 ⑴?lg 2? ? lg 2 lg 5 ? lg 50
2

⑵2 log2

30 ? log2 3 ? log2 5

- 52 -

例 2.求 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 的值 w w w .x k b 1.c o m

练:求 log8 log2 4 2 的值

?

?

例 3. 已知 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y) ,求 log

2

x 的值 y

【课堂检测】 1. 用 lg x,lg y,lg z 表示下列各式
2 3

⑴lg( xy z ) ;

⑵lg

x yz 2

2. 求下列各式值 ⑴log
1 2

(45 ? 82 )

⑵lg 4 ? lg 25

【教学反思】

- 53 -

§ 2.3.1 对数的换底公式
【教学目标】 1. 进一步熟悉对数的运算性质 2. 掌握对数的换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数 3. 会用换底公式进行一些简单的化简与证明,并在应用中体现化简与转化的数学思想 【考纲要求】 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通 过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 【课前导学】 1.对数的换底公式 2.求值: ⑴ log 8

1 32



log8 9 log 2 3

1. 若 lg 2 ? a,lg 3 ? b ,则 log5 12 ? 3. 适合 log5 x log x 7 ? log5 7 的 x 的集合是

【例题讲解】w w w .x k b 1.c o m 例 1. 求下列各式的值 ⑴log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9



log3 2 ? log5 7 1 log9 ? log125 8 7

变式:若 log2 3 ? log3 4??log31 32 ? M ,则 M 的值是

- 54 -

例 2.已知 log9 5 ? a,log3 7 ? b ,试用 a , b 表示 log21 35

变式:已知 18a ? 9,18b ? 5 ,试用 a , b 表示 log18 45

例 3. 设 x ? y ? z ,且
a b c

1 1 1 ? ? ,求证: z ? xy www.12999.com a b c

变式:设 3 ? 4 ? 36 ,求
x y

2 1 ? 的值 x y

【课堂检测】 1. 若 log 3 4 ? log 4 m ? log 3 2.若 log 2 3 ?

1? a ,则 log3 12 ? a

1 ,则 m ? 3

3.若 log 3 7 ? log 2 9 ? log 49 a ? log 4

1 ,则 a ? 2

4.已知 ab ? M (a ? 0, b ? 0, M ? 1) 且 log M b ? x ,则 log M a 的值为

【教学反思】

- 55 -

§ 2.3.2
【教学目标】

对数函数(1)

通过具体实例理解对数函数的概念,并知道对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 与指数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数;掌握对数函数的图象和性质,并能应用它们解决一些简单问
题。

【考纲要求】通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的 概念, 体会读书函数是一类重要的函数模型; 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探索并了解对数函数的单调性与特殊点;知道对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 与指数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数;
【课前导学】 一.对数函数的概念: 1. 下列函数: (1) y ? logx 2( x ? 0, x ? 1) ; (3) y ? (2) y ? log2 ?2 x ?; (4) y ? log ;

1 (a ? 0, a ? 1) ; loga x

2

x

其中为对数函数的是 二.对数函数的图象和性质:

2.已知函数 y ? log( a?1) x 在 ?0,??? 上为增函数,则 a 的取值范围为 3.函数 log0.5 ( x ? 5) 的定义域为 【例题讲解】 例 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x) ? ;



log 1 ( x ? 1) ;
3

(2) f ( x) ? log? x?1? ?3 ? x?

- 56 -

练:函数 y ?

log 2 x ? 1 2x ? 5

的定义域为



例 2.求下列函数值域: (1) y ? log2 (2 x ? 1) ; (2) y ? log0.5 (? x 2 ? 8)

练:函数 y ? lg x 2 ? 1 的值域为

?

?



例 3. 已知 x ? 1, y ? log 1 x ,试比较 y 2 , 2 y , y 的大小.
3

变式:已知 f ( x) ? lg x ,设 a ? f (?3) , b ? f (2), 则 a 与 b 的大小关系是

【课堂检测】 1. 设函数 y ? log2 ?x ? 1? ,若 y ? ?1,2? ,则 x ? 2.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 的定义域为 A ,函数 g ( x) ?

x ? 1 ? 2 ? x 的定义域为 B ,则

A? B=



【教学反思】
- 57 -

§ 2.3.2
【教学目标】

对数函数(2)

1. 熟悉对数函数的图象和性质,会用对数函数的性质求一些与对数函数有关的函数的值域与 单调区间 2. 会解一些简单的对数方程。 【考纲要求】 1. 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体 会读书函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探 索并了解对数函数的单调性与特殊点; 2. 知道对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 与指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 互为反函数;
x

【课前导学】 一.对数函数图象的位置关系: 1.将函数 y ? log 1 x 的图象沿
2

方向向 方向向

平移

个单位,得到 平移

y ? log 1 ( x ? 3) 的图象,再将图象沿
2

个单位,可以得到 y ? log 1 ( x ? 3) ? 2 的图象。
2

二.对数函数的单调性: 2.若 log 0.5 ( ? 1) ? log 0.5 (2 ? x) ,则 x ? 若 ln( x ?1) ? ln(4 x ? 4) ,则 x ?
2

x 2

; ;

若3

2x

? 5 ,则 x ?

; ;

若2

x ?3

? 3 ,则 x 的取值范围是

若 log 2 ( x ? 1) ? 2 ,则 x 的取值范围是 3. 若函数 y ? loga ( x ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域都是 ?0,1? ,则实数 a =

- 58 -

【例题讲解】 例 1.已知 a ? log 0.5 0.6, b ? log
2

0.5, c ? log

3

5 ,则 a, b, c 之间的大小关系是

练:试比较下列各组数的大小: (1) log0.7 0.5 , 0.7
1.1

(2) log2 0.7 , log3 0.7 , log0.2 0.7

例 2.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?

?1 ? ,3 ,求 f (log3 x) 的定义域 ?2 ? ?

变式:若函数 y ? f (log3 x) 的定义域是 ?1,3? ,求 f ( x ) 的定义域

例 3. 已知函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? 1) 在区间 (1, ??) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围
2

变式:求函数 y ? log 1 ( x2 ? 2 x ? 3) 的值域
2

【课堂检测】 1.已知函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在 x ? ? 2, 4? 上的最大值比最小值多 1,求实数 a 的值

- 59 -

【教学反思】

§ 2.4.1
【教学目标】

幂函数(1)

3. 通过实例了解幂函数的概念及幂函数与指数函数的区别;
1

4. 会画出幂函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x ?2 , y ? x 2 的图象,并了解它们的性质; 5. 会用常见的幂函数的性质解决比较大小问题。 【考纲要求】 - 通过实例了解幂函数的概念,结合幂函数 y = x,y = x2,y = x3,y = x 1,
1

y = x 2,y = x 2 的图象,了解它们的变化情况。


【课前导学】 一.幂函数的定义: 1.一般地,我们把形如 2.下列函数中是幂函数的是 (1) y ? 2
x

的函数称为幂函数,其中 ;
2

是自变量, 是常数;

(2) y ? ? x

(3) y ? log2 x

(4) y ? x

?3

二.幂函数的图象与性质: 3.函数 y ? x
? 1 2

的定义域是

; 函数 y ? x 的图象关于 函数(填“增或减”) ;

1 3

对称;

函数 y ? x 在 ?? ?,0? 上是
?1

4.请画出以下函数的图象,考虑能得到什么动态规律?

y ? xa

1 1 2 a ? 0, ? 1 ,? 2 , ? ,3 ? , ? , ? (共 13 个函数) 2 3 3

- 60 -

1

1

5.比较 3 3 , log0.2 0.3,2.13 , log2 0.9 的大小。 【例题讲解】 例 1 函数 y ? x 的定义域为
3 2

,单调递

区间为



变式 1:幂函数 y ? x a 当 a ? 0, ?1, ?2, ?3, ? , ? , ? 区间又是什么?

1 2

1 3

2 时,他们的定义域分别是什么,单调 3

变式 2:已知函数 y ? x

2 m?1

在区间 (0,??) 上是增函数,求实数 m 的取值范围;

例 2 函数 y ? x 与 y ? x 的图象关于
3

1 3

对称,由此得到什么规律

- 61 -

例 3 已知函数 f ( x) ? (m2 ? 2m) x m (1)正比例函数

2

? m?1

, m 为何值时, f ( x) 是 (3)二次函数 (4)幂函数

(2)反比例函数

【课堂检测】 1. (1) y ? x ? 1
2

(2) y ? x ? 1 ;

1 2

(3) y ? x

?

2 3

(4) y ? ?2x 2

上列函数中,是幂函数的是

2.函数 y ? ( x 2 ? 2 x ? 6) 2 , ( x ? 1) 的值域为 3.已知函数 f ( x) ? x ? a(a ? R) 的图象关于原点对称,
3

(1)求 a 的值; (2)试比较 f (3) 与 f ( 10) 的大小。

【教学反思】

- 62 -

§ 2.4.2 幂函数(2)
【教学目标】 理解幂函数的概念;掌握幂函数的图象及性质;能运用幂函数的图象和性质解决一些问题 【考纲要求】 能运用幂函数的图象和性质解决一些问题 【课前导学】 1.函数 y ? (2 x ? 3)
? 1 2

的定义域为
2 1 2

; ;

2.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , g ( x) ? x , h( x) ? x ?2 的大小关系是 3.函数 y ? x ?2 , x ? ?? 1,1?为
1

函数; (填奇、偶、奇且偶、非奇非偶) ;

4.设 f ( x) ? x 2 ,则 f (0.5) 与 f (0.3) 的大小关系为 【例题讲解】 例 1 已知幂函数 y ? x
3m?9

( m ? N )的图象关于 y 轴对称,且在 ?0,??? 上函数值随 x 的增
*

大而减小,求满足条件的所有 m 的值

1

变式:函数 f ( x) ? x

m2 ? m?1

,m? N ? 为

函数; (填奇、偶、奇且偶、非奇非偶)

- 63 -

例 2 已知函数 y ? ax2 ? x ? 1(a ? 0) 在区间 ?? 1,??? 上单调,则 a 的取值范围为

变式:函数 y ?

x ? x 的最大值为



例 3 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 它的简图。

?

2 3

,试求 f ( x) 的解析式并画出

【课堂检测】 1.函数 f ( x ) ? ?

2 ? 1 的单调递增区间为 x?3



2.若函数 y ?

a ?1 在 ?? ?,0? , ?0,??? 上单调递增,则 a ? x
1 3



3.已知 f ( x) ? x, g ( x) ? x ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x), 试判断 F ( x) 的奇偶性;

【教学反思】

- 64 -

§ 2.5.1
【教学目标】

函数与方程(1)

1. 会用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的情况。 2. 弄清二次函数的零点与方程的关系。 3. 渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。 【考纲要求】结合二次函数图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的 零点与方程根的关系。

【课前导学】 一.求函数的零点与性质:: 1. 一元二次方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集是
2 2

; ,

2. 若 1 和 6 分别是一元二次方程 x ? ax ? b ? 0 的两个实数根,则 a ?

b?


2

3.二次函数 y ? ? x ? 3x ? 2 与 x 轴的交点为

; 和 ;

4.函数 y ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴的交点坐标及其零点分别是 二.零点分布:

1.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? m (m ? R) 有两个零点,则这两个零点之和为
2



2.若 f ( x) ? 2x 2 ? ax ? 3 有一个零点为

3 ,则 f (1) ? 2

; ;

3.设函数 y ? f ( x) 的两个零点分别是 ? 1 和 5 ,则 f (0) ? f (6) 与 0 的大小关系是

【例题讲解】 例 1.已知方程 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两个不等的实根,则 m 的取值范围为
2


2 变式:二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 中, ac ? 0 ,则函数的零点有

个;

- 65 -

例 2. 设 ? , ? 是方程 5x ? x ? 2 ? 0 的两个根, 则
2

1

?

?

1

?

?

, ?2 ??2 ?



变式:函数 y ? ax2 ? x ? b 的两个零点分别为 ?

1 ,1 ,求 g ( x) ? bx2 ? ax ? 1 的零点; 2

例 3.若函数 f(x)=ax-2a+1 在-1≤x≤1 时函数值有正有负,则实数 a 的取值范围是

【课堂检测】 1.设二次函数 y ? f ( x) 满足:当 x ? 2 时有最小值 ? 1, 且它的图象在 y 轴上的截距为1 , 求函数 y ? f ( x) 的解析式。

2.问当 a 取何值时,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的一个根在 ?0,1? 上,另一个根在 ?1,2? 上;
2

3.已知二次函数 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 2 ,在 ?0,1? 上有且只有一个零点,求实数 m 的取值范
2

围。

【教学反思】

- 66 -

§ 2.5.2 函数与方程(2)
【教学目标】根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应函数的近似解;理解函数 与方程的相互转化的思想。

【考纲要求】根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应函数的近似解,了解这种 方法是求方程近似解的常用方法。 【课前导学】 一.零点的个数: 1. 设 f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 4 ,求一元二次方程 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2? 内根的个数;

2.方程 a x ? loga x(0 ? a ? 1) 根的个数有

个;

3.设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,若 f (m) ? 0, f (n) ? 0, m ? n ,则一元二次方程 f ( x) ? 0 在区间 ?m, n? 内有 个解;

二.用二分法求方程的近似解: 4.二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c( x ? R) 的部分对应值如下表:

x
f(x)

-3 6

-2 m
2

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 n ;

4 6

不求 a , b 的值,可以判断方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根所在区间为

3 5.用二分法研究函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 的零点时,第一次经过计算 f (0) ? 0 , f (0.5) ? 0 ,

可 得 到 其 中 一 个 零 点 x0 ?

,第二次计算

,这时可判断

x0 ?



- 67 -

【例题讲解】 例 1.若方程 2 x ? x ? 2m ? 1 ? 0 有两个实数根,则 m ?
2



变 式 : 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 若 f ( m) ? 0 , f (n ? )

,则一元二次方程 0m ,? n

f ( x) ? 0 在区间 ?m, n? 内有

个解;

例 2.若函数 f ( x) ? log2 x ? x ? 4 的零点在 ?n, n ? 1? n ? N 上,则 n ?
?



变式:已知 ? , ? 是方程 x 2 ? ?2m ? 1?x ? 4 ? 2m ? 0 的两个实根,且 ? ? 2 ? ? ,求 m 的取值 范围 【课堂检测】 1.若二次方程 x ? 2kx ? 3k ? 2 ? 0 的两根都大于 1,求 k 的取值范围
2

www.12999.com 2.用二分法求函数 y ? x 2 ? 5 的一个正零点的近似值(精确到 0.01).

【教学反思】

- 68 -

§ 2.6.1
【教学目标】

函数模型及应用(1)

1. 能根据实际问题的情境建立函数模型; 2. 能根据所建立的函数模型利用所学的数学知识解决问题。 【考纲要求】 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等等)的实例,了解函数模型的广泛应用。 【课前导学】解决实际问题的步骤: (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2) 建摸:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; (3) 求模:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:将数学问题还原为实际问题的意义。

【例题讲解】 1. 某种动物繁殖的数量 y 与繁殖次数 x 的关系如表:

x
y

1

2

3



1

3

7



则下面的函数关系式中能表达这种关系的是
2 (1) y ? 2 x ? 1 (2) y ? x ? 1

(3) y ? 2 ? 1
x

(4) y ? x ? x ? 1
2

2. 已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y ? a?0.5? ? b , 现已知该厂 2006
x

1.5 万件, 年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、 则该厂 3 月份该产品的产量为



3.已知 A, B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地
- 69 -

停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 S 随时间 t 变化的关系 式为 ;

【课堂检测】 1. 某商场出售一种商品, 每天可卖 1000 件, 每件可获利 40 元, 根据经验, 若单价每降低 1 元, 则每天可多卖出 100 件,为了获得最好的经济效益,每件获利应定为 元;

2.一种新型电子产品投产,计划两年后使成本降低 36 % ,那么平均每年应降低成本的

%;

3.如图,有一批材料可以围成 36 m 的围墙, 用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地,且中间用同样的材料隔成两块矩形, 则所围成的矩形面积的最大值为 ;

4.某产品的总成本 y (万元)与产量 x (台)之间的函数关系式是 y ? ?0.1x 2 ? 20x ? 3000, 其中 x ? ?0,240? ,若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本的最低产量为 台;

【教学反思】

- 70 -

§ 2.6.2

函数模型及应用(2)

【教学目标】 1.能根据实际问题的情境建立函数模型; 2.能根据所建立的函数模型利用所学的数学知识解决问题。 【考纲要求】 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等等)的实例,了解函数模型的广泛应用。 【课前导学】解决实际问题的步骤: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建摸:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应 的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义。

1. 做匀加速运动的物体, 其运动规律中的速度公式为 v ? v0 ? at( v0 是初速度,a 是加速度) , 有一物体以 5m / s 的初速度做匀加速直线运动,经过 3s 后速度达到 17 m / s ,则其运动的加速 度为 ; 2. 某服装厂生产某种大衣, 月销售量 x(件) 与单价 p(元/件) 之间的关系式为 p ? 160? 2 x , 生产 x 件的成本为 500 ? 30 x ,则该厂月产量在 时,月获利不少于 1300 元;

3.飞机飞行 1h 的耗费由两部分组成:固定部分 4900 元,变动部分 P 与飞机飞行速度 vkm / h

v ,已知 A, B 两地相距 akm(a 为常数)则飞机从 A 地飞到 B 地的总 的函数关系式是 P ? 0.01
2

耗费 y 与飞机速度 v 的函数关系式为



【例题讲解】 例 1 如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P ,从 A 点出发沿 折线 ABCD 运动一周后回到点 A , 设 P 点移动的路段为 x , 三角形 ABP 的 面积为 y ,则函 y ? f ( x) 的解析式为 ;

例 2 某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4000 辆次,存车费为:电动车 0.3 元/辆,普通自 行车 0 .2 元/辆,若该天普通自行车存车 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 与 x 的函数关 系式为 ;
- 71 -

例 3 某商品在近 30 天内每件的销售价格 p (元)与时 t (天)的函数关系为

(0 ? t ? 25, t ? N ) ? t ? 20 ,该商品的日销售量 Q (件)与时间 t (天) P?? ?? t ? 100 (25 ? t ? 30, t ? N )
的函数关系为 Q ? ?t ? 40, (0 ? t ? 30, t ? N ), 求这种商品的日销售量的最大值。

【课堂检测】 1.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费 y (元)与通话时间 t (分钟)之间 的函数关系图象, 根据图象填空: 通话 2 分钟需付话费 通话 t ? 3 电话费 y 与通话时间 t 的函数关系式为 元, 通话 5 分钟需付话费 。 元,

2.如图,长为 20 m 的铁丝网,一边靠墙,围成三个大小相等的长方形,那么长方形长、宽各 为多少时,三个长方形的总面积最大?

3 .某森林原有森林木材存量为 a ,木材的年增长率为

25 % , 每 年 冬 天 要 砍 伐 的 木 材 量 为 b , 从 春 天 算 器 , 两 年 后 该 林 场 的 木 材 占 有 量
为 ;

【教学反思】

- 72 -


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